Ejercicios: Función lineal o de proporcionalidad directa

En una tienda de golosinas, cada bolsa de gominolas cuesta $1,50 \text{ €}$. Queremos estudiar la relación entre el número de bolsas que compramos ($x$) y el dinero total que pagamos ($y$).

Identifica:

• La variable independiente.

• La variable dependiente.

• La constante de proporcionalidad ($m$).

• La ecuación de la función que relaciona ambas magnitudes.

Observa la siguiente tabla de valores que relaciona el tiempo que está encendida una bombilla LED ($x$, en horas) con el consumo de energía ($y$, en vatios):

Indica si se trata de una función de proporcionalidad directa, calcula su constante de proporcionalidad y escribe su ecuación.

Halla la pendiente de la siguiente función de proporcionalidad directa representada en la gráfica y escribe su ecuación de la forma $y = mx$.

Un repartidor de pizzas en bicicleta viaja a una velocidad constante de $20 \text{ km/h}$.

• Escribe la función que relaciona la distancia recorrida ($y$, en km) con el tiempo transcurrido ($x$, en horas).

• ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido después de $3$ horas de trabajo?

Completa la siguiente tabla sabiendo que la relación entre $x$ e $y$ es de proporcionalidad directa con una constante $m = 4$. Después, representa los puntos en un plano cartesiano.

Indica razonadamente cuál de las siguientes tres gráficas corresponde a una función de proporcionalidad directa.

Dada la función de proporcionalidad directa $y = -3x$:

• Indica el valor de su pendiente.

• ¿La función es creciente o decreciente?

• Calcula el valor de la imagen para $x = 2$ y para $x = -1$.

En una receta de cocina se indica que por cada $100 \text{ g}$ de harina hay que usar $2$ huevos.

• Calcula la constante de proporcionalidad que relaciona el número de huevos ($y$) con la cantidad de harina ($x$, medida en cientos de gramos).

• Escribe la ecuación de la función.

• Si tenemos una bolsa de $500 \text{ g}$ de harina, ¿cuántos huevos necesitaremos según esta función?

En una campaña de reciclaje, una ONG ha determinado que por cada kilogramo de envases de plástico PET que se recicla, se ahorran $1,5$ litros de petróleo en la fabricación de nuevos productos.

1. a) Escribe la función que relaciona los kilogramos de plástico reciclados ($x$) con los litros de petróleo ahorrados ($y$).
2. b) Crea una tabla de valores para $0, 5, 10$ y $20$ kg de plástico.
3. c) ¿Cuántos litros de petróleo se habrán ahorrado si el instituto consigue reciclar $120$ kg de envases?

Tres amigos comparan sus planes de datos móviles para ver cuántos "Gigas" consumen al ver vídeos en alta definición. Se sabe que el consumo es proporcional al tiempo de visualización.

• Plan A: $y = 0,8x$

• Plan B: $y = 1,2x$

• Plan C: $y = 0,5x$

Donde $x$ es el tiempo en horas e $y$ son los Gigas consumidos.

1. a) ¿Cuál de los tres planes consume datos más rápidamente? Justifica tu respuesta usando el concepto de pendiente.
2. b) Si un usuario tiene un límite de $6$ GB diarios, ¿cuántas horas de vídeo podría ver con el Plan B antes de agotar sus datos?

Observa la siguiente gráfica que representa dos funciones de proporcionalidad directa, $r$ y $s$, que muestran los puntos obtenidos por dos jugadores en un videojuego a lo largo del tiempo.

1. a) Halla la ecuación de la recta $r$ sabiendo que pasa por el punto $P(2, 10)$.
2. b) Halla la ecuación de la recta $s$ sabiendo que pasa por el punto $Q(4, 8)$.
3. c) ¿Qué representa la pendiente en este contexto?

En una tienda de aplicaciones, la descarga de un lote de "monedas virtuales" para un juego sigue una función lineal. Sabemos que $500$ monedas cuestan $4,50$ €.

1. a) Calcula la constante de proporcionalidad (precio por moneda).
2. b) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el número de monedas ($x$) con el coste en euros ($y$).
3. c) Si un adolescente tiene ahorrados $15$ €, ¿cuántas monedas podrá comprar como máximo?

Halla la ecuación de la función de proporcionalidad directa $y = mx$ cuya gráfica pasa por el punto $A(-3, 12)$. Representa la función gráficamente indicando al menos otros dos puntos por los que pase la recta.

Un dron de reparto vuela a una velocidad constante de $12$ metros por segundo ($m/s$).

1. a) Completa la siguiente tabla que relaciona el tiempo de vuelo ($x$) con la distancia recorrida ($y$):

1. b) Representa gráficamente la función.
2. c) Indica cuál es la pendiente y explica qué significado físico tiene en este problema.

Indica, de forma razonada, cuáles de las siguientes tablas corresponden a una función de proporcionalidad directa. Para aquellas que lo sean, calcula su constante de proporcionalidad ($m$) y escribe su ecuación.

Tabla 1:

Tabla 2:

Tabla 3:

Una empresa de impresión 3D cobra a los institutos únicamente por el material utilizado. Se sabe que $100$ gramos de filamento PLA cuestan $3,50$ €.

1. a) Determina la función que calcula el coste ($y$) según los gramos de material ($x$).
2. b) ¿Es una función creciente o decreciente? ¿Por qué?
3. c) Si la pieza que quieres imprimir para tu proyecto de Tecnología pesa $45$ gramos, ¿cuánto te costará la impresión?

En una plataforma de streaming de videojuegos, la calidad de la transmisión consume datos de forma proporcional al tiempo de uso. Un usuario ha comprobado que tras jugar durante $15$ minutos, su router indica un consumo de $1,2$ Gigabytes (GB).

• Determina la constante de proporcionalidad $m$ que relaciona el consumo de datos ($y$, en GB) con el tiempo ($x$, en minutos).

• Escribe la ecuación de la función lineal que modela esta situación.

• Si el usuario tiene un límite diario de $5$ GB antes de que su velocidad se reduzca, ¿cuántos minutos y segundos exactos puede jugar manteniendo esa calidad?

Un laboratorio de robótica está probando un prototipo que se desplaza en línea recta a velocidad constante. Se sabe que la función que relaciona la distancia recorrida ($d$) con el tiempo ($t$) es una función de proporcionalidad directa. En el instante $t = 4,5$ segundos, el robot ha recorrido exactamente $11,25$ metros.

• Calcula la pendiente de la función e indica qué magnitud física representa en este contexto.

• Escribe la expresión algebraica de la función.

• Si el robot debe recorrer una pista de $0,05$ kilómetros, ¿cuánto tiempo tardará? Expresa el resultado en segundos.

La siguiente gráfica muestra la relación entre el volumen de agua ($V$) en un recipiente cilíndrico y la altura ($h$) que alcanza el nivel del agua. Debido a la forma del recipiente, esta relación es de proporcionalidad directa.

• A partir de los puntos observados en la gráfica, determina la constante de proporcionalidad.

• Escribe la ecuación que permite calcular el volumen en función de la altura.

• ¿Qué altura alcanzará el agua si vertemos $11$ litros en el recipiente?

En un taller de diseño, utilizan una máquina de corte láser que consume energía de forma proporcional al área del material cortado. Se ha observado que para cortar $4$ piezas cuadradas de $15$ cm de lado cada una, la máquina consume $180$ Julios (J).

• Calcula el consumo de energía por cada centímetro cuadrado cortado ($cm^2$).

• Define la función lineal que relaciona el consumo total de energía ($y$) con la superficie cortada ($x$).

• ¿Cuánta energía consumiría la máquina para cortar un único panel rectangular de $0,4$ metros de largo por $25$ centímetros de ancho?

Dos amigos, Lucía y Marcos, están ahorrando para un viaje. Lucía ahorra a un ritmo constante que se expresa mediante la función $f(x) = 12,5x$, donde $x$ es el número de semanas e $y$ el dinero ahorrado en euros. Marcos no sabe su función, pero sabe que en la semana $8$ tenía ahorrados exactamente $92$ euros y que su ahorro también es proporcional al tiempo.

• Halla la ecuación de la función de Marcos, $g(x)$.

• Representa ambas funciones en unos mismos ejes de coordenadas (esbozo).

• ¿Cuál de los dos tiene una "pendiente" mayor? Interpreta este resultado en términos de quién ahorra más rápido.

• Si el viaje cuesta $300$ euros, ¿cuántas semanas de diferencia habrá entre el momento en que Lucía consiga el dinero y el momento en que lo consiga Marcos?

Un mapa a escala muestra una relación de proporcionalidad directa entre la distancia medida en el papel ($x$, en milímetros) y la distancia real en el terreno ($y$, en kilómetros). Sabemos que una distancia real de $150$ km se representa en el mapa con un segmento de $60$ mm.

• Determina la ecuación de la función lineal que permite convertir mm del mapa a km reales.

• ¿Qué distancia real separa a dos ciudades si en el mapa están a $14,4$ centímetros? (Ten cuidado con las unidades).

• Si queremos representar una ruta de senderismo de $12.500$ metros, ¿cuántos milímetros medirá en el mapa?

La ley de Hooke establece que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional a la fuerza que se aplica sobre él. Un muelle mide $12$ cm en reposo. Al colgar un peso de $2$ kg, el muelle pasa a medir $15$ cm.

• Ojo: La función de proporcionalidad relaciona la fuerza (o masa, en este caso) con el alargamiento (lo que aumenta la longitud), no con la longitud total. Calcula el alargamiento producido por los $2$ kg.

• Determina la constante de proporcionalidad $m$ ($cm/kg$).

• Escribe la función $y = mx$ que relaciona el alargamiento $y$ con la masa $x$.

• ¿Cuál será la longitud total del muelle si colgamos un peso de $5,4$ kg?

Una empresa de reciclaje de plástico estima que el peso del polietileno obtenido ($y$) es directamente proporcional al número de botellas vacías procesadas ($x$). Al procesar un contenedor con $120$ botellas, se obtienen $3,3$ kg de material reciclado.

• Halla la constante de proporcionalidad y explica su significado.

• Si la empresa recibe un pedido para fabricar piezas que requieren $55$ kg de plástico, ¿cuántas botellas necesitarán reciclar?

• Si por cada botella reciclada la empresa recibe una subvención de $0,015$ €, escribe la función lineal que relaciona el dinero recibido ($D$) con el peso del plástico obtenido ($y$). (Nota: deberás combinar la relación botellas-peso con la relación botellas-dinero).