Exercicis: Taules

Es vol fer un estudi per saber quin és el llibre preferit dels $1\,200$ alumnes d'un institut de Madrid. Per a això, es tria a l'atzar $80$ estudiants i se'ls pregunta el títol del llibre que més els ha agradat aquest any.

Indica quins són els elements següents d'aquest estudi estadístic:

• Població

• Mostra

• Individu

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives o quantitatives. Per a les que siguin quantitatives, indica si són discretes o contínues:

1. a) El color preferit dels teus companys de classe.
2. b) El nombre de missatges de WhatsApp que reps al dia.
3. c) L'alçària exacta dels jugadors d'un equip de bàsquet.
4. d) El model de mòbil que utilitzen els professors del centre.
5. e) El nombre de germans dels alumnes de 2n d'ESO.

Un grup d'amics ha anotat el nombre de vegades que han anat al cinema en l'últim mes. Els resultats obtinguts són:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 1$

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui la freqüència absoluta ($n_i$) per a cada valor de la variable.

En una enquesta sobre la xarxa social preferida de $20$ adolescents, s'han obtingut els resultats de freqüència absoluta següents:

Xarxa social	Freqüència absoluta ($n_i$)
TikTok	$10$
Instagram	$6$
YouTube	$3$
Altres	$1$
Total	$20$

Calcula la freqüència relativa ($f_i$) i el percentatge ($\%$) de cada categoria.

La taula següent mostra el nombre de mascotes que tenen les famílies d'una urbanització. Completa la columna de les freqüències absolutes acumulades ($N_i$):

Nre. mascotes ($x_i$)	Freqüència absoluta ($n_i$)	Freqüència acumulada ($N_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$7$
$3$	$3$
Total	$30$	---

Pista. La freqüència acumulada de cada fila és la suma de la seva freqüència absoluta i la freqüència acumulada de la fila anterior. La primera fila passa directament: $N_1 = n_1$. L'última freqüència acumulada ha de coincidir amb el total.

S'ha preguntat als alumnes d'una classe quantes hores de mitjana passen al dia estudiant. S'han perdut algunes dades de la taula. Completa-la sabent que el total d'alumnes és de $25$.

Hores d'estudi ($x_i$)	Freqüència absoluta ($n_i$)	Freqüència relativa ($f_i$)
$1$ h	$5$	$0,20$
$2$ h		$0,40$
$3$ h	$6$
$4$ h	$4$	$0,16$
Total	$25$	$1$

Observa la taula de freqüències següent que recull la talla de calçat d'un grup de $10$ amics i respon a les preguntes:

Talla ($x_i$)	Freqüència absoluta ($n_i$)	Freqüència acumulada ($N_i$)
$36$	$1$	$1$
$37$	$2$	$3$
$38$	$4$	$7$
$39$	$3$	$10$

1. a) Quantes persones calcen una talla inferior a la $38$?
2. b) Quin percentatge de persones calça la talla $39$?
3. c) Quina és la talla més comuna (la que té una freqüència absoluta més gran)?

Per a un estudi sobre els hàbits d'alimentació, s'han recollit les dades qualitatives següents sobre el tipus de fruita que berenen $25$ infants en un campament:

Poma, Plàtan, Pera, Poma, Taronja, Plàtan, Poma, Pera, Plàtan, Poma, Taronja, Poma, Pera, Poma, Plàtan, Taronja, Poma, Plàtan, Pera, Poma, Taronja, Poma, Plàtan, Poma, Pera.

Construeix una taula de freqüències completa que inclogui: Variable ($x_i$), Freqüència absoluta ($n_i$), Freqüència relativa ($f_i$) i Percentatge ($\%$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'Alejandro ha fet una enquesta als seus 20 companys de classe sobre el nombre de llibres que han llegit durant l'últim trimestre i ha presentat els resultats següents en una taula:

• Per a 0 llibres: freqüència absoluta $n_1 = 4$; freqüència absoluta acumulada $N_1 = 4$; freqüència relativa $h_1 = 0,20$.

• Per a 1 llibre: $n_2 = 8$; $N_2 = 12$; $h_2 = 0,40$.

• Per a 2 llibres: $n_3 = 5$; $N_3 = 17$; $h_3 = 0,25$.

• Per a 3 llibres: $n_4 = 3$; $N_4 = 20$; $h_4 = 0,30$.

En sumar la columna de freqüències relatives, l'Alejandro obté $0,20 + 0,40 + 0,25 + 0,30 = 1,15$ i afirma en veu alta: «Com que la suma de les freqüències relatives no dóna 1, l'enquesta està mal feta i hem de tornar a preguntar a tothom».

1. a) Localitza l'error numèric concret que ha comès l'Alejandro en el càlcul de la taula.
2. b) Explica per què la seva conclusió sobre l'enquesta és errònia i escriu els valors corregits de les freqüències relatives ($h_i$) i els seus percentatges corresponents.

En un institut de secundària s'ha preguntat als 50 alumnes de 2n d'ESO com es desplacen habitualment per anar a classe: a peu, en autobús, en bicicleta/patinet o en cotxe familiar. El recompte inicial indica que 28 alumnes van a peu, 11 en autobús i 7 en bicicleta o patinet (la resta hi va en cotxe familiar).

1. a) Estima: Abans de fer qualsevol càlcul exacte amb paper i bolígraf, estima mentalment quin percentatge aproximat d'estudiants es desplaça a peu. Serà inferior al $40\,\%$, estarà comprès entre el $50\,\%$ i el $60\,\%$, o superarà el $70\,\%$? Justifica en una frase el teu raonament mental.
2. b) Comprova: Troba la freqüència absoluta dels que van en cotxe familiar, completa la taula calculant la freqüència relativa ($h_i$) i el percentatge de cada mitjà de transport, i comprova numèricament si la teva estimació inicial era encertada. Finalment, verifica que la suma total de les freqüències relatives doni exactament 1 i la de percentatges el $100\,\%$.

Un grup de 20 adolescents ha anotat quantes hores passen a la setmana veient sèries en plataformes de streaming. Les dades obtingudes són les següents:

$5, 8, 12, 5, 10, 15, 8, 8, 10, 12, 15, 5, 8, 10, 12, 8, 10, 12, 10, 8$.

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui:

• Freqüència absoluta ($n_i$).

• Freqüència relativa ($f_i$).

• Percentatge ($\%$).

En una enquesta sobre el nombre de mascotes que tenen les famílies d'una classe de 2n d'ESO, s'ha elaborat la taula incompleta següent. Completa-la al teu quadern sabent que el total d'alumnes és $30$.

Mascotes ($x_i$)	Freq. absoluta ($n_i$)	Freq. absoluta acumulada ($N_i$)	Freq. relativa acumulada ($H_i$)
0	12
1	9
2		26
3	4

Quin percentatge d'alumnes té com a màxim una mascota?

S'ha realitzat un estudi sobre la distància (en km) que recorren $40$ persones per arribar al seu centre de treball. Les dades s'han agrupat en els intervals següents: $[0, 4)$, $[4, 8)$, $[8, 12)$ i $[12, 16)$.

Sabent que les freqüències absolutes són $14$, $10$, $8$ i $8$ respectivament:

1. a) Construeix la taula de freqüències incloent-hi la marca de classe ($c_i$) de cada interval.

1. b) Quantes persones recorren $8$ km o més?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un campionat de videojocs local, s'ha registrat l'edat dels participants. Observa la taula de freqüències relatives i respon:

Edat	Freqüència relativa ($f_i$)
12 anys	$0,15$
13 anys	$0,35$
14 anys	$0,30$
15 anys	$0,20$

Si en el campionat van participar un total de $120$ persones:

1. a) Quants participants tenen exactament $13$ anys?
2. b) Quants participants són majors de $13$ anys?

S'ha fet una enquesta als alumnes d'un institut sobre el seu esport preferit. Els resultats es mostren en aquesta taula de doble entrada, però hi falten algunes dades. Completa-la.

	Futbol	Bàsquet	Tennis	TOTAL
Noies	$45$		$20$	$95$
Nois		$25$	$15$
TOTAL	$105$	$55$

A partir de la taula, calcula el percentatge d'alumnes (total) que prefereix el bàsquet.

Observa el gràfic de sectors següent que representa el tipus de música preferit pels $200$ alumnes d'un centre:

Construeix la taula de freqüències absolutes i relatives corresponent a aquest gràfic.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una botiga de roba jove vol analitzar el nombre de peces de roba que compra cada client. Es sap que la freqüència relativa acumulada ($H_i$) per a la compra de $2$ peces de roba és $0,75$. Si s'han analitzat $160$ clients:

1. a) Quants clients van comprar $2$ o menys peces de roba?
2. b) Si la freqüència absoluta de comprar $1$ sola peça de roba és de $60$ clients, quants clients van comprar exactament $2$ peces de roba?

Es vol realitzar un estudi sobre l'ús de les xarxes socials. Per a això, es pregunta a una mostra d'alumnes de 2n d'ESO per la seva xarxa preferida (TikTok o Instagram) i si publiquen contingut diàriament (Sí o No).

Completa la taula sabent que:

• Es va enquestar $80$ alumnes en total.

• A $45$ alumnes els agrada més Instagram.

• Dels que prefereixen TikTok, $15$ no publiquen diàriament.

• En total, $50$ alumnes de la mostra publiquen contingut diàriament.

	Publica diàriament (Sí)	Publica diàriament (No)	TOTAL
TikTok		$15$
Instagram			$45$
TOTAL	$50$		$80$

Quin percentatge dels alumnes que prefereixen Instagram publiquen contingut diàriament?

En un taller municipal de robòtica participen $N = 40$ alumnes les edats dels quals estan compreses entre els 12 i els 15 anys. En passar les dades a l'ordinador, s'han esborrat diverses caselles de la taula de freqüències, però es conserven les informacions següents:

• La freqüència relativa acumulada per als alumnes de 13 anys o menys és $H_2 = 0,65$.

• La freqüència absoluta acumulada per als alumnes de 14 anys o menys és $N_3 = 36$.

• El nombre d'assistents de 12 anys és exactament el doble que el d'assistents de 15 anys ($n_1 = 2 \cdot n_4$).

Reconstrueix raonadament la taula de freqüències completa determinant, per a cadascuna de les quatre edats ($12, 13, 14$ i $15$ anys), la freqüència absoluta ($n_i$), la freqüència absoluta acumulada ($N_i$) i la freqüència relativa ($h_i$). Mostra de manera clara les operacions i deduccions que fas per trobar cada valor desconegut.

El professor d'Educació Física ha cronometrat la prova de velocitat de 60 metres llisos per als 30 alumnes de 2n d'ESO. Els registres obtinguts oscil·len entre $8,72\text{ s}$ i $13,25\text{ s}$, i a causa de la precisió del cronòmetre digital, pràcticament cada estudiant té una marca diferent amb dues xifres decimals. Per organitzar les dades abans d'analitzar-les, dos alumnes debaten quin tipus de taula utilitzar:

• Proposta de la Lucía: Construir una taula de freqüències simple amb una fila per a cadascun dels temps individuals registrats, indicant quantes vegades apareix cadascun.

• Proposta d'en Marcos: Agrupar els temps en quatre intervals continus d'amplitud $1,2\text{ s}$ començant a $8,5\text{ s}$, i calcular la marca de classe de cada interval per fer-la servir com a valor representatiu.

1. a) Compara totes dues propostes i raona quina és l'adequada per a aquest conjunt de dades. Quin inconvenient insalvable presenta la proposta descartada a l'hora de resumir la informació?
2. b) Escriu els quatre intervals proposats per en Marcos en la forma $[a; b)$ i calcula la marca de classe de cadascun d'ells. Explica què significa matemàticament la marca de classe i per a què s'utilitzarà després en l'estudi estadístic.

En un estudi sobre el consum de dades mòbils d'un grup d'adolescents, s'ha començat a elaborar la taula de freqüències següent. Tanmateix, s'han perdut algunes dades. Sabent que la mida de la mostra és de $N = 80$ individus i que la freqüència relativa acumulada del tercer interval és $F_3 = 0,825$, completa la taula de freqüències absoluta ($n_i$), relativa ($f_i$), absoluta acumulada ($N_i$) i relativa acumulada ($F_i$).

Consum (GB)	$n_i$	$f_i$	$N_i$	$F_i$
$[0, 5)$	$12$
$[5, 10)$		$0,35$
$[10, 15)$
$[15, 20]$

Un ajuntament vol analitzar l'edat dels joves que utilitzen el nou carril bici. Se sap que la variable és quantitativa contínua i s'han agrupat les dades en cinc intervals d'amplitud constant. Completa la taula sabent que:

• El rang total d'edat és de $10$ a $30$ anys.

• La freqüència absoluta del segon interval és el doble que la del primer, i la del tercer és igual a la del primer.

• $N_3 = 40$

• $f_4 = 0,25$

• $n_5 = 5$

• El total de la mostra és $N = 60$.

Indica també les marques de classe ($x_i$) per a cada interval.

S'ha realitzat una enquesta sobre l'ús de tres plataformes de reproducció en línia (A, B i C) entre els alumnes de 2n d'ESO. Es presenta aquesta taula de doble entrada incompleta que relaciona la plataforma preferida amb el dispositiu principal d'ús.

	Tauleta	Telèfon intel·ligent	PC	TOTAL
Plataforma A	$8$		$5$
Plataforma B		$14$		$22$
Plataforma C	$6$		$7$	$25$
TOTAL	$18$	$35$

Sabent que el nombre total d'alumnes enquestats és $69$, completa la taula i calcula quin percentatge del total d'alumnes utilitza majoritàriament el telèfon intel·ligent per veure la Plataforma B.

En un club d'e-sports s'han registrat les hores setmanals d'entrenament dels seus 40 membres. S'han organitzat en quatre intervals de classe: $[0, 4), [4, 8), [8, 12)$ i $[12, 16]$.

Es coneixen les dades següents:

1. Les freqüències relatives dels dos primers intervals són idèntiques: $f_1 = f_2$.

2. La freqüència relativa acumulada del segon interval és $F_2 = 0,5$.

3. L'últim interval té una freqüència absoluta de $n_4 = 4$.

Deduïx la taula completa de freqüències absolutes i relatives. Quants jugadors entrenen almenys $8$ hores setmanals?

A partir del polígon de freqüències acumulades de les notes d'un examen de matemàtiques, reconstrueix la taula de freqüències absolutes. Sabent que el nombre total d'alumnes és $30$, determina quants alumnes han obtingut una nota major o igual que $5$ però menor que $9$.

Nota: Els punts del gràfic són $(1, 3), (3, 7), (5, 15), (7, 24), (9, 28), (10, 30)$, on la primera coordenada és la nota i la segona la freqüència absoluta acumulada $N_i$.

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre de llibres llegits durant l'últim any a un grup de persones. Se sap que la moda és $3$ llibres i que la mitjana aritmètica és exactament $2,5$ llibres. Amb les dades de la taula incompleta, troba els valors de $x$ i $y$ (freqüències absolutes).

Llibres llegits ($x_i$)	$n_i$
$1$	$5$
$2$	$x$
$3$	$y$
$4$	$3$
TOTAL	$20$

Un professor d'Educació Física registra el temps (en segons) que triguen els seus alumnes a recórrer $100$ metres llisos. Els resultats s'agrupen en una taula de freqüències amb intervals de $2$ segons d'amplitud.

Sabent que:

• El primer interval comença a $12$ segons.

• $f_1 = 15\%$

• $f_2 = 35\%$

• $N_3 = 28$ alumnes.

• $F_3 = 0,7$ (freqüència relativa acumulada).

• La resta d'alumnes es reparteixen equitativament en els dos últims intervals fins a arribar a un temps màxim de $22$ segons.

Calcula el nombre total d'alumnes ($N$) i completa la taula de freqüències absolutes.

Analitza la taula de freqüències següent corresponent al nombre de faltes d'assistència d'una classe de $25$ alumnes durant un mes. Troba els dos errors de coherència lògica que hi ha a les columnes de freqüències acumulades ($N_i$ i $F_i$) i justifica per què són errors basant-te en les propietats de les taules de freqüència.

Faltes ($x_i$)	$n_i$	$f_i$	$N_i$	$F_i$
$0$	$10$	$0,40$	$10$	$0,40$
$1$	$6$	$0,24$	$16$	$0,64$
$2$	$5$	$0,20$	$14$	$0,84$
$3$	$4$	$0,16$	$25$	$1,05$

A partir d'un estudi inspirat en dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre estils de vida en l'adolescència, s'ha recollit informació d'una mostra de 120 estudiants de secundària. Es creuen dues variables en una taula de doble entrada: «Pràctica d'esport setmanal» (Sí / No) i «Temps diari dedicat al lleure amb pantalles» (Baix: menys de 2 hores; Mitjà: de 2 a 4 hores; Alt: més de 4 hores). Es coneixen les dades següents:

• El $60\,\%$ dels enquestats afirma que sí que practica esport setmanalment.

• Dels estudiants que practiquen esport, 24 tenen un consum baix de pantalles i 36 tenen un consum mitjà.

• Entre els que no practiquen esport, exactament 12 tenen un consum baix de pantalles i el nombre dels que tenen un consum alt triplica el dels que tenen un consum mitjà.

1. a) Modela aquestes dades construint una taula de doble entrada completa amb les freqüències absolutes, indicant amb claredat les cel·les interiors, els totals de fila i els totals de columna.
2. b) Calcula quin percentatge dels esportistes presenta un consum alt de pantalles i quin percentatge dels no esportistes presenta un consum alt de pantalles.
3. c) A la vista dels dos percentatges calculats, es pot deduir que en aquesta mostra hi ha una relació entre no fer esport i fer un ús intensiu de pantalles? Justifica la teva conclusió comparant totes dues proporcions.

En un estudi sobre l'hàbit lector en un municipi, s'ha registrat el temps setmanal (en hores) que passen llegint els usuaris de la biblioteca pública. Les dades s'han agrupat en quatre intervals d'igual amplitud: $[0; 2)$, $[2; 4)$, $[4; 6)$ i $[6; 8)$. Després d'una fallada informàtica, el nombre total d'enquestats ($N$) s'ha esborrat de l'informe, però es conserven les informacions següents:

• La freqüència absoluta acumulada del tercer interval és $N_3 = 54$.

• En l'últim interval ($[6; 8)$) hi ha registrades exactament 6 persones.

• La freqüència relativa del segon interval és $h_2 = 0,35$.

• En el primer interval hi ha el doble de persones que en el tercer ($n_1 = 2 \cdot n_3$).

1. a) Dedueix raonadament la mida total de la mostra ($N$) i calcula la freqüència absoluta ($n_i$) de cadascun dels quatre intervals.
2. b) Un regidor llegeix els resultats de l'informe i afirma: «Com que la marca de classe de l'interval $[2; 4)$ és $3$ hores i hi ha $n_2$ persones, si sumem els temps reals de lectura de totes les persones d'aquest grup obtindrem exactament $3 \cdot n_2$ hores». Explica amb detall l'error conceptual que comet el regidor i construeix un exemple numèric concret que demostri que la seva afirmació no s'ha de complir necessàriament.