Exercicis: Representació a la recta

Observa la recta numèrica següent i identifica els valors representats per les lletres $A$, $B$ i $C$.

Dibuixa una recta numèrica a la teva llibreta i representa-hi els nombres enters següents:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa a la recta numèrica el nombre $-3$ i el seu oposat. A quina distància es troba cadascun respecte a l'origen?

Pots fer servir aquesta recta, en la qual estan marcats l'origen i les unitats (cada marca és una unitat), o dibuixar la teva:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un termòmetre marca una temperatura de $4^\circ\text{C}$ a les deu del matí. Si a les vuit del vespre la temperatura ha baixat $6^\circ\text{C}$, representa en una recta totes dues temperatures i assenyala quina és la temperatura final.

Escriu al teu quadern tots els nombres enters $x$ que compleixen la condició $-2 < x \leq 3$ i representa'ls a la recta numèrica. Fixa't bé en els extrems oberts i tancats.

Pots copiar aquesta recta al teu quadern:

Representa a la recta numèrica tots els nombres enters el valor absolut dels quals sigui igual a $4$. Quants nombres has marcat?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un submarinista es troba a una profunditat de $8$ metres sota el nivell del mar. Si decideix pujar $3$ metres per observar uns peixos, a quina profunditat es troba ara? Representa el moviment mitjançant fletxes sobre una recta numèrica horitzontal.

Situa els nombres següents a la recta numèrica i utilitza-la per ordenar-los de menor a major fent servir el signe $<$:

En una onada de fred registrada per l'AEMET, la temperatura mínima a Teruel va ser de $-6$ ºC i la màxima a Valencia va ser de $9$ ºC. En Lucas vol calcular la diferència tèrmica (la distància entre tots dos valors a la recta numèrica) i escriu al seu quadern:

En Lucas conclou que la distància entre totes dues temperatures a la recta numèrica és de $3$ unitats.

1. a) Troba i explica amb les teves paraules l'error conceptual que ha comès en Lucas en traduir la distància entre dos nombres a una operació amb valor absolut.
2. b) Escriu l'expressió correcta utilitzant el valor absolut i calcula raonadament la distància real entre totes dues temperatures.
3. c) Mostra que restar les temperatures en l'ordre invers dins del valor absolut dóna exactament el mateix resultat i justifica per què passa això.

Dos submarinistes d'un equip de biologia marina a Cabo de Gata comuniquen la seva posició vertical respecte al nivell del mar (que prenem com a cota $0$ m): en Marcos es troba submergit a la cota $-24$ m i la Lucía està en una plataforma sobre la superfície a la cota $+7$ m. Es vol determinar la distància vertical $|a - b|$ entre tots dos.

1. a) Sense fer la resta formal encara, estima entre quines dues desenes consecutives (per exemple, entre $10$ i $20$, entre $20$ i $30$, etc.) ha d'estar compresa aquesta distància i explica per què és impossible que el resultat sigui menor que $24$ m.
2. b) Aplica la fórmula formal de la distància entre dos enters per calcular la separació exacta entre en Marcos i la Lucía.
3. c) Comprova si el resultat exacte coincideix amb la teva estimació i justifica per què una distància a la recta numèrica mai no pot ser un nombre negatiu.

A la recta numèrica següent s'han marcat quatre punts representats per lletres. Identifica quin nombre enter correspon a cadascuna de les lletres $A$, $B$, $C$ i $D$.

Escriu tots els nombres enters $x$ que compleixen simultàniament les dues condicions següents i representa'ls en una recta numèrica:

• $-5 < x \leq 2$

• El valor absolut de $x$ és més gran que $1$, és a dir, $|x| > 1$.

Un repartidor de menjar a domicili comença la seva jornada al "Punt Zero" d'una gran avinguda principal. Fa els desplaçaments següents:

1. Viatja $4$ quilòmetres cap a l'est ($+4$).

2. Des d'allà, es desplaça $7$ quilòmetres cap a l'oest.

3. Finalment, avança altres $2$ quilòmetres cap a l'oest per lliurar la seva darrera comanda.

Dibuixa una recta numèrica al teu quadern, representa cada moviment mitjançant fletxes i determina en quin punt quilomètric es troba en acabar.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa a la recta numèrica el nombre $-3$ i tots els nombres enters el valor absolut dels quals sigui menor que ell. És possible realitzar aquesta tasca? Justifica la teva resposta basant-te en la definició de valor absolut i la seva representació gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donats els nombres enters $x$ tals que la seva distància a l'origen ($0$) és de $6$ unitats, i fent servir la recta numèrica de la figura (o dibuixant-ne una d'igual al teu quadern):

1. a) Representa aquests nombres a la recta numèrica.

1. b) Representa també els seus oposats.

1. c) Què observes respecte a la posició dels nombres originals i els seus oposats a la recta?

En una estació d'esquí de Sierra Nevada, el termòmetre ha marcat les temperatures següents al llarg del matí:

• A les 8:00 h: $-6$ $^\circ$C

• A les 10:00 h: $-2$ $^\circ$C

• A les 12:00 h: $+3$ $^\circ$C

1. a) Representa les tres temperatures en una recta numèrica vertical (com si fos un termòmetre).
2. b) Quina ha sigut la variació tèrmica (distància a la recta) entre les 8:00 h i les 12:00 h?

Dibuixa una recta numèrica i situa-hi els elements següents. Després, ordena'ls de menor a major utilitzant el símbol $<$:

• El nombre $-4$.

• L'oposat de $3$.

• El valor absolut de $-5$.

• El nombre $0$.

• L'oposat de l'oposat de $-2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba el nombre enter que es troba exactament a la mateixa distància de $-7$ i de $+3$ a la recta numèrica. A la figura tens marcats aquests dos nombres. Representa'l gràficament sobre la recta per comprovar el teu resultat i explica com ho has calculat.

En un canal de navegació marítima s'han col·locat dues boies acústiques d'avís en les posicions enteres $-8$ i $+6$ de la recta numèrica. Cal fondejar una estació repetidora en un punt enter intermedi $c$ de manera que totes dues boies quedin exactament a la mateixa distància $d$ d'aquest repetidor.

1. a) Dedueix raonadament la posició central $c$ del repetidor i calcula el valor de la distància $d$ a qualsevol de les boies.
2. b) Escriu una equació amb valor absolut de la forma $|x - c| = d$ les úniques solucions de la qual a la recta numèrica representin amb precisió les posicions de totes dues boies.
3. c) Resol algebraicament la teva equació comprovant que proporciona exactament els punts $-8$ i $+6$, i raona per què una equació d'aquest tipus sempre dóna dues solucions simètriques respecte a $c$.

Una estació meteorològica de l'AEMET situada a Sierra Nevada té programada una alarma automàtica de gelada. El sensor activa el senyal preventiu si la temperatura entera $T$ (en graus Celsius) pertany al tram de risc que va des de $-7$ ºC fins a $+2$ ºC, amb la condició que el valor límit $-7$ ºC sí que activa l'alerta, mentre que si la temperatura puja fins a assolir exactament $+2$ ºC, l'alerta ja es desactiva perquè es considera fora de perill.

1. a) Escriu la condició d'activació mitjançant una desigualtat doble per a la variable $T$ (un interval).
2. b) Explica quin tipus de representació geomètrica (cercle buit o cercle ple) li correspon a cadascun dels dos extrems a la recta numèrica i quin significat físic té cadascun en aquest context.
3. c) Escriu la llista completa de tots els nombres enters de temperatura que activen l'alarma i calcula la distància a la recta numèrica entre tots dos extrems mitjançant una resta en valor absolut.

Un explorador es troba en una xarxa de coves subterrànies representades en una recta numèrica horitzontal. L'origen $0$ és l'entrada de la cova. Sabem que l'explorador ha fet els moviments successius següents:

1. Comença en un punt desconegut $x$.

2. Avança $+12$ unitats.

3. Retrocedeix el doble de la seva posició inicial $x$ (és a dir, $2x$ unitats cap a l'esquerra).

4. Avança l'oposat de $-5$.

Si finalment es troba en el punt $-3$, representa la situació en la recta numèrica (dibuixa tu mateix la recta i els moviments) i determina raonadament el valor del punt de partida $x$.

A la recta numèrica dels nombres enters, el punt $A$ representa el nombre $-4$. El punt $B$ és un nombre tal que la seva distància a l'origen és el triple que la distància de $A$ a l'origen. Si el punt $C$ és el punt mitjà del segment format pels punts oposats de $A$ i $B$, quins nombres podria representar $C$? Tingues en compte que existeixen dues solucions possibles per a $B$. Representa-les gràficament.

Identifica tots els nombres enters $n$ que compleixen simultàniament les tres condicions següents i ubica'ls en una recta numèrica:

1. El valor absolut de $n$ és menor o igual que $7$: $|n| \leq 7$.

2. $n$ és estrictament més gran que el seu oposat: $n > -n$.

3. La distància entre $n$ i el nombre $-2$ és més gran que $5$ unitats.

Un submarí i un helicòpter de rescat estan situats sobre la mateixa línia vertical. Si transposem les seves posicions a una recta numèrica horitzontal on el $0$ és el nivell del mar:

• El submarí es troba al punt $S$.

• L'helicòpter es troba al punt $H$.

• Es sap que $|S| = |H| - 200$.

• La distància entre el submarí i l'helicòpter és de $500$ metres.

Dibuixa la recta numèrica i troba les coordenades de $S$ i $H$, sabent que l'helicòpter vola per sobre del nivell del mar i el submarí està submergit.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tres punts $P$, $Q$ i $R$ estan situats a la recta numèrica. Es sap que:

• El punt $Q$ és l'oposat de $-6$.

• El punt $P$ està a una distància de $10$ unitats de $Q$, cap a l'esquerra.

• El punt $R$ compleix que $|R| = |P| + |Q|$.

Calcula els valors de $P$, $Q$ i $R$. Representa a la recta totes les posicions possibles de $R$ i explica quina d'elles està més allunyada del punt mitjà entre $P$ i $Q$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donades les expressions següents, situa a la recta numèrica els valors de $x$ que les fan veritables:

1. a) $|x - 3| = 5$
2. b) $|x - 2| = 4$

Quin nombre enter és solució de totes dues expressions alhora? Marca'l amb un color diferent a la teva recta.

Considera un nombre enter negatiu $a$ i un nombre enter positiu $b$. A la recta numèrica, la distància entre $a$ i $b$ és de $15$ unitats. Si el valor absolut de $a$ és el doble que el valor absolut de $b$, és a dir, $|a| = 2 \cdot |b|$, troba els valors de $a$ i $b$ i representa'ls. Quin és l'oposat de la suma $a + b$?

Dibuixa una recta numèrica i representa els conjunts de nombres següents de manera que es pugui apreciar la diferència entre ells (per exemple, fent servir un color diferent per a cada conjunt):

• Conjunt $X$: nombres enters $x$ tals que $|x| < 4$.

• Conjunt $Y$: nombres enters $y$ tals que el seu oposat $-y$ està entre $-2$ i $5$ (tots dos exclosos).

Indica raonadament quins nombres enters pertanyen als dos conjunts alhora.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol determinar tots els nombres enters $x$ la distància dels quals al nombre $-3$ a la recta numèrica sigui menor o igual que $5$ unitats. Per resoldre-ho, dos estudiants plantegen estratègies diferents:

• Mètode de la Irene (geomètric): Situa el $-3$ a la recta numèrica, compta $5$ unitats cap a la dreta i $5$ cap a l'esquerra, dibuixa els extrems amb cercles plens i anota tots els nombres enters que queden dins d'aquest tram.

• Mètode d'en David (algebraic): Planteja la inequació amb valor absolut $|x - (-3)| \le 5$, la simplifica a $|x + 3| \le 5$, la descompon en la doble desigualtat $-5 \le x + 3 \le 5$ i aïlla la incògnita $x$ restant $3$ a cada membre.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes i comprova que s'arriba exactament al mateix conjunt de nombres enters.
2. b) Suposa ara que l'enunciat demana trobar els nombres enters la distància dels quals al nombre $-430$ sigui menor o igual a $125$ unitats. Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos és preferible triar en aquest segon cas, assenyalant els riscos i inconvenients de l'altre mètode.

En una línia de metro automatitzada, les diferents parades es representen com a punts enters en una recta numèrica. S'instal·larà una antena repetidora en una posició entera $k$. La cobertura de l'antena arriba a qualsevol punt $x$ la distància del qual a $k$ sigui com a màxim de $7$ unitats; és a dir, els punts que compleixen $|x - k| \le 7$. La direcció tècnica estableix dues condicions:

1. Ha de cobrir obligatòriament totes les estacions del tram de túnel crític, que comprèn tots els enters de l'interval $[-11, -5]$ (tots dos extrems inclosos).

2. No ha d'arribar sota cap concepte a l'estació central d'enllaç, situada al punt $0$ (l'origen), per no interferir amb els ordinadors de via.

1. a) A partir de la primera condició, analitza quina distància hi ha d'haver des de $k$ fins a l'extrem $-11$ i fins a l'extrem $-5$, i determina quins valors enters pot prendre la posició $k$.
2. b) Analitza la segona condició per saber quines posicions de $k$ farien que el punt $0$ quedés dins del radi d'abast i descarta-les.
3. c) Conclou quines són les úniques ubicacions enteres vàlides per instal·lar l'antena i, per a una d'elles, escriu l'interval complet d'estacions que quedaran cobertes.