Exercicis: Concepte

En la vida quotidiana utilitzem els nombres enters per expressar situacions oposades respecte a un punt de referència o "punt zero". Associa cadascun dels enunciats següents amb el nombre enter (positiu o negatiu) que el representi millor:

• a) Un busejador es troba a $15$ metres de profunditat sota el nivell del mar.

• b) Un excursionista ha pujat al cim d'una muntanya de $2300$ metres d'alçària.

• c) El saldo de la teva targeta de transport públic és de $4$ euros de deute.

• d) Un avió vola a una altitud de $9500$ metres.

• e) La temperatura en una estació d'esquí és de $7$ graus sota zero.

Observa la recta numèrica següent on s'han marcat diversos punts amb lletres. Indica quin nombre enter correspon a cadascuna de les lletres representades:

Considerant que la distància entre dues marques petites consecutives és de $1$ unitat, determina els valors de $A$, $B$, $C$ i $D$.

El valor absolut d'un nombre enter és la distància que el separa del zero a la recta numèrica, sense tenir en compte la seva direcció. Calcula els valors absoluts següents:

• a) $|-8| =$

• b) $|+12| =$

• c) $|-35| =$

• d) $|0| =$

• e) $|+7| =$

Dos nombres enters són oposats si es troben a la mateixa distància del zero però en costats diferents de la recta numèrica. Escriu l'oposat de cadascun dels nombres següents i representa'ls per parelles en una petita recta numèrica:

• a) $+5$

• b) $-3$

• c) $-1$

• d) $+4$

En una ciutat del nord d'Espanya, s'han registrat les temperatures mínimes següents durant la primera setmana de gener:

• Dilluns: $-4$ ºC

• Dimarts: $-7$ ºC

• Dimecres: $0$ ºC

• Dijous: $+2$ ºC

• Divendres: $-1$ ºC

• Dissabte: $+3$ ºC

• Diumenge: $-5$ ºC

Ordena aquests dies de més fred a menys fred (és a dir, de menor a major temperatura) utilitzant el símbol $<$ entre els valors.

Un ascensor d'un centre comercial molt gran té plantes per sobre i per sota del terra. Si considerem la planta baixa (carrer) com el nombre $0$:

• a) A quina planta arribem si som al soterrani $-3$ i pugem $5$ pisos?

• b) A quina planta arribem si som a la planta $+2$ i baixem $4$ pisos?

• c) Si som al soterrani $-2$ i volem pujar a la planta $+4$, quants pisos hem de pujar?

Compara les parelles de nombres enters següents utilitzant els signes $>$ (major que) o $<$ (menor que):

• a) $-10 \quad \square \quad -2$

• b) $+5 \quad \square \quad -8$

• c) $-1 \quad \square \quad 0$

• d) $-15 \quad \square \quad -20$

• e) $|-12| \quad \square \quad +10$

Escriu tots els nombres enters $x$ que compleixen les condicions següents alhora:

1. El seu valor absolut és menor que $6$ ($|x| < 6$).

2. Són nombres meors que $2$ ($x < 2$).

3. Són nombres majors o iguals que $-3$ ($x \geq -3$).

Representa'ls sobre una recta numèrica.

En un telenotícies de l'oratge s'analitzen les temperatures mínimes registrades per l'AEMET en tres municipis de la província de Terol: Griegos ($-14\,^\circ\text{C}$), Cantavieja ($-6\,^\circ\text{C}$) i Bronchales ($-9\,^\circ\text{C}$). A classe, en Marcos afirma el següent: «Com que $|-14| = 14$, $|-9| = 9$ i $|-6| = 6$, i sabem que $6 < 9 < 14$, l'ordre de menor a major temperatura ha de ser $-6\,^\circ\text{C} < -9\,^\circ\text{C} < -14\,^\circ\text{C}$, perquè el menor nombre enter és sempre el que té menor valor absolut».

1. a) Localitza i explica detalladament l'error conceptual que comet en Marcos en comparar nombres enters negatius a partir dels seus valors absoluts.
2. b) Recolzant-te en la posició dels nombres a la recta numèrica respecte al zero, escriu l'ordenació correcta de les tres temperatures de menor a major utilitzant el símbol $<$.

Un punt misteriós $P(x, y)$ té coordenades formades per nombres enters i has d'esbrinar la seva posició exacta a partir de les pistes següents:

1. El punt $P$ està situat al quadrant II del pla cartesià.

2. La distància de la seva abscissa $x$ a l'origen a la recta numèrica és de $5$ unitats (és a dir, $|x| = 5$).

3. La seva ordenada $y$ compleix que $op(y) = -3$.

1. a) Dedueix raonadament el valor del nombre enter $x$ combinant la pista 1 i la pista 2.
2. b) Dedueix el valor del nombre enter $y$ a partir de la pista 3, aplicant la propietat de l'oposat.
3. c) Escriu les coordenades definitives del punt $P(x, y)$ i indica en quin quadrant quedaria situat el seu punt simètric $Q(op(x), op(y))$, justificant el signe de cadascuna de les seves coordenades.

En una expedició científica, un globus sonda meteorològic sobrevola un volcà a una altitud de $+125$ metres sobre el nivell del mar, mentre que una sonda robotitzada està explorant el fons d'un llac proper a una profunditat de $-84$ metres.

1. a) Representa les dues posicions en una recta numèrica vertical, situant el nivell del mar a l'origen.

1. b) Calcula la distància total, en valor absolut, que separa el globus de la sonda.

1. c) Si la sonda ascendeix $30$ metres, quina serà la seva nova posició? Expressa-la amb un nombre enter.

Un equip d'arqueologia submarina està explorant les restes d'un galió antic. Utilitzen un submarí de recerca petit per documentar la troballa. Expressa amb nombres enters les situacions següents:

1. a) El vaixell nodrissa es troba a la superfície del mar.
2. b) El galió està assentat al fons marí, a una profunditat de $45$ metres.
3. c) El submarí baixa des de la superfície fins a una escletxa situada $12$ metres per sota del galió.
4. d) Després d'explorar l'escletxa, el submarí puja $25$ metres per fotografiar el pal del vaixell.

Representa aquestes quatre posicions en una línia vertical graduada on l'origen sigui el nivell del mar.

Ordena de menor a major els valors següents utilitzant els símbols $<$ o $>$. Et recomanem calcular primer el valor numèric de cada expressió:

$A = |−12|$

$B = op(+7)$

$C = −|−5|$

$D = op(−2)$

$E = −10$

$F = |op(−4)|$

Observa la recta numèrica següent on s'han marcat tres punts, $X$, $Y$ i $Z$.

Si cada divisió de la recta representa $2$ unitats:

1. a) Escriu les coordenades dels punts $X$, $Y$ i $Z$.
2. b) Calcula la distància que hi ha entre el punt $X$ i el punt $Z$.
3. c) Escriu l'oposat de $X$ i representa'l a la recta.

En un eix de coordenades cartesianes, hem dibuixat tres vèrtexs d'un rectangle: $A(−3, 2)$, $B(4, 2)$ i $C(4, −1)$.

1. a) Representa els punts al pla.
2. b) Determina les coordenades del quart vèrtex $D$ per completar el rectangle.
3. c) En quin quadrant es troba cadascun dels vèrtexs?
4. d) Calcula el perímetre del rectangle comptant les unitats de la quadrícula.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses. En cas que sigui falsa, posa un exemple (contraexemple) que ho demostri:

1. a) El valor absolut d'un nombre sempre és major que el mateix nombre.
2. b) Si dos nombres són negatius, és major el que té menor valor absolut.
3. c) L'oposat d'un nombre enter sempre és un nombre negatiu.
4. d) La distància entre un nombre i el seu oposat és sempre el doble del seu valor absolut.

Completa la piràmide màgica de nombres enters següent. La regla és molt senzilla: el valor de cada casella és la suma dels dos nombres que té just a sota.

Un videojoc de plataformes puntua els moviments d'un personatge sobre una línia horitzontal.

• Per cada moneda d'or recollida, el personatge avança $+5$ posicions.

• Per cada obstacle colpejat, el personatge retrocedeix $op(+3)$ posicions.

• Si cau en una trampa, se situa a la posició $-|−10|$.

Calcula la posició final del personatge si:

1. Comença a l'origen ($0$).

2. Recull $4$ monedes d'or.

3. Xoca contra $2$ obstacles.

4. Cau en una trampa.

5. Finalment, avança $8$ posicions més.

L'Institut Geogràfic Nacional (IGN) pren com a cota zero ($0\text{ m}$) el nivell mitjà del mar a Alacant per mesurar altituds a Espanya. Un equip d'oceanògrafs i topògrafs monitora quatre punts en una zona costanera:

• El punt $A$ és una boia ancorada exactament a nivell del mar ($0\text{ m}$).

• El punt $B$ és una balisa en un penya-segat situada a una altitud de $+42\text{ m}$.

• El punt $C$ és l'entrada a una gruta submarina la cota de la qual ve donada per $op(|-28|)\text{ m}$.

• El punt $D$ és el fons d'un avenc marí situat a una cota de $-42\text{ m}$.

1. a) Determina el nombre enter que expressa la cota de cadascun dels quatre punts.
2. b) Justifica quines d'aquestes quatre cotes pertanyen al conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$ i quines pertanyen a $\mathbb{Z}$ però no a $\mathbb{N}$.
3. c) Compara les posicions de $B$ i $D$: tenen la mateixa cota? Estan a la mateixa distància del nivell del mar? Justifica la resposta utilitzant els conceptes de nombre oposat i valor absolut.
4. d) Ordena les quatre cotes de menor a major utilitzant el símbol $<$.

Considera els dos nombres enters següents definits a partir d'oposats i valors absoluts:

$$A = op(|-18|)$$ $$B = op(op(-11))$$

1. a) Estima: Abans de realitzar qualsevol càlcul numèric directe, raona basant-te exclusivament en les definicions de valor absolut i de nombre oposat quin ha de ser el signe final d'$A$ i quin el de $B$. A partir d'aquesta deducció de signes i comparant els valors absoluts, estima quin dels dos nombres ha de ser forçosament el menor a la recta numèrica.
2. b) Calcula: Aplica pas a pas les propietats per simplificar $A$ i $B$, obtenint el nombre enter exacte que representa cadascun.
3. c) Comprova: Comprova si l'ordre numèric obtingut confirma la teva estimació prèvia. A continuació, calcula la distància que separa tots dos nombres a la recta numèrica i justifica si és raonable que aquesta distància sigui menor que $10$ unitats.

Un creador de contingut analitza l'evolució dels seus subscriptors durant una setmana. Dilluns va començar amb una xifra base. Els canvis diaris es van registrar de la següent manera: dimarts ($+150$), dimecres (el doble de pèrdua que dijous), dijous ($-200$), divendres (un augment igual al valor absolut de la pèrdua de dijous) i dissabte (un augment que va deixar el saldo setmanal total en exactament $0$ respecte a dilluns).

Calcula el nombre enter que representa la variació de dimecres i el nombre enter que representa la variació de dissabte. Representa en una recta numèrica les variacions de cada dia, situant el $0$ com l'estat inicial de dilluns.

Troba tots els nombres enters $x$ que compleixen simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu valor absolut és menor que $10$, és a dir: $|x| < 10$.

2. És un nombre estrictament menor que el seu oposat: $x < Op(x)$.

3. En sumar-li $-3$, el resultat és un nombre el valor absolut del qual és major que $5$.

Enumera els nombres obtinguts i representa'ls a la recta numèrica.

Un dron de reconeixement submarí parteix d'una plataforma situada a $15$ metres sobre el nivell del mar ($+15$ m). Fa els següents moviments consecutius:

• Baixa $27$ metres per prendre mostres.

• Puja una distància igual a la meitat del valor absolut de la seva posició actual.

• Finalment, baixa fins a una zona abissal situada a $-120$ metres.

Determina el nombre enter que representa la posició del dron després del segon moviment i calcula la distància total recorreguda pel dron durant els tres moviments.

Considera dos nombres enters $a$ i $b$ dels quals sabem el següent:

• El valor absolut de $a$ és $12$.

• L'oposat de $b$ és $-15$.

• La distància entre $a$ i $b$ a la recta numèrica és la menor possible.

A partir d'aquestes dades:

1. a) Identifica els valors de $a$ i $b$.
2. b) Quin és el nombre enter més gran $k$ tal que $a < k < b$?
3. c) Si multipliquem $a$ per un nombre negatiu, el resultat serà major o menor que $b$? Raona la resposta.

En un videojoc d'estratègia, les coordenades de la teva base són $A(-3, 4)$. Has de situar un lloc d'avançada en un punt $B$ que compleixi les condicions següents:

1. La seva abscissa (coordenada $x$) és l'oposat de l'abscissa d'$A$.

2. La seva ordenada (coordenada $y$) és un nombre enter negatiu el valor absolut del qual és $2$.

Utilitza la quadrícula per representar els dos punts (cada quadradet mesura una unitat):

1. a) Determina les coordenades del punt $B$.

1. b) Representa $A$ i $B$ al pla cartesià i indica en quin quadrant es troba cadascun.

1. c) Quin és el desplaçament horitzontal i vertical necessari per anar d'$A$ a $B$?

Es tenen tres nombres enters consecutius la suma dels quals és un nombre negatiu. Si el valor absolut del nombre intermedi és $1$:

1. a) Quins són aquests tres nombres?
2. b) Ordena de menor a major els valors absoluts d'aquests nombres.
3. c) Què passa amb el signe de la suma si triem els tres nombres enters consecutius "més grans" (més a la dreta a la recta) que continuen sent tots negatius?

Analitza les afirmacions següents i determina si són verdaderes o falses, proporcionant un contraexemple per a les que consideris falses:

1. Si $|a| > |b|$, aleshores sempre es compleix que $a > b$.

2. El valor absolut de la suma de dos nombres enters sempre és igual a la suma dels seus valors absoluts: $|a + b| = |a| + |b|$.

3. Si $n$ és un nombre enter negatiu, aleshores el seu oposat $Op(n)$ sempre és major que $n$.

4. La distància entre dos nombres oposats és sempre el doble del valor absolut d'un d'ells.

En un laboratori criogènic, una mostra es troba a $-18$ ºC. El sistema de control permet fer dos tipus d'ajustos:

• Ajust A: Sumar $-5$ ºC a la temperatura actual.

• Ajust B: Canviar la temperatura per la seva oposada i després restar $10$ ºC.

Si apliquem primer l'Ajust B i després l'Ajust A, quina serà la temperatura final? Seria el mateix resultat si apliquéssim primer l'Ajust A i després l'Ajust B? Justifica la teva resposta fent els dos càlculs pas a pas.

Es vol determinar en quin quadrant del pla cartesià se situa qualsevol punt $P$ les coordenades del qual venen donades per les expressions algebraiques $P(op(|a|), op(op(b)))$, sabent únicament com a dada de partida que $a$ és un nombre enter negatiu ($a < 0$) i que $b$ és un nombre enter positiu ($b > 0$).

Dos estudiants plantegen dos mètodes de resolució diferents:

• Mètode 1 (Lucía - Comprovació amb valors particulars): Tria valors numèrics concrets que compleixin les condicions, per exemple $a = -5$ i $b = +2$. Substitueix aquests valors a les coordenades de $P$, calcula els nombres enters resultants i dedueix el quadrant a partir dels signes obtinguts.

• Mètode 2 (Mateo - Deducció general per propietats): Argumenta que per a qualsevol $a \ne 0$ el seu valor absolut és estrictament positiu ($|a| > 0$), per la qual cosa el seu oposat $op(|a|)$ ha de ser negatiu; i que per la propietat $op(op(b)) = b$, la segona coordenada manté el signe positiu de $b$.

1. a) Aplica el Mètode 1 de la Lucía mostrant tots els passos de càlcul i determina el quadrant que obté.
2. b) Aplica el Mètode 2 d'en Mateo justificant rigorosament el signe final de l'abscissa i de l'ordenada.
3. c) Compara críticament tots dos mètodes: garanteix el mètode de la Lucía que la conclusió sigui vàlida per a tots els possibles nombres enters que compleixen la condició? Quins riscos té aquest camí enfront de la deducció d'en Mateo? Justifica quin dels dos mètodes és matemàticament rigorós.

Dos nombres enters desconeguts, $x$ i $y$, compleixen simultàniament les quatre condicions següents:

1. Tots dos pertanyen a $\mathbb{Z}$, però cap d'ells pertany a $\mathbb{N}$, i cap és igual a $0$.

2. El nombre enter $x$ és estrictament major que el nombre enter $y$ ($x > y$).

3. La suma de les seves distàncies al zero a la recta numèrica és igual a deu: $|x| + |y| = 10$.

4. L'oposat de $x$ és igual a tres: $op(x) = +3$.

1. a) Dedueix el valor del nombre enter $x$ a partir de la condició 4. Justifica si aquest valor compleix la condició 1.
2. b) Substitueix el valor absolut de $x$ a la condició 3 per obtenir el valor de $|y|$. Quins dos nombres enters tenen aquest valor absolut com a distància a l'origen?
3. c) Utilitza les condicions 1 i 2 per descartar un dels dos possibles valors i determinar l'únic valor possible d'$y$. Justifica el descart comparant els valors absoluts dels nombres negatius en joc.
4. d) Amb els valors trobats d'$x$ i $y$, determina raonadament en quin quadrant del pla cartesià se situa el punt $R(op(x), op(y))$.