Ejercicios: Concepto

En la vida cotidiana utilizamos los números enteros para expresar situaciones opuestas respecto a un punto de referencia o "punto cero". Asocia cada uno de los siguientes enunciados con el número entero (positivo o negativo) que mejor lo represente:

• a) Un buceador se encuentra a $15$ metros de profundidad bajo el nivel del mar.

• b) Un excursionista ha subido a la cima de una montaña de $2300$ metros de altura.

• c) El saldo de tu tarjeta de transporte público es de $4$ euros de deuda.

• d) Un avión vuela a una altitud de $9500$ metros.

• e) La temperatura en una estación de esquí es de $7$ grados bajo cero.

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado varios puntos con letras. Indica qué número entero corresponde a cada una de las letras representadas:

Considando que la distancia entre dos marcas pequeñas consecutivas es de $1$ unidad, determina los valores de $A$, $B$, $C$ y $D$.

El valor absoluto de un número entero es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica, sin tener en cuenta su dirección. Calcula los siguientes valores absolutos:

• a) $|-8| =$

• b) $|+12| =$

• c) $|-35| =$

• d) $|0| =$

• e) $|+7| =$

Dos números enteros son opuestos si se encuentran a la misma distancia del cero pero en lados diferentes de la recta numérica. Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números y represéntalos por parejas en una pequeña recta numérica:

• a) $+5$

• b) $-3$

• c) $-1$

• d) $+4$

En una ciudad del norte de España, se han registrado las siguientes temperaturas mínimas durante la primera semana de enero:

• Lunes: $-4$ ºC

• Martes: $-7$ ºC

• Miércoles: $0$ ºC

• Jueves: $+2$ ºC

• Viernes: $-1$ ºC

• Sábado: $+3$ ºC

• Domingo: $-5$ ºC

Ordena estos días de más frío a menos frío (es decir, de menor a mayor temperatura) utilizando el símbolo $<$ entre los valores.

Un ascensor de un centro comercial muy grande tiene plantas por encima y por debajo del suelo. Si consideramos la planta baja (calle) como el número $0$:

• a) ¿A qué planta llegamos si estamos en el sótano $-3$ y subimos $5$ pisos?

• b) ¿A qué planta llegamos si estamos en la planta $+2$ y bajamos $4$ pisos?

• c) Si estamos en el sótano $-2$ y queremos subir a la planta $+4$, ¿cuántos pisos debemos subir?

Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los signos $>$ (mayor que) o $<$ (menor que):

• a) $-10 \quad \square \quad -2$

• b) $+5 \quad \square \quad -8$

• c) $-1 \quad \square \quad 0$

• d) $-15 \quad \square \quad -20$

• e) $|-12| \quad \square \quad +10$

Pista: Recuerda que en los números negativos, es mayor el que está más cerca del cero.

Escribe todos los números enteros $x$ que cumplen las siguientes condiciones al mismo tiempo:

1. Su valor absoluto es menor que $6$ ($|x| < 6$).

2. Son números menores que $2$ ($x < 2$).

3. Son números mayores o iguales que $-3$ ($x \geq -3$).

Represéntalos sobre una recta numérica.

En una expedición científica, un globo sonda meteorológico sobrevuela un volcán a una altitud de $+125$ metros sobre el nivel del mar, mientras que una sonda robotizada se encuentra explorando el fondo de un lago cercano a una profundidad de $-84$ metros.

1. a) Representa ambas posiciones en una recta numérica vertical, situando el nivel del mar en el origen.
2. b) Calcula la distancia total, en valor absoluto, que separa al globo de la sonda.
3. c) Si la sonda asciende $30$ metros, ¿cuál será su nueva posición? Exprésala con un número entero.

Un equipo de arqueología submarina está explorando los restos de un galeón antiguo. Utilizan un pequeño submarino de investigación para documentar el hallazgo. Expresa con números enteros las siguientes situaciones:

1. a) El barco nodriza se encuentra en la superficie del mar.
2. b) El galeón está asentado en el lecho marino, a una profundidad de $45$ metros.
3. c) El submarino desciende desde la superficie hasta una grieta situada $12$ metros por debajo del galeón.
4. d) Tras explorar la grieta, el submarino sube $25$ metros para fotografiar el mástil del barco.

Representa estas cuatro posiciones en una línea vertical graduada donde el origen sea el nivel del mar.

Ordena de menor a mayor los siguientes valores utilizando los símbolos $<$ o $>$. Te recomendamos calcular primero el valor numérico de cada expresión:

$A = |−12|$

$B = op(+7)$

$C = −|−5|$

$D = op(−2)$

$E = −10$

$F = |op(−4)|$

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado tres puntos, $X$, $Y$ y $Z$.

Si cada división de la recta representa $2$ unidades:

1. a) Escribe las coordenadas de los puntos $X$, $Y$ y $Z$.
2. b) Calcula la distancia que hay entre el punto $X$ y el punto $Z$.
3. c) Escribe el opuesto de $X$ y represéntalo en la recta.

En un eje de coordenadas cartesianas, hemos dibujado tres vértices de un rectángulo: $A(−3, 2)$, $B(4, 2)$ y $C(4, −1)$.

1. a) Representa los puntos en el plano.
2. b) Determina las coordenadas del cuarto vértice $D$ para completar el rectángulo.
3. c) ¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de los vértices?
4. d) Calcula el perímetro del rectángulo contando las unidades de la cuadrícula.

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsa, pon un ejemplo (contraejemplo) que lo demuestre:

1. a) El valor absoluto de un número siempre es mayor que el propio número.
2. b) Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
3. c) El opuesto de un número entero siempre es un número negativo.
4. d) La distancia entre un número y su opuesto es siempre el doble de su valor absoluto.

Completa la siguiente pirámide mágica de números enteros. La regla es muy sencilla: el valor de cada casilla es la suma de los dos números que tiene justo debajo.

Un videojuego de plataformas puntúa los movimientos de un personaje sobre una línea horizontal.

• Por cada moneda de oro recogida, el personaje avanza $+5$ posiciones.

• Por cada obstáculo golpeado, el personaje retrocede $op(+3)$ posiciones.

• Si cae en una trampa, se sitúa en la posición $-|−10|$.

Calcula la posición final del personaje si:

1. Comienza en el origen ($0$).

2. Recoge $4$ monedas de oro.

3. Golpea $2$ obstáculos.

4. Cae en una trampa.

5. Finalmente, avanza $8$ posiciones más.

Un creador de contenido analiza la evolución de sus suscriptores durante una semana. El lunes empezó con una cifra base. Los cambios diarios se registraron de la siguiente forma: martes ($+150$), miércoles (el doble de pérdida que el jueves), jueves ($-200$), viernes (un aumento igual al valor absoluto de la pérdida del jueves) y sábado (una caída que dejó el saldo semanal total en exactamente $0$ respecto al lunes).

Calcula el número entero que representa la variación del miércoles y el número entero que representa la variación del sábado. Representa en una recta numérica las variaciones de cada día, situando el $0$ como el estado inicial del lunes.

Encuentra todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Su valor absoluto es menor que $10$, es decir: $|x| < 10$.

2. Es un número estrictamente menor que su opuesto: $x < Op(x)$.

3. Al sumarle $-3$, el resultado es un número cuyo valor absoluto es mayor que $5$.

Enumera los números obtenidos y represéntalos en la recta numérica.

Un dron de reconocimiento submarino parte de una plataforma situada a $15$ metros sobre el nivel del mar ($+15$ m). Realiza los siguientes movimientos consecutivos:

• Desciende $28$ metros para tomar muestras.

• Asciende una distancia igual a la mitad del valor absoluto de su posición actual.

• Finalmente, baja hasta una zona abisal situada a $-120$ metros.

Determina el número entero que representa la posición del dron tras el segundo movimiento y calcula la distancia total recorrida entre el punto de inicio y el punto final.

Considera dos números enteros $a$ y $b$ de los que sabemos lo siguiente:

• El valor absoluto de $a$ es $12$.

• El opuesto de $b$ es $-15$.

• La distancia entre $a$ y $b$ en la recta numérica es la menor posible.

A partir de estos datos:

1. a) Identifica los valores de $a$ y $b$.
2. b) ¿Cuál es el mayor número entero $k$ tal que $a < k < b$?
3. c) Si multiplicamos $a$ por un número negativo, ¿el resultado será mayor o menor que $b$? Razona la respuesta.

En un videojuego de estrategia, las coordenadas de tu base son $A(-3, 4)$. Debes situar un puesto de avanzada en un punto $B$ que cumpla las siguientes condiciones:

1. Su abscisa (coordenada $x$) es el opuesto de la abscisa de $A$.

2. Su ordenada (coordenada $y$) es un número entero tal que su valor absoluto es $2$, pero el punto $B$ debe estar en un cuadrante distinto al de $A$ y no puede estar en el eje de abscisas.

Representa ambos puntos en el plano cartesiano e indica en qué cuadrante se encuentra cada uno. ¿Cuál es el desplazamiento horizontal y vertical necesario para ir de $A$ a $B$?

Se tienen tres números enteros consecutivos cuya suma es un número negativo. Si el valor absoluto del número intermedio es $0$:

1. a) ¿Cuáles son esos tres números?
2. b) Ordena de menor a mayor los valores absolutos de dichos números.
3. c) ¿Qué ocurre con el signo de la suma si elegimos los tres números enteros consecutivos "más grandes" (más a la derecha en la recta) que siguen siendo todos negativos?

Analiza las siguientes afirmaciones y determina si son verdaderas o falsas, proporcionando un contraejemplo para las que consideres falsas:

1. Si $|a| > |b|$, entonces siempre se cumple que $a > b$.

2. El valor absoluto de la suma de dos números enteros siempre es igual a la suma de sus valores absolutos: $|a + b| = |a| + |b|$.

3. Si $n$ es un número entero negativo, entonces su opuesto $Op(n)$ siempre es mayor que $n$.

4. La distancia entre dos números opuestos es siempre el doble del valor absoluto de uno de ellos.

En un laboratorio criogénico, una muestra se encuentra a $-18$ ºC. El sistema de control permite realizar dos tipos de ajustes:

• Ajuste A: Sumar $-5$ ºC a la temperatura actual.

• Ajuste B: Cambiar la temperatura por su opuesta y luego restar $10$ ºC.

Si aplicamos primero el Ajuste B y después el Ajuste A, ¿cuál será la temperatura final? ¿Sería el mismo resultado si aplicáramos primero el Ajuste A y después el Ajuste B? Justifica tu respuesta realizando ambos cálculos paso a paso.