Exercicis: Operacions amb monomis

Per entendre com es construeixen les expressions matemàtiques, és fonamental conèixer les parts d'un monomi. Completa la informació sol·licitada per a cadascun dels monomis següents:

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Per a cadascun, indica:

• El coeficient.

• La part literal.

• El grau del monomi.

En el món de l'àlgebra, només podem sumar o restar "coses iguals". Identifica quins dels monomis següents són semblants entre si i agrupa'ls:

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Simplifica les expressions següents sumant i restant els monomis semblants:

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Calcula el producte dels monomis següents. Recorda multiplicar els coeficients entre si i sumar els exponents de les lletres iguals:

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Realitza les divisions de monomis següents. Recorda dividir els coeficients i restar els exponents de les lletres:

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Calcula la potència d'aquests monomis. No oblidis elevar tant el coeficient com la part literal a l'exponent indicat:

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Troba l'expressió algebraica que representa el perímetre de la parcel·la rectangular següent destinada a un hort escolar. Una vegada tinguis l'expressió, redueix-la al màxim sumant els seus termes semblants.

En un videojoc de curses, per cada moneda d'or recollida obtens $5x$ punts i per cada moneda de plata obtens $2x$ punts.

Si en una partida un jugador ha aconseguit 4 monedes d'or i 6 de plata:

1. a) Escriu el monomi que representa els punts totals de les monedes d'or.
2. b) Escriu el monomi que representa els punts totals de les monedes de plata.
3. c) Suma tots dos monomis per obtenir el total de punts de la partida.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A la classe de Matemàtiques, en Marcos ha resolt a la pissarra la potència d'un monomi següent:

$$(-3x^4)^2 = -6x^8$$

La seva粪companya Alba aixeca la mà i afirma que en Marcos ha comès dos errors conceptuals diferents en aquest únic pas.

1. a) Identifica els dos errors comesos per en Marcos, explicant amb claredat quina regla sobre les operacions amb monomis ha aplicat malament en cada cas (un en el coeficient i un altre en el signe o en els exponents).
2. b) Escriu la resolució correcta i completament desenvolupada pas a pas justificant el signe, el coeficient i l'exponent finals.

Un professor ha esborrat parcialment la pissarra en acabar la classe i han quedat incompletes aquestes tres operacions amb monomis:

1. a) $4x^3 \cdot \Box = -20x^7$
2. b) $\frac{\Box}{3x^2} = 5x^4$
3. c) $(\Box)^3 = -8x^6$

Esbrina quin monomi s'ha de col·locar a cada requadre ($\Box$) perquè les igualtats siguin certes. En cada cas, explica raonadament com dedueixes el signe, el coeficient numèric i l'exponent de la part literal mitjançant l'operació inversa corresponent.

Redueix al màxim la següent expressió algebraica agrupant els monomis que siguin semblants:

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Calcula el resultat de les multiplicacions de monomis següents i simplifica la part literal utilitzant les propietats de les potències:

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Troba l'expressió algebraica simplificada que representa el perímetre de la parcel·la següent destinada a una zona de jocs en un parc:

Realitza les potències de monomis següents. Recorda que l'exponent afecta tant al coeficient com a cadascuna de les variables de la part literal:

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

Simplifica els quocients de monomis següents. Expressa el resultat com un sol monomi quan sigui possible:

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

En una campanya de reforestació, cada voluntari planta $3x$ arbres al matí i $2x$ arbres a la tarda. Si hi ha un total de $y$ voluntaris, escriu l'expressió algebraica simplificada que representi:

1. a) El nombre total d'arbres que planta un sol voluntari en un dia.

1. b) El nombre total d'arbres plantats per tots els voluntaris en una setmana (7 dies).

Calcula l'expressió que representa l'àrea de la regió ombrejada en la figura següent, sabent que el costat del quadrat exterior mesura $4x$ i el costat del quadrat interior blanc mesura $x$:

Resol les operacions combinades següents amb monomis respectant la jerarquia de les operacions:

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

Considera la següent operació combinada amb monomis:

$$M = \frac{(-2x^3)^3 \cdot (6x^2)}{-4x^5}$$

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric amb els coeficients, fes una estimació raonada responent a aquestes dues preguntes:

1. Quin signe tindrà el resultat final? Justifica-ho analitzant successivament els signes de la potència, del producte del numerador i de la divisió final.

2. Quin serà el grau exacte del monomi resultant? Justifica-ho calculant mentalment la suma i la resta d'exponents segons les propietats de les potències.

1. b) Resol l'operació combinada pas a pas respectant la jerarquia d'operacions i simplifica el monomi resultant.
2. c) Comprova si el resultat que has obtingut coincideix amb les teves deduccions prèvies del signe i del grau de l'apartat a).

Una cooperativa agrària de Tomelloso (Castella - la Manxa) instal·la plaques solars en una finca rectangular per abastir els motors de reg. Les mesures del terreny s'expressen en funció d'una variable $x$ (en metres): l'amplada fa $3x$ metres i la llargada fa el triple que l'amplada.

1. a) Determina el monomi simplificat que representa l'àrea total de la parcel·la en metres quadrats.
2. b) Per distribuir el cablejat, divideixen tota la finca en parcel·les quadrades idèntiques de costat $x$ metres. Escriu el monomi que representa l'àrea d'una d'aquestes parcel·les i calcula quantes parcel·les hi caben en total fent la divisió de monomis oportuna.
3. c) El cost de manteniment anual de la finca és de $0,5$ euros per cada metre quadrat de superfície. Si la cooperativa rep una subvenció autonòmica fixa anual de $15x^2$ euros, determina mitjançant operacions amb monomis si la subvenció és suficient per cobrir el manteniment i quants diners sobren o falten en funció de $x$.

Realitza la següent operació combinada amb monomis, simplificant el resultat al màxim. Tingues molta cura amb la jerarquia de les operacions i les regles de les potències:

$$ \frac{2}{3}x^2 \cdot (-3x^3)^2 - 5x^5 \cdot (2x^3) + \frac{16x^{10}}{2x^2} $$

Una empresa de disseny fabrica marcs d'alumini per a pantalles de tauletes. El disseny segueix les proporcions mostrades en la figura següent, on totes les mesures estan expressades en funció d'una variable $x$. Troba el monomi que representa l'àrea total de la superfície del marc (la zona ombrejada).

Troba els monomis desconeguts $M$ i $N$ que fan que es compleixin les igualtats següents:

1. a) $ (-4x^3y^2) \cdot M = 20x^7y^5 $

1. b) $ \frac{N}{-3ab} = 6a^2b^3 $

1. c) $ (2x^2)^3 : M = -4x $

En un videojoc d'estratègia, l'energia d'un batalló es calcula mitjançant el producte del seu nivell d'atac pel seu nivell de defensa, dividit entre la seva fatiga. Si sabem que:

• Atac: $ 12a^2b^3 $

• Defensa: $ 5a^3b $

• Fatiga: $ 10ab^2 $

Expressa l'energia total del batalló com un únic monomi i determina el seu grau.

Extreu el màxim factor comú possible en la següent expressió algebraica. Recorda que has d'extreure tant el màxim comú divisor dels coeficients com les variables comunes amb el seu menor exponent:

$$ 24x^5y^4z^2 - 36x^3y^6z^3 + 12x^2y^4z^5 $$

Calcula el valor del monomi resultant a la part superior d'aquesta "piràmide de productes", on cada maó és el resultat de multiplicar els dos monomis que té just a sota:

Redueix la següent expressió aplicant la propietat distributiva i simplificant els monomis semblants resultants:

$$ -3ab^2 \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) - 2a^2b \cdot (4ab - a) $$

Calcula el monomi que representa el volum d'un cos geomètric format per la unió de 5 cubs idèntics, on l'aresta de cada cub mesura $ \frac{2}{3}x^2 $ metres. Expressa el resultat final de forma simplificada.

Per calcular el valor numèric de l'expressió algebraica:

$$E = \frac{(6x^4)^2 \cdot x^3}{12x^7}$$

per al valor $x = -2$, dos estudiants de 2n d'ESO proposen dues estratègies diferents:

• Mètode d'en Sergio: Substitueix directament el valor $x = -2$ a cadascuna de les $x$ de l'expressió original, calcula les potències numèriques resultants i finalment efectua les multiplicacions i la divisió amb els nombres obtinguts.

• Mètode de la Irene: Aplica primer les propietats de les operacions amb monomis per simplificar l'expressió a un únic monomi irreductible, i només al final substitueix $x = -2$.

1. a) Aplica el mètode d'en Sergio indicant els nombres intermedis que obté en el numerador i en el denominador abans de simplificar.
2. b) Aplica el mètode de la Irene simplificant primer l'expressió algebraica i calculant el valor numèric final.
3. c) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos és més avantatjós i segur en matemàtiques. Argumenta la teva resposta valorant la mida dels nombres utilitzats i la probabilitat de cometre errades operatives en cada procediment.

Es vol dissenyar una tremuja metàl·lica per emmagatzemar gra la capacitat de la qual ve donada pel volum d'un ortoedre. El volum total és el producte de tres monomis que corresponen a les seves tres dimensions (llargada $L(x)$, amplada $A(x)$ i alçària $H(x)$), de manera que $V(x) = L(x) \cdot A(x) \cdot H(x)$. Es coneixen les dades tècniques següents:

• El monomi del volum total és $V(x) = 72x^7$.

• L'alçària de la tremuja és el monomi $H(x) = 2x^2$.

• Tant la llargada $L(x)$ com l'amplada $A(x)$ tenen coeficients enters positius.

• El grau de la llargada $L(x)$ és una unitat més gran que el grau de l'amplada $A(x)$.

• El coeficient numèric de la llargada $L(x)$ és exactament el quàdruple del coeficient de l'amplada $A(x)$.

1. a) Dedueix pas a pas els monomis exactes que corresponen a $L(x)$ i a $A(x)$, justificant com obtens tant els coeficients com els graus a partir de les propietats de les operacions amb monomis.
2. b) Planteja l'expressió de l'àrea de la base de la tremuja, $B(x) = L(x) \cdot A(x)$. A continuació, respon justificadament: és possible modificar les dimensions $L(x)$ i $A(x)$ (mantenint que el seu producte sigui el mateix i que continuïn sent monomis) de manera que el grau de la base sigui 6? Justifica per què és o no és possible a partir de la relació entre el grau del volum i el de l'alçària.