Ejercicios: Operaciones con monomios

Para entender cómo se construyen las expresiones matemáticas, es fundamental conocer las partes de un monomio. Completa la información solicitada para cada uno de los siguientes monomios:

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Para cada uno, indica:

• El coeficiente.

• La parte literal.

• El grado del monomio.

En el mundo del álgebra, solo podemos sumar o restar "cosas iguales". Identifica cuáles de los siguientes monomios son semejantes entre sí y agrúpalos:

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Simplifica las siguientes expresiones sumando y restando los monomios semejantes:

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Calcula el producto de los siguientes monomios. Recuerda multiplicar los coeficientes entre sí y sumar los exponentes de las letras iguales:

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Realiza las siguientes divisiones de monomios. Recuerda dividir los coeficientes y restar los exponentes de las letras:

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Calcula la potencia de estos monomios. No olvides elevar tanto el coeficiente como la parte literal al exponente indicado:

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Halla la expresión algebraica que representa el perímetro de la siguiente parcela rectangular destinada a un huerto escolar. Una vez que tengas la expresión, redúcela al máximo sumando sus términos semejantes.

En un videojuego de carreras, por cada moneda de oro recogida obtienes $5x$ puntos y por cada moneda de plata obtienes $2x$ puntos.

Si en una partida un jugador ha conseguido 4 monedas de oro y 6 de plata:

1. a) Escribe el monomio que representa los puntos totales de las monedas de oro.
2. b) Escribe el monomio que representa los puntos totales de las monedas de plata.
3. c) Suma ambos monomios para obtener el total de puntos de la partida.

Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica agrupando los monomios que sean semejantes:

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Calcula el resultado de las siguientes multiplicaciones de monomios y simplifica la parte literal utilizando las propiedades de las potencias:

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Halla la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro de la siguiente parcela destinada a una zona de juegos en un parque:

Realiza las siguientes potencias de monomios. Recuerda que el exponente afecta tanto al coeficiente como a cada una de las variables de la parte literal:

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

Simplifica los siguientes cocientes de monomios. Expresa el resultado como un solo monomio cuando sea posible:

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

En una campaña de reforestación, cada voluntario planta $3x$ árboles por la mañana y $2x$ árboles por la tarde. Si hay un total de $y$ voluntarios, escribe la expresión algebraica simplificada que represente:

1. a) El número total de árboles que planta un solo voluntario en un día.

1. b) El número total de árboles plantados por todos los voluntarios en una semana (7 días).

Calcula la expresión que representa el área de la región sombreada en la siguiente figura, sabiendo que el lado del cuadrado exterior mide $4x$ y el lado del cuadrado interior blanco mide $x$:

Resuelve las siguientes operaciones combinadas con monomios respetando la jerarquía de las operaciones:

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

Realiza la siguiente operación combinada con monomios, simplificando el resultado al máximo. Ten especial cuidado con la jerarquía de las operaciones y las reglas de las potencias:

$$ \frac{2}{3}x^2 \cdot (-3x^3)^2 - 5x^5 \cdot (2x^3) + \frac{16x^{10}}{2x^2} $$

Una empresa de diseño fabrica marcos de aluminio para pantallas de tablets. El diseño sigue las proporciones mostradas en la siguiente figura, donde todas las medidas están expresadas en función de una variable $x$. Halla el monomio que representa el área total de la superficie del marco (la zona sombreada).

Encuentra los monomios desconocidos $M$ y $N$ que hacen que se cumplan las siguientes igualdades:

1. a) $ (-4x^3y^2) \cdot M = 20x^7y^5 $

1. b) $ \frac{N}{-3ab} = 6a^2b^3 $

1. c) $ (2x^2)^3 : M = -4x $

En un videojuego de estrategia, la energía de un batallón se calcula mediante el producto de su nivel de ataque por su nivel de defensa, dividido entre su fatiga. Si sabemos que:

• Ataque: $ 12a^2b^3 $

• Defensa: $ 5a^3b $

• Fatiga: $ 10ab^2 $

Expresa la energía total del batallón como un único monomio y determina su grado.

Extrae el máximo factor común posible en la siguiente expresión algebraica. Recuerda que debes extraer tanto el máximo común divisor de los coeficientes como las variables comunes con su menor exponente:

$$ 24x^5y^4z^2 - 36x^3y^6z^3 + 12x^2y^4z^5 $$

Calcula el valor del monomio resultante en la parte superior de esta "pirámide de productos", donde cada ladrillo es el resultado de multiplicar los dos monomios que tiene justo debajo:

Reduce la siguiente expresión aplicando la propiedad distributiva y simplificando los monomios semejantes resultantes:

$$ -3ab^2 \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) - 2a^2b \cdot (4ab - a) $$

Calcula el monomio que representa el volumen de un cuerpo geométrico formado por la unión de 5 cubos idénticos, donde la arista de cada cubo mide $ \frac{2}{3}x^2 $ metros. Expresa el resultado final de forma simplificada.