Exercicis: Fraccions. Fraccions equivalents.

Observa la figura següent i determina quina fracció representa la part ombrejada. A continuació, escriu una fracció equivalent que tingui com a denominador el nombre $16$.

Calcula el valor del nombre que falta perquè la parella de fraccions següent siguin equivalents:

Comprova si les fraccions següents són equivalents utilitzant el mètode dels productes creuats:

Mostra els càlculs realitzats.

Lucas ha partit una tauleta de xocolata en $12$ onzes iguals i se n'ha menjat $4$. La seva amiga Sofía té una tauleta igual però partida en només $3$ trossos grans. Quants trossos hauria de menjar la Sofía per haver menjat la mateixa quantitat de xocolata que Lucas? Expressa-ho utilitzant fraccions equivalents.

A la figura, les onzes acolorides són les que s'ha menjat Lucas. La tauleta de Sofía està sense acolorir.

Obtén tres fraccions equivalents a $\frac{2}{7}$ per amplificació. Per fer-ho, multiplica el numerador i el denominador per $2$, per $3$ i per $10$.

Simplifica la fracció següent fins a obtenir la seva fracció irreductible:

Indica per quin nombre has dividit el numerador i el denominador en cada pas.

Observa la posició del punt $P$ a la recta numèrica. Quina fracció representa? Escriu una fracció equivalent a aquesta el denominador de la qual sigui $10$.

En un equip de bàsquet, $6$ dels $15$ jugadors són esquerrans.

1. a) Escriu la fracció de jugadors esquerrans.
2. b) Quina de les fraccions següents és equivalent a l'anterior?

• $\frac{1}{3}$

• $\frac{2}{5}$

• $\frac{3}{10}$

En Mateo està buscant una fracció equivalent a $\frac{2}{5}$ que tingui com a denominador $15$. A la seva llibreta ha escrit el següent: «Per passar del denominador $5$ al $15$, he de sumar $10$. Per tant, al numerador també li sumo $10$, de manera que la fracció equivalent és $\frac{12}{15}$». Explica raonadament per què el procediment d'en Mateo és erroni basant-te en el concepte d'amplificació. A continuació, corregeix el seu error, calcula la fracció equivalent correcta i demostra formalment que equival a $\frac{2}{5}$ utilitzant la regla dels productes encreuats.

En una enquesta sobre mobilitat sostenible realitzada en un institut, $18$ dels $40$ alumnes d'un grup de 1r d'ESO afirmen que van al centre caminant o en bicicleta.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, estima de manera raonada si aquesta proporció representa més de la meitat, menys de la meitat o exactament la meitat del grup, prenent com a referència la fracció $\frac{1}{2}$.
2. b) Simplifica la fracció $\frac{18}{40}$ fins a arribar a la seva fracció irreductible i comprova si la teva estimació inicial era correcta.
3. c) Si a tot el curs de 1r d'ESO hi ha $200$ estudiants i es mantingués exactament la mateixa proporció, quants alumnes hi anirien a peu o en bicicleta? Comprova que la nova fracció obtinguda és equivalent a la irreductible aplicant els productes encreuats.

Dos amics, Marcos i Lucía, estan comparant quant han avançat en la lectura d'un mateix llibre. Marcos diu que ha llegit $\frac{3}{4}$ del total, mentre que Lucía afirma haver completat $\frac{9}{12}$ de les pàgines. Utilitza la representació gràfica per comprovar si tots dos han llegit la mateixa proporció del llibre i justifica la teva resposta mitjançant el producte en creu.

Calcula el valor de la incògnita $x$ perquè les parelles de fraccions següents siguin equivalents:

1. a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$

1. b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$

1. c) $\dfrac{18}{x} = \dfrac{6}{11}$

En un videojoc, la barra d'energia d'un personatge està dividida originalment en $8$ segments iguals. Si el personatge té actualment $\frac{6}{8}$ de la seva energia, quants segments estarien plens si decidíssim dividir la mateixa barra en $24$ parts més petites? Escriu la fracció equivalent corresponent.

A la figura, la barra de dalt és l'original (amb $6$ segments plens de $8$) i la de baix és la mateixa barra dividida en $24$ parts iguals, encara sense acolorir.

Obtén la fracció irreductible de les expressions següents utilitzant el mètode de divisió successiva o calculant el Màxim Comú Divisor ($M.C.D.$):

1. a) $\dfrac{120}{180}$

1. b) $\dfrac{45}{105}$

1. c) $\dfrac{256}{512}$

De la llista de fraccions següent, agrupa aquelles que siguin equivalents entre si:

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{10}{30}, \dfrac{7}{14}$

Per preparar un batut de fruites, una recepta indica que es necessiten $\frac{2}{5}$ de litre de llet. Si només disposes d'un mesurador graduat en mil·lilitres ($1$ litre = $1000$ ml), quina fracció amb denominador $1000$ seria equivalent a $\frac{2}{5}$? Quants mil·lilitres de llet has de posar exactament?

Completa les cadenes de fraccions equivalents següents:

1. a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{\square} = \dfrac{\square}{15} = \dfrac{20}{\square}$

1. b) $\dfrac{60}{48} = \dfrac{30}{\square} = \dfrac{\square}{12} = \dfrac{5}{\square}$

Assenyala quines de les afirmacions següents són vertaderes i quines són falses, raonant la teva resposta a la llibreta:

1. a) Si multipliquem el numerador d'una fracció per $2$ i el denominador per $2$, obtenim una fracció equivalent.

1. b) En sumar $3$ al numerador i $3$ al denominador de la fracció $\frac{1}{2}$, obtenim una altra fracció equivalent.

1. c) La fracció $\frac{17}{13}$ és irreductible perquè tant el numerador com el denominador són nombres primers.

A partir de les dades publicades per l'AEMET sobre la primavera a dues comarques agrícoles espanyoles, se sap que a la comarca A va ploure $36$ dies d'un total de $90$ dies observats, mentre que a la comarca B va ploure $24$ dies durant un període de $60$ dies registrats.

1. a) Planteja la fracció de dies plujosos respecte al total de dies a cadascuna de les dues comarques.
2. b) Sense calcular els nombres decimals associats, demostra mitjançant la regla dels productes encreuats si la freqüència relativa de dies de pluja va ser exactament equivalent a totes dues zones.
3. c) Calcula la fracció irreductible que comparteixen totes dues comarques mitjançant la divisió de numerador i denominador entre el seu M.C.D. i explica quin significat pràctic tenen el numerador i el denominador d'aquesta fracció irreductible per a un agricultor de la zona.

Dos estudiants han d'esbrinar si les fraccions $\frac{72}{108}$ i $\frac{60}{90}$ representen exactament la mateixa quantitat, però no es posen d'acord en com comprovar-ho:

• La Sofía proposa comprovar-ho directament mitjançant els productes encreuats ($72 \cdot 90$ i $108 \cdot 60$).

• L'Alejandro s'estima més simplificar cada fracció dividint els seus termes entre el màxim comú divisor (M.C.D.) per comparar-les en la seva forma irreductible.

1. a) Aplica el procediment de la Sofía i determina si són equivalents.
2. b) Aplica el procediment de l'Alejandro calculant el M.C.D. de cada fracció i trobant les seves fraccions irreductibles.
3. c) Compara tots dos camins: quin dels dos mètodes consideres més segur i avantatjós si has de fer els càlculs a mà i sense calculadora? Justifica la teva resposta analitzant què passa amb la mida de les operacions en cada cas.

En un taller de disseny gràfic, s'estan comparant dos formats d'imatge. El primer format ocupa els $\frac{5}{8}$ de la memòria d'una targeta, i el segon n'ocupa els $\frac{7}{12}$. Per a un nou projecte, cal trobar una fracció equivalent a cadascuna d'elles que tingui com a denominador el mínim comú múltiple de tots dos denominadors. Un cop trobades, cerca un nombre natural $x$ tal que la fracció $\frac{x}{48}$ estigui situada exactament entre les dues fraccions originals.

Tres amics, Lucía, Marcos i Sofía, han comprat una parcel·la rectangular per conrear un hort urbà. Lucía es queda amb $\frac{2}{5}$ del terreny, Marcos amb $\frac{4}{15}$ i Sofía amb la resta.

1. a) Calcula la fracció simplificada que li correspon a Sofía.
2. b) Troba una fracció equivalent a la part de Sofía el numerador de la qual sigui el doble que el numerador de la part de Marcos.
3. c) Si el terreny total mesura $300$ metres quadrats, és cert que la part de Marcos és equivalent a tenir $20$ trossos de $\frac{4}{1}$ metres quadrats cadascun? Raona la teva resposta.

Troba el valor de la incògnita $n$ a cadascuna de les següents igualtats perquè les fraccions siguin equivalents, sabent que $n$ ha de ser un nombre enter positiu:

1. a) $\frac{n+2}{12} = \frac{15}{18}$

1. b) $\frac{8}{n-3} = \frac{32}{40}$

1. c) $\frac{3}{7} = \frac{n^2}{21}$

Un arquitecte divideix una gran finestra rectangular en $8$ seccions iguals (distribuïdes en dues files de quatre). Tres d'aquestes seccions estan ombrejades i representen la part que portarà vidre tintat. Determina:

1. a) Quina fracció irreductible del total representa la zona ombrejada?
2. b) Busca una fracció equivalent a l'anterior el denominador de la qual sigui igual al denominador de la fracció irreductible obtinguda en l'apartat anterior multiplicat per $3$.

Disposem d'una fracció misteriosa. Sabem que és equivalent a $\frac{45}{105}$. A més, es compleixen les pistes següents:

1. El seu numerador és un nombre de dues xifres que és múltiple de $6$.

2. Si sumem el seu numerador i el seu denominador, el resultat és un nombre menor que $100$.

Quines fraccions compleixen totes les pistes? Troba-les totes i indica els passos realitzats.

En una competició de robòtica, el robot d'Irene ha completat $\frac{18}{24}$ del circuit, mentre que el d'Alejandro ha completat $\frac{25}{30}$.

1. a) Simplifica totes dues fraccions fins a arribar a la seva fracció irreductible per saber quin robot va al davant.
2. b) Irene afirma que si el seu robot recorre un tram més equivalent a $\frac{1}{12}$ del total, les fraccions de tots dos robots passaran a ser equivalents. És certa la seva afirmació? Demostra-ho matemàticament.

Es vol construir una cadena de fraccions equivalents començant per $\frac{12}{16}$.

1. a) Escriu la fracció irreductible de la cadena.
2. b) Troba el terme que falta en la igualtat següent: $\frac{12}{16} = \frac{x}{x+5}$. (Pista: utilitza la propietat que en les fraccions equivalents els productes creuats són iguals).
3. c) Si multipliquem el numerador de la fracció irreductible per un nombre primer $p$ i el denominador pel nombre primer següent, la nova fracció obtinguda podria ser equivalent a l'original? Justifica la teva resposta amb un exemple.

Una empresa de sucs utilitza dos envasos diferents. L'envàs A està ple fins als $\frac{3}{4}$ de la seva capacitat i l'envàs B fins als $\frac{12}{16}$ de la seva.

1. a) Demostra gràficament i mitjançant productes creuats si les fraccions d'ompliment són equivalents.

1. b) Si l'envàs A té una capacitat de $2$ litres i l'envàs B té una capacitat de $1,5$ litres, contenen la mateixa quantitat de suc en litres? Continuen representant la mateixa proporció respecte als seus propis envasos? Explica la diferència entre "fracció equivalent" i "quantitat absoluta".

Esbrina una fracció desconeguda a partir de les següents pistes sobre els seus termes (tots dos són nombres naturals):

1. La fracció no està simplificada; el seu denominador supera el numerador en $24$ unitats.

2. La suma del seu numerador i del seu denominador és igual a $96$.

3. En simplificar-la fins a la seva forma irreductible, la suma dels nous termes és igual a $8$.

1. a) Planteja les relacions anteriors per deduir el valor del numerador i del denominador de la fracció original sense simplificar.
2. b) Obtén la seva fracció irreductible dividint els seus termes pel M.C.D. i comprova que compleix la tercera condició.
3. c) Determina quin va ser el factor exacte pel qual es va amplificar la fracció irreductible per generar la fracció inicial i justifica, a partir de la reducció a comú denominador, per què totes dues fraccions representen rigorosament la mateixa part de la unitat.

En una auditoria de qualitat sobre el servei de Rodalies de Renfe, s'analitzen els retards en dues línies durant un trimestre:

• A la línia C-1 es van revisar $140$ combois, dels quals $119$ van arribar puntuals a la seva destinació.

• A la línia C-2 es van revisar $260$ combois, dels quals $221$ van arribar amb puntualitat.

1. a) Demostra mitjançant la igualtat de productes encreuats si totes dues línies van tenir un nivell de puntualitat idèntic.
2. b) Redueix la proporció de puntualitat a la seva fracció irreductible utilitzant el M.C.D. i interpreta què representen tots dos nombres per a una persona que viatgi habitualment en aquests trens.
3. c) De cara al proper trimestre, en una tercera línia (C-3) es preveu noliejar un total de $450$ trens.

1. Justifica de manera matemàtica per què és impossible que la línia C-3 registri exactament la mateixa proporció irreductible de puntualitat que les línies C-1 i C-2 si tots els trens s'han de considerar unitats completes.

2. Si s'auditin $500$ trens en lloc de $450$, quants trens retardats com a màxim es podrien permetre per igualar la proporció de puntualitat de les línies anteriors? Justifica el teu raonament mitjançant l'amplificació de fraccions.