Exercicis: Experiències aleatòries i espai mostral

En llançar un dau de $6$ cares, classifica aquests successos en segur, possible o impossible:

1. a) Treure un $5$.
2. b) Treure un $7$.
3. c) Treure un número menor que $7$.
4. d) Treure un número més gran que $2$.

Quines d'aquestes experiències són aleatòries? Per què?

1. a) Treure una carta d'una baralla ben barrejada i anotar el seu coll.
2. b) Mesurar la longitud del teu quadern amb un regle.
3. c) Anotar el nombre de gols del pròxim partit del teu equip.
4. d) Calcular el perímetre d'una taula conegudes les seves mides.

Escriu l'espai mostral (tots els resultats possibles) d'aquests experiments:

1. a) Llançar un dau i anotar els punts.
2. b) Llançar una moneda i anotar el resultat.
3. c) Treure a l'atzar una bola d'un bombo amb els números del $1$ al $5$.

En una caixa hi ha $6$ cromos: $4$ de jugadors i $2$ d'escuts. Si treiem un cromo a l'atzar, classifica aquests successos en segur, possible o impossible:

1. a) Treure un cromo de jugador.
2. b) Treure un cromo d'entrenador.
3. c) Treure un cromo de jugador o d'escut.
4. d) Treure un cromo d'escut.

Mateo afirma a classe el següent sobre tres situacions diferents:

1. «Llençar un ou fresc des d'un tercer pis contra el terra és un experiment aleatori, perquè no podem predir amb exactitud en quants trossos es trencarà la closca».

2. «En una bossa amb $5$ bales verdes numerades de l'$1$ al $5$ i $1$ bala vermella amb el número $6$, l'espai mostral és $E = \{\text{verda}, \text{vermella}\}$, de manera que treure vermella és igual de probable que treure verda».

3. «En aquesta mateixa bossa, l'esdeveniment “treure un número menor que $10$” és un esdeveniment possible però no segur, perquè depèn de la sort».

1. a) Explica per què l'afirmació 1 conté un error conceptual: diferencia entre el resultat essencial del fenomen (que l'ou es trencarà per les lleis físiques, sent determinista) i els detalls secundaris.
2. b) Corregeix l'afirmació 2: escriu l'espai mostral complet si l'experiment consisteix a anotar el color i el número de la bala extreta, i explica per què el raonament de Mateo sobre la probabilitat és erroni.
3. c) Corregeix l'afirmació 3: defineix què és un esdeveniment segur i justifica quin tipus d'esdeveniment és realment «treure un número menor que $10$» en aquesta bossa.

Per a la festa de final de curs del teu institut estàs dissenyant una ruleta de la sort circular dividida en caselles numerades. Has de triar quins números col·locar a les caselles complint alhora aquestes quatre condicions:

1. L'espai mostral $E$ dels números que poden sortir ha de tenir exactament $4$ resultats possibles diferents.

2. L'esdeveniment «obtenir un número senar» ha de ser un esdeveniment segur.

3. L'esdeveniment «obtenir un número més gran que $30$» ha de ser un esdeveniment王国 impossible.

4. L'esdeveniment «obtenir un múltiple de $5$» ha de ser un esdeveniment possible, però no segur.

1. a) Proposa un espai mostral $E$ que compleixi simultàniament les quatre condicions.
2. b) Justifica pas a pas per què la teva proposta compleix cadascuna de les condicions plantejades.
3. c) Si afegissis a la teva ruleta el número $18$, quina condició de les anteriors deixaria de complir-se? Raona la teva resposta.

Indica si cadascuna de les experiències següents és aleatòria o determinista, justificant la teva resposta:

1. a) Calcular el que meves/costen $3$ kg de taronges a $2,10\ \text{€}$ el quilo.
2. b) Anotar el resultat de llançar una xinxeta i veure si cau de punta o de costat.
3. c) Mesurar el temps que triga a bullir un litre d'aigua al foc.
4. d) Anotar qui guanya el partit de bàsquet de dissabte.
5. e) Calcular l'àrea d'un quadrat de $5$ cm de costat.

Escriu l'espai mostral de cadascun d'aquests experiments aleatoris:

1. a) Llançar una moneda i anotar el resultat.
2. b) Treure una bola d'una urna que conté una bola vermella, una de verda, una de blava i una de groga, i anotar el seu color.
3. c) Fer girar una ruleta amb els números del $1$ al $6$ i anotar el número.
4. d) Triar a l'atzar un dia de la setmana i anotar si és «feiner» o «cap de setmana».

Llancem dos monedes a l'aire i anotem si surt cara (C) o creu (+) en cadascuna. La figura mostra l'espai mostral de l'experiment.

1. a) Quants resultats possibles té l'experiment? Escriu-los.
2. b) Són equiprobables? Raona la teva resposta.
3. c) De quantes maneres pot ocórrer el succés «surt almenys una cara»?
4. d) I el succés «surten les dues iguals»?

En una bossa hi ha $9$ boles vermelles i $1$ bola blava. Ordena els successos següents de l'experiment «treure una bola a l'atzar» des del més probable fins al menys probable, explicant el teu criteri:

• Succés A: «treure una bola vermella».

• Succés B: «treure una bola blava».

• Succés C: «treure una bola que no sigui verda».

• Succés D: «treure una bola verda».

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) emet per a un municipi de muntanya un avís per nevades amb tres nivells possibles d'alerta segons el gruix de neu previst en $24$ hores: nivell verd (sense risc, menys de $2\text{ cm}$), nivell groc (risc baix, entre $2$ i $5\text{ cm}$) i nivell taronja (risc important, més de $5\text{ cm}$).

1. a) Classifica l'experiència «observar el nivell d'alerta que finalment s'activa dissabte» com a aleatòria o determinista. Justifica la teva resposta tenint en compte la naturalesa de les prediccions meteorològiques.
2. b) Escriu l'espai mostral $E$ dels nivells d'alerta contemplats per a aquell dia.
3. c) Classifica els següents esdeveniments en segur, possible o impossible, justificant cada cas a partir de l'espai mostral:

• Esdeveniment $A$: «S'activa el nivell verd o el nivell taronja».

• Esdeveniment $B$: «S'activa el nivell vermell (risc extrem)», sabent que per a aquell dia l'AEMET no ha contemplat aquest nivell.

• Esdeveniment $C$: «S'activa algun dels nivells verd, groc o taronja».

1. d) Si les autoritats decideixen suspendre les rutes escolars únicament si s'activa el nivell taronja, la suspensió del transport escolar és un esdeveniment segur, possible o impossible dissabte al matí abans de conèixer l'alerta definitiva? Raona la teva resposta.

Llancem dos daus tetraèdrics (daus de $4$ cares numerades de l'$1$ al $4$) i calculem el producte dels dos nombres obtinguts.

1. a) Estima i raona prèviament: sense construir la taula completa encara, creus que l'espai mostral dels productes contindrà més de $10$ resultats diferents o menys de $10$? Penses que serà més freqüent obtenir un producte parell o un producte senar? Justifica la teva intuïció inicial.
2. b) Comprova la teva estimació: dibuixa al teu quadern una taula de doble entrada de $4 \times 4$ on les files representin el primer dau i les columnes el segon dau, i escriu a cada casella el producte de tots dos nombres.
3. c) A partir de la taula, escriu entre claus l'espai mostral $E$ de tots els productes diferents que poden sortir. Quants elements té? Compara aquest recompte amb la teva estimació de l'apartat a).
4. d) Compta quantes caselles de la taula donen un producte parell i quantes donen un producte senar. Era correcta la teva intuïció prèvia? Explica matemàticament per què en aquest experiment els resultats parells són molt més freqüents que els senars.

Llancem dos daus de colors diferents (un de blau i un de verd) i anotem la suma dels punts obtinguts.

1. a) Quants resultats diferents pot prendre la suma? Escriu-los tots.
2. b) Són equiprobables aquests resultats? Comprova-ho completant al teu quadern una taula de doble entrada amb els $36$ parells possibles (dau blau, dau verd) i comptant de quantes maneres s'obté cada suma.
3. c) Quina suma és la més probable? Quantes maneres hi ha d'obtenir-la?
4. d) I la menys probable?

Indica si les afirmacions següents sobre l'atzar són veritables o falses, raonant la teva resposta:

1. a) Treure un $7$ en llançar un dau és un succés impossible.
2. b) Si un succés és molt improbable, aleshores és impossible.
3. c) Si llanço una moneda $10$ vegades, és segur que sortirà cara exactament $5$ vegades.
4. d) Si han sortit $4$ cares seguides, en el llançament següent és més probable que surti creu «per a compensar».

1. a) Inventa un experiment aleatori el qual l'espai mostral tingui exactament $6$ resultats equiprobables. Escriu quin és el seu espai mostral.
2. b) Inventa ara un experiment aleatori que també tingui $6$ resultats possibles però que no siguin equiprobables, i explica per què no ho són.
3. c) Per al teu experiment de l'apartat b), descriu un succés segur, un de impossible i un de poc probable.

En una bossa opaca hi ha únicament boles vermelles i blaves, en total $10$ boles, però no sabem quantes n'hi ha de cada color.

1. a) Descriu un succés segur d'aquest experiment (treure una bola a l'atzar).
2. b) Descriu un succés impossible.
3. c) Si et diuen que el succés «treure bola vermella» és molt improbable, què pots deduir sobre la composició de la bossa? Dóna dues composicions possibles coherents amb aquesta informació.
4. d) I si «treure bola vermella» fos tan probable com «treure bola blava»?

En un torneig escolar d'escacs participen quatre centres educatius: IES Ramón y Cajal ($R$), IES Severo Ochoa ($S$), IES Clara Campoamor ($C$) i IES Miguel Delibes ($M$). Per a la jornada inaugural s'ha de triar per sorteig un emparellament de dos instituts (l'ordre no importa: el partit $R-S$ és el mateix que $S-R$). Tres estudiants discuteixen com determinar l'espai mostral de tots els enfrontaments possibles sense deixar-se'n cap:

• L'Álvaro proposa escriure combinacions directament sobre la marxa a mesura que se li vagin acudint.

• La Beatriz proposa construir una taula de doble entrada de $4 \times 4$, tatxar la diagonal (un institut no juga contra si mateix) i seleccionar únicament les caselles per sobre de la diagonal per no duplicar encreuaments.

• En Carlos proposa fer un diagrama d'arbre de dos nivells i després anar esborrant a mà les branques que resultin ser partits repetits.

1. a) Compara els tres mètodes valorant el seu ordre i eficàcia: quin d'ells és el més adequat per garantir que no oblidem cap resultat ni comptem partits duplicats? Justifica la teva elecció enfront dels altres dos.
2. b) Aplica el mètode més adequat que has triat i escriu detalladament l'espai mostral $E$ de tots els partits possibles. Quants elements componen $E$?
3. c) Considera els següents esdeveniments en aquest experiment i classifica'ls en segur, possible o impossible, indicant els elements que formen cada esdeveniment:

• Esdeveniment $A$: «En el partit participa l'IES Clara Campoamor».

• Esdeveniment $B$: «En el partit s'enfronten dos instituts que comencen per la mateixa lletra».

• Esdeveniment $C$: «En el partit participa almenys un dels quatre instituts inscrits».

Estàs dissenyant una baralla temàtica per a un taller de matemàtiques. Disposes de targetes en blanc i has d'escriure a cadascuna d'elles un nombre natural de l'$1$ al $20$ i dibuixar una figura geomètrica (estrella o cercle). El teu objectiu és seleccionar un conjunt de targetes que compleixi rigorosament i alhora les següents cinc condicions:

1. El mall ha de contenir exactament $6$ targetes diferents (aquest conjunt de $6$ targetes serà l'espai mostral $E$ en extreure una targeta a l'atzar).

2. L'esdeveniment «extreure un nombre múltiple de $3$» ha de ser un esdeveniment segur.

3. L'esdeveniment «extreure una targeta amb un triangle» ha de ser un esdeveniment impossible.

4. L'esdeveniment «extreure una estrella amb nombre primer» ha de ser un esdeveniment possible, però no segur.

5. Si anomenem esdeveniment $A$ a «treure un nombre més gran que $10$» i esdeveniment $B$ a «treure una targeta amb cercle», cap element de l'espai mostral pot pertànyer alhora a $A$ i a $B$ (és a dir, cap cercle pot portar un nombre més gran que $10$).

1. a) Dissenya un mall que compleixi totes les condicions, detallant de manera explícita l'espai mostral $E$ amb els seus $6$ elements (indicant el nombre i la figura de cada targeta).
2. b) Demostra, analitzant una a una les cinc condicions, que el teu espai mostral proposat satisfà tots els requisits.
3. c) Raona matemàticament: seria possible complir totes les condicions si canviéssim la condició 2 per «extreure un nombre que sigui alhora primer i parell», mantenint l'exigència que el mall tingui $6$ targetes diferents? Justifica la teva resposta basant-te en la definició dels nombres primers.