Exercicis: Rectes

En el dibuix següent d'una carretera recta, identifica quin nom rep cadascun dels elements marcats.

Indica quin és un segment, quin és una semirrecta i quin representa una recta completa.

Observa el plànol d'aquests carrers. Indica quina és la posició relativa (paral·leles, secants o perpendiculars) dels parells de carrers següents:

• Carrer A i Carrer B.

• Carrer B i Carrer C.

• Carrer A i Carrer C.

Classifica els angles següents segons la seva obertura. Indica si són aguts, rectes o obtussos:

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Dos angles són complementaris si la seva suma és de $90^\circ$. Si l'angle $\alpha$ mesura $35^\circ$, quant ha de mesurar l'angle $\beta$ perquè siguin complementaris?

Un radar de navegació gira un total de $5^\circ$ cada segon. Expressa aquest moviment en minuts sexagesimals ($'$). Recorda que $1^\circ = 60'$.

Troba el valor de l'angle $\hat{X}$ en la figura següent sabent que els dos angles són suplementaris (sumen $180^\circ$).

Dibuixa a la teva llibreta una recta $r$ i un punt $P$ que no hi pertanyi. Utilitzant el teu escaire i cartabó, traça una recta $s$ que passi per $P$ i sigui paral·lela a $r$. Quantes rectes paral·leles a $r$ poden passar per aquest punt $P$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Quan dues rectes es tallen, els angles oposats pel vèrtex són iguals. Observa la figura i, sense usar el transportador, indica quant mesura l'angle $\hat{A}$ i quant mesura l'angle $\hat{B}$.

Un grup d'amics està dissenyant un nou circuit de skate en un descampat. Per a fer-ho, han traçat sobre el terra diverses línies que representen les vores de les rampes. Observa el plànol que han dibuixat i respon a les preguntes sobre la posició relativa de les línies:

1. a) Indica un parell de línies que siguin paral·leles entre si.
2. b) Troba dues línies que siguin secants però no perpendiculars.
3. c) Identifica una línia que sigui perpendicular a la línia $s$.
4. d) Si la línia $t$ i la línia $u$ mai no es creuen per molt que les perllonguem, quina relació geomètrica tenen?

Una càmera de seguretat d'un centre comercial té un angle de visió total de $110^\circ$. El tècnic de manteniment decideix dividir aquest angle en dues zones: la Zona A, que cobreix les botigues, i la Zona B, que cobreix els passadissos.

Si la Zona A mesura $64^\circ 35' 50''$, calcula la mesura exacta (en graus, minuts i segons) que ha de tenir la Zona B per cobrir la resta del camp de visió.

En un videojoc d'estratègia, un raig làser rebota en una superfície metàl·lica. Es sap que l'angle d'incidència $\alpha$ i l'angle de reflexió $\beta$ són iguals.

Si l'angle total que formen el raig d'entrada i el de sortida és de $115^\circ 20'$, calcula quant mesura l'angle $\alpha$. Posteriorment, indica si l'angle suplementari de $\alpha$ és agut, recte o obtús.

Estem analitzant l'estructura d'una prestatgeria moderna. Els prestatges horitzontals són paral·lels entre si i estan travessats per un suport inclinat.

Sabent que l'angle $\hat{1}$ mesura $124^\circ$, utilitza les propietats dels angles formats per rectes paral·leles tallades per una secant per calcular, sense usar transportador, la mesura dels angles $\hat{2}, \hat{3}$ i $\hat{4}$. Justifica cada resposta (per ser oposats pel vèrtex, corresponents, alterns interns, etc.).

Un rellotge de paret marca les 15:40 de la tarda.

1. a) Calcula l'angle que formen l'agulla de les hores i la dels minuts. Tingues en compte que l'agulla de les hores es desplaça un poc en avançar els minuts.
2. b) Com classificaries aquest angle segons la seva obertura (agut, recte, obtús o pla)?

En el plànol d'un parc infantil, es vol col·locar un fanal que estigui exactament a la mateixa distància del tobogan ($T$) i dels gronxadors ($C$). La figura mostra la posició d'ambdós i la distància que els separa.

1. a) Quin nom rep la línia imaginària on haurien d'estar tots els punts que compleixen aquesta condició?

1. b) Si la distància entre el tobogan i els gronxadors és de $12$ metres i col·loques el fanal al punt mitjà del segment $TC$, a quina distància estarà el fanal de cadascun d'ells?

1. c) Dibuixa al teu quadern un esquema del segment $TC$ i la seva mediatriu.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues avingudes principals d'una ciutat es creuen formant un angle de $72^\circ 15'$. Es vol construir un carrer de vianants que divideixi aquest angle exactament per la meitat.

1. a) Com s'anomena tècnicament la línia que representa aquest carrer de vianants?
2. b) Calcula el valor de l'angle que formarà el nou carrer amb cadascuna de les avingudes.
3. c) Quin tipus d'angle és el resultat (agut, recte o obtús)?

Observa la figura següent on es mostren diversos angles relacionats. Sabem que les rectes $m$ i $n$ són paral·leles. Si l'angle $\hat{A} = 48^\circ$, calcula raonadament el valor dels angles $\hat{B}$ i $\hat{C}$.

Un satèl·lit de comunicacions orbita sobre la Terra i fa tres mesuraments de gir angular per corregir la seva trajectòria. La primera rotació és de $42^\circ \ 35' \ 48''$. La segona rotació és el doble de la primera. Si al final del dia el satèl·lit ha d'haver girat un angle total d'un angle pla complet per quedar alineat amb la base terrestre, quant ha de mesurar la tercera rotació? Expressa el resultat en forma complexa (graus, minuts i segons).

En el disseny d'una estructura metàl·lica per a una teulada, hi ha dues bigues principals paral·leles, $r$ i $s$. Una tercera biga transversal $t$ les talla formant un angle obtús de $135^\circ \ 20'$. Es decideix instal·lar un reforç que coincideixi exactament amb la bisectriu de l'angle agut format per la cruïlla de les bigues $s$ i $t$. Quin angle formarà aquest reforç amb la biga $r$ a la part interna de l'estructura? Raona si els angles seran alterns interns o corresponents.

S'han dibuixat quatre rectes secants en un pla de tal manera que cadascuna en talla totes les altres, però mai tres rectes passen pel mateix punt.

1. a) Quin és el nombre màxim de punts d'intersecció que es poden formar?
2. b) En quantes regions queda dividit el pla?

Dibuixa un esquema que ho representi i justifica la teva resposta comptant les regions.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'angle $\alpha$ és tal que el seu suplementari mesura el triple que el seu complementari.

1. a) Planteja una igualtat lògica utilitzant els conceptes d'angle complementari ($90^\circ - \alpha$) i suplementari ($180^\circ - \alpha$).
2. b) Calcula el valor de l'angle $\alpha$.
3. c) Com classificaries l'angle $\alpha$ segons la seva obertura?

Un arquitecte està dissenyant una plaça amb forma de triangle escalè els vèrtexs del qual són tres fonts situades als punts $A$, $B$ i $C$ (la figura mostra un esquema de la plaça). Vol col·locar un fanal en un punt $P$ que compleixi dues condicions:

1. Que estigui a la mateixa distància de la font $A$ que de la font $B$.

2. Que estigui a la mateixa distància del carrer que uneix $A$ amb $C$ que del carrer que uneix $B$ amb $C$.

Quines construccions geomètriques (mediatriu, bisectriu, etc.) ha de fer l'arquitecte per trobar el punt exacte del fanal? Explica la propietat dels punts d'aquestes rectes que justifica la teva resposta.

Calcula l'angle exacte que formen les agulles d'un rellotge analògic quan marca les 03:40.

Pista: Tingues en compte que l'agulla de les hores no es queda fixa al 3, sinó que avança proporcionalment mentre el minuter es desplaça.

1. a) Quants graus avança l'agulla de les hores per cada minut que passa?

1. b) Calcula la posició en graus de totes dues agulles respecte a les 12:00 i troba'n la diferència.

Es consideren dos angles adjacents, $\widehat{AOB}$ i $\widehat{BOC}$, que comparteixen el costat $OB$ i els altres costats dels quals, $OA$ i $OC$, formen una línia recta (és a dir, $A$, $O$ i $C$ estan alineats i els dos angles sumen $180°$). Es tracen les bisectrius $OX$ de l'angle $\widehat{AOB}$ i $OY$ de l'angle $\widehat{BOC}$.

Demostra, fent el càlcul pas a pas, quant mesura l'angle $\widehat{XOY}$ format per ambdues bisectrius. Depèn aquest resultat de la mesura individual dels angles inicials? Justifica la teva resposta.

Donada una recta $r$ i un punt exterior $P$, sabem que només existeix una recta paral·lela a $r$ que passa per $P$.

Imagina ara que tenim tres rectes paral·leles entre si ($r, s, t$) i dues rectes transversals ($m, n$) que no són paral·leles entre elles.

1. a) Quin és el nombre total d'angles que es formen en els punts d'intersecció?
2. b) Si tots els angles aguts formats per la recta $m$ amb les paral·leles mesuren $70^\circ$, i els angles aguts formats per la recta $n$ amb les paral·leles mesuren $55^\circ$, calcula l'angle que formen entre si les rectes $m$ i $n$.