Ejercicios: Rectas

En el siguiente dibujo de una carretera recta, identifica qué nombre recibe cada uno de los elementos marcados.

Indica cuál es un segmento, cuál es una semirrecta y cuál representa una recta completa.

Observa el plano de estas calles. Indica cuál es la posición relativa (paralelas, secantes o perpendiculares) de los siguientes pares de calles:

• Calle A y Calle B.

• Calle B y Calle C.

• Calle A y Calle C.

Clasifica los siguientes ángulos según su abertura. Indica si son agudos, rectos u obtuso:

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Dos ángulos son complementarios si su suma es de $90^\circ$. Si el ángulo $\alpha$ mide $35^\circ$, ¿cuánto debe medir el ángulo $\beta$ para que sean complementarios?

Un radar de navegación gira un total de $5^\circ$ cada segundo. Expresa este movimiento en minutos sexagesimales ($'$). Recuerda que $1^\circ = 60'$.

Halla el valor del ángulo $\hat{X}$ en la siguiente figura sabiendo que los dos ángulos son suplementarios (suman $180^\circ$).

Dibuja en tu cuaderno una recta $r$ y un punto $P$ que no pertenezca a ella. Utilizando tu escuadra y cartabón, traza una recta $s$ que pase por $P$ y sea paralela a $r$. ¿Cuántas rectas paralelas a $r$ pueden pasar por ese punto $P$?

Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Observa la figura y, sin usar el transportador, indica cuánto mide el ángulo $\hat{A}$ y cuánto mide el ángulo $\hat{B}$.

Un grupo de amigos está diseñando un nuevo circuito de skate en un descampado. Para ello, han trazado sobre el suelo varias líneas que representan los bordes de las rampas. Observa el plano que han dibujado y responde a las preguntas sobre la posición relativa de las líneas:

1. a) Indica un par de líneas que sean paralelas entre sí.
2. b) Encuentra dos líneas que sean secantes pero no perpendiculares.
3. c) Identifica una línea que sea perpendicular a la línea $s$.
4. d) Si la línea $t$ y la línea $u$ nunca se cruzan por mucho que las prolonguemos, ¿qué relación geométrica tienen?

Una cámara de seguridad de un centro comercial tiene un ángulo de visión total de $110^\circ$. El técnico de mantenimiento decide dividir este ángulo en dos zonas: la Zona A, que cubre las tiendas, y la Zona B, que cubre los pasillos.

Si la Zona A mide $64^\circ 35' 50''$, calcula la medida exacta (en grados, minutos y segundos) que debe tener la Zona B para cubrir el resto del campo de visión.

En un videojuego de estrategia, un rayo láser rebota en una superficie metálica. Se sabe que el ángulo de incidencia $\alpha$ y el ángulo de reflexión $\beta$ son iguales.

Si el ángulo total que forman el rayo de entrada y el de salida es de $115^\circ 20'$, calcula cuánto mide el ángulo $\alpha$. Posteriormente, indica si el ángulo suplementario de $\alpha$ es agudo, recto u obtuso.

Estamos analizando la estructura de una estantería moderna. Las baldas horizontales son paralelas entre sí y están atravesadas por un soporte inclinado.

Sabiendo que el ángulo $\hat{1}$ mide $124^\circ$, utiliza las propiedades de los ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una secante para calcular, sin usar transportador, la medida de los ángulos $\hat{2}, \hat{3}$ y $\hat{4}$. Justifica cada respuesta (por ser opuestos por el vértice, correspondientes, alternos internos, etc.).

Un reloj de pared marca las 15:40 de la tarde.

1. a) Calcula el ángulo que forman la aguja de las horas y la del minutero. Ten en cuenta que la aguja de las horas se desplaza un poco al avanzar los minutos.
2. b) ¿Cómo clasificarías ese ángulo según su abertura (agudo, recto, obtuso o llano)?

En el plano de un parque infantil, se quiere colocar una farola que esté exactamente a la misma distancia del tobogán ($T$) y de los columpios ($C$).

1. a) ¿Qué nombre recibe la línea imaginaria donde deberían estar todos los puntos que cumplen esa condición?
2. b) Si la distancia entre el tobogán y los columpios es de $12$ metros, ¿a qué distancia mínima estará la farola de ambos si se coloca en el punto medio?
3. c) Dibuja en tu cuaderno un esquema del segmento $TC$ y su mediatriz.

Dos avenidas principales de una ciudad se cruzan formando un ángulo de $72^\circ 15'$. Se quiere construir una calle peatonal que divida ese ángulo exactamente por la mitad.

1. a) ¿Cómo se llama técnicamente la línea que representa esa calle peatonal?
2. b) Calcula el valor del ángulo que formará la nueva calle con cada una de las avenidas.
3. c) ¿Qué tipo de ángulo es el resultado (agudo, recto u obtuso)?

Observa la siguiente figura donde se muestran varios ángulos relacionados. Sabemos que las rectas $m$ y $n$ son paralelas. Si el ángulo $\hat{A} = 48^\circ$, calcula razonadamente el valor de los ángulos $\hat{B}$ y $\hat{C}$.

Pista: Utiliza el concepto de ángulos suplementarios y ángulos correspondientes entre paralelas.

Un satélite de comunicaciones orbita sobre la Tierra y realiza tres mediciones de giro angular para corregir su trayectoria. La primera rotación es de $42^\circ \ 35' \ 48''$. La segunda rotación es el doble de la primera. Si al final del día el satélite debe haber girado un ángulo total de un ángulo llano completo para quedar alineado con la base terrestre, ¿cuánto debe medir la tercera rotación? Expresa el resultado en forma compleja (grados, minutos y segundos).

En el diseño de una estructura metálica para un tejado, se tienen dos vigas principales paralelas, $r$ y $s$. Una tercera viga transversal $t$ las corta formando un ángulo obtuso de $135^\circ \ 20'$. Se decide instalar un refuerzo que coincida exactamente con la bisectriz del ángulo agudo formado por el cruce de las vigas $s$ y $t$. ¿Qué ángulo formará este refuerzo con la viga $r$ en la parte interna de la estructura? Razona si los ángulos serán alternos internos o correspondientes.

Se han dibujado cuatro rectas secantes en un plano de tal forma que cada una corta a todas las demás, pero nunca tres rectas pasan por el mismo punto.

1. a) ¿Cuál es el número máximo de puntos de intersección que se pueden formar?
2. b) ¿En cuántas regiones queda dividido el plano?

Dibuja un esquema que lo represente y justifica tu respuesta contando las regiones.

El ángulo $\alpha$ es tal que su suplementario mide el triple que su complementario.

1. a) Plantea una igualdad lógica utilizando los conceptos de ángulo complementario ($90^\circ - \alpha$) y suplementario ($180^\circ - \alpha$).
2. b) Calcula el valor del ángulo $\alpha$.
3. c) ¿Cómo clasificarías el ángulo $\alpha$ según su abertura?

Un arquitecto está diseñando una plaza con forma de triángulo escaleno cuyos vértices son tres fuentes situadas en los puntos $A$, $B$ y $C$. Quiere colocar una farola en un punto $P$ que cumpla dos condiciones:

1. Que esté a la misma distancia de la fuente $A$ que de la fuente $B$.

2. Que esté a la misma distancia de la calle que une $A$ con $C$ que de la calle que une $B$ con $C$.

¿Qué construcciones geométricas (mediatriz, bisectriz, etc.) debe realizar el arquitecto para encontrar el punto exacto de la farola? Explica la propiedad de los puntos de esas rectas que justifica tu respuesta.

Calcula el ángulo exacto que forman las agujas de un reloj analógico cuando marca las 03:40.

Pista: Ten en cuenta que la aguja de las horas no se queda fija en el 3, sino que avanza proporcionalmente mientras el minutero se desplaza.

1. a) ¿Cuántos grados avanza la aguja de las horas por cada minuto que pasa?
2. b) Calcula la posición en grados de ambas agujas respecto a las 12:00 y halla la diferencia.

Se consideran dos ángulos adyacentes, $\widehat{AOB}$ y $\widehat{BOC}$. Se trazan las bisectrices $OX$ del ángulo $\widehat{AOB}$ y $OY$ del ángulo $\widehat{BOC}$.

Demuestra, realizando el cálculo paso a paso, cuánto mide el ángulo $\widehat{XOY}$ formado por ambas bisectrices. ¿Depende este resultado de la medida individual de los ángulos iniciales? Justifica tu respuesta.

Dada una recta $r$ y un punto exterior $P$, sabemos que solo existe una recta paralela a $r$ que pasa por $P$.

Imagina ahora que tenemos tres rectas paralelas entre sí ($r, s, t$) y dos rectas transversales ($m, n$) que no son paralelas entre ellas.

1. a) ¿Cuál es el número total de ángulos que se forman en los puntos de intersección?
2. b) Si todos los ángulos agudos formados por la recta $m$ con las paralelas miden $70^\circ$, y los ángulos agudos formados por la recta $n$ con las paralelas miden $55^\circ$, calcula el ángulo que forman entre sí las rectas $m$ y $n$.