Exercicis: Figures compostes i problemes de mesura

La figura mostra una casa formada per un rectangle de $8$ m d'amplada i $5$ m d'altura i una teulada triangular de $3$ m d'altura.

1. a) Calcula l'àrea de la part rectangular.
2. b) Calcula l'àrea de la teulada triangular.
3. c) Quina és l'àrea total de la façana?

A la quadrícula de la figura, cada quadrat representa $1\ \text{cm}^2$. El contorn blau és el voral d'un petit llac.

1. a) Compta els quadrats que queden completament dins del llac.
2. b) Compta aquells que el llac toca només en part.
3. c) Dona una estimació de l'àrea del llac explicant el criteri que has utilitzat.

El marc de la figura és un rectangle de $30$ cm per $24$ cm, i la foto que conté mesura $24$ cm per $18$ cm.

1. a) Calcula l'àrea del rectangle exterior i la de la foto.
2. b) Quina és l'àrea del marc (la zona taronja)?
3. c) Quant mesura d'amplada el marc a la part superior? Raona com ho has calculat.

Una lletra «T» gegant per a un photocall està formada per dos rectangles: el travesser superior, de $120$ cm de llargada i $30$ cm d'altura, i el pal vertical, de $90$ cm d'altura i $30$ cm d'amplada, unit per sota i centrat.

1. a) Calcula l'àrea total del cartell.
2. b) Si el material costa $8,50\ \text{€}$ el metre quadrat, quant costa el cartell? Expressa abans l'àrea en $\text{m}^2$.

Per senyalitzar una ruta de senderisme, Lucía dissenya una placa de fusta unint dues peces sense encavalcar-les: un quadrat de $10\text{ cm}$ de costat i, sobre el seu costat superior, un triangle equilàter també de $10\text{ cm}$ de costat.

Per encarregar una tira metàl·lica que protegeixi tota la vora exterior, Lucía fa el càlcul següent:

«Perímetre del quadrat = $4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$. Perímetre del triangle = $3 \cdot 10 = 30\text{ cm}$. Per tant, necessito $40 + 30 = 70\text{ cm}$ de tira metàl·lica».

1. a) Explica raonadament quin error conceptual ha comès Lucía i quina part de les figures ha comptat de més.
2. b) Quants centímetres de tira metàl·lica es necessiten realment per envoltar el contorn exterior de la placa?
3. c) Si l'altura del triangle equilàter és d'aproximadament $8,7\text{ cm}$, calcula l'àrea total de fusta que té la placa.

A la matèria de Biologia i Geologia han dissenyat sobre un pla quadriculat un petit bassal per a amfibis a l'hort escolar. Al pla, cada quadrat de la quadrícula representa $1\text{ m}^2$.

El bassal té forma irregular i queda totalment contingut dins d'una zona rectangular de $5\text{ m}$ de llarg per $4\text{ m}$ d'ample. En comptar sobre el pla, el bassal cobreix per complet $9$ quadrats enters i toca o cobreix de manera parcial $8$ quadrats més.

1. a) Abans d'operar, fes una estimació: és possible que la superfície del bassal sigui de $22\text{ m}^2$? Justifica la teva resposta fixant-te únicament en el rectangle que el conté.
2. b) Indica entre quins dos valors (mínim i màxim) es troba amb total seguretat l'àrea real del bassal.
3. c) Aplica el criteri de sumar als quadrats complets la meitat dels parcials per obtenir una estimació de l'àrea. Valora si el resultat obtingut és coherent amb la teva anàlisi de l'apartat a).

El jardí de la figura és un rectangle de $12$ m per $8$ m amb una piscina circular de $2$ m de radi al seu interior.

1. a) Calcula l'àrea del jardí complet.
2. b) Calcula l'àrea de la piscina (pren $\pi \approx 3,14$).
3. c) Quina superfície queda de gespa?
4. d) Quants metres de tanca fan falta per envoltar tot el jardí?

Es vol pintar una paret rectangular de $5$ m d'amplada i $2,5$ m d'altura que té una finestra de $1,5$ m per $1,2$ m.

1. a) Quina superfície s'ha de pintar?
2. b) Un pot de pintura rendeix per a $10\ \text{m}^2$ i costa $24,90\ \text{€}$. Quants pots fan falta per donar dues mans de pintura? Quant costaran?

La figura mostra una pista d'atletisme formada per dos trams rectes de $80$ m i dos semicercles de $20$ m de radi als extrems.

1. a) Quant mesura cadascun dels dos trams corbs? Recorda que dos semicercles iguals formen un cercle complet (pren $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcula la longitud total d'una volta completa a la pista pel seu voral interior.
3. c) Els carrers de la pista mesuren $1,22$ m d'amplada. Recorre el mateix un corredor pel carrer interior que pel carrer exterior? Raona la teva resposta sense fer càlculs.

Un cartell amb forma de fletxa està format per un rectangle de $30$ cm de llargada i $12$ cm d'altura (el cos) i un triangle de base $12$ cm i altura $9$ cm (la punta).

1. a) Dibuixa un esquema del cartell al teu quadern.
2. b) Calcula l'àrea total del cartell.
3. c) Si el vinil per imprimir-lo costa $15\ \text{€}$ el metre quadrat, quant costa el material del cartell? Expressa abans l'àrea en $\text{m}^2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un escut de fusta té forma de pentàgon: és un rectangle de $20$ cm d'amplada i $24$ cm d'altura acabat a la part inferior per un triangle de base $20$ cm (la punta de l'escut) i $10$ cm d'altura.

1. a) Calcula l'àrea de l'escut.
2. b) Es vol envoltar tot el contorn amb una cinta metàl·lica. Els costats inclinats de la punta mesuren $14,1$ cm cadascun. Quants centímetres de cinta fan falta?

En una paret es vol construir un mural amb forma de lletra «L» format per dos rectangles: un de vertical de $3$ m d'altura i $0,8$ m d'amplada, i un altre d'horitzontal de $1,6$ m de llargada i $0,8$ m d'altura que surt cap a la dreta des de la part inferior del primer, sense solapar-s'hi.

1. a) Dibuixa un esquema i calcula l'àrea total del mural.
2. b) La pintura del mural es compra en pots que cobreixen $2\ \text{m}^2$ cadascun. Quants pots fan falta?
3. c) Quin és el perímetre exterior del mural?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El pati comunitari d'un edifici té forma d'«L». Es pot descriure geomètricament com un rectangle gran de $12\text{ m}$ de llarg per $8\text{ m}$ d'ample al qual li falta, en una de les seves cantonades, un buit rectangular de $5\text{ m}$ de llarg per $3\text{ m}$ d'ample ocupat per la caseta de comptadors.

1. a) Mètode 1 (per sostracció): calcula l'àrea del pati restant l'àrea del buit a l'àrea del rectangle gran.
2. b) Mètode 2 (per descomposició): divideix mentalment el pati en dos rectangles mitjançant un tall recte. Escriu les dimensions dels dos rectangles que has triat, calcula les seves àrees per separat i suma-les per comprovar que obtens el mateix resultat.
3. c) Si et demanessin calcular el perímetre exterior de tot el pati, et serveix directament algun dels càlculs de les àrees anteriors o has de procedir d'una altra manera? Raona quin mètode t'ha semblat més còmode per a l'àrea i per què.

L'ajuntament d'un municipi renovarà el paviment de la pista de patinatge del poliesportiu. La pista està formada per un rectangle central de $25\text{ m}$ de llarg per $12\text{ m}$ d'ample, i dues zones semicirculars adossades als seus dos extrems més curts (cada semicercle té un diàmetre de $12\text{ m}$, és a dir, un radi de $6\text{ m}$).

Per protegir el terra s'aplicarà una resina sintètica amb les especificacions tècniques següents:

• Es necessiten $0,4\text{ kg}$ de resina per cada metre quadrat de pista.

• El producte es comercialitza únicament en bidons de $10\text{ kg}$.

• Cada bidó té un preu de $45,80\text{ €}$.

(Pren $\pi \approx 3,14$).

1. a) Quina figura geomètrica completa formen junts els dos extrems semicirculars? Calcula l'àrea total de la pista de patinatge.
2. b) Quants quilograms de resina es necessiten com a mínim per cobrir tota la superfície?
3. c) Quants bidons enters ha d'adquirir l'ajuntament i quin serà el cost total de la pintura?

Una piscina rectangular de $10$ m de llargada i $4$ m d'amplada està envoltada per una vorera de $1,5$ m d'amplada.

1. a) Quant mesuren la llargada i l'amplada totals del conjunt (piscina més vorera)? Fes un esquema al teu quadern.
2. b) Calcula l'àrea de la vorera.
3. c) Les rajoles de la vorera costen $32,90\ \text{€}$ el metre quadrat instal·lades. Quant costarà pavimentar-la?
4. d) Per seguretat es vol tancar tot el voral exterior. Si la tanca costa $14,50\ \text{€}$ el metre, quin és el cost total de l'obra (paviment més tanca)?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

D'un quadrat de cartolina de $8$ cm de costat es retalla un quadrat petit de $2$ cm de costat.

1. a) Calcula l'àrea de la figura resultant. Depèn d'on es faci la retallada?
2. b) Calcula el perímetre de la figura resultant en cadascun d'aquests tres casos: la retallada es fa en una cantonada, al centre d'un costat i a l'interior de la cartolina (un forat).
3. c) Un alumne afirma: «Si en treure un tros a una figura l'àrea disminueix, el perímetre també disminueix sempre». És cert? Utilitza els teus resultats de l'apartat b) per raonar-ho.

Per trobar l'àrea de la façana d'una casa formada per un rectangle de $8$ m d'amplada i $5$ m d'altura amb una teulada triangular de $3$ m d'altura, una alumna ha calculat $8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 64$ i ha respost $64\ \text{m}^2$.

1. a) Explica quin error ha comès en el càlcul de la teulada.
2. b) Calcula l'àrea correcta de la façana.
3. c) A més, la façana té una porta de $2$ m per $1$ m i una finestra quadrada de $1,5$ m de costat. Quina superfície s'ha de pintar?

Una habitació rectangular de $4,5$ m per $3,2$ m té dues portes de $0,9$ m d'amplada i un armari de paret que ocupa $1,8$ m d'una de les parets.

1. a) Calcula el perímetre de l'habitació.
2. b) Quants metres de sòcol fan falta? Recorda que no es posa sòcol als forats de les portes ni on hi ha l'armari.
3. c) El sòcol costa $6,75\ \text{€}$ el metre i només es ven en tires de $2$ m. Quantes tires s'han de comprar i quant costaran?

Un parc amb forma de trapezi té una base major de $50$ m, una base menor de $30$ m i una altura de $24$ m. Al seu interior hi ha una zona de jocs triangular de $18$ m de base i $12$ m d'altura; la resta és gespa.

1. a) Calcula l'àrea total del parc.
2. b) Calcula l'àrea dedicada a la gespa.
3. c) Per sembrar la gespa es necessiten $1$ kg de llavor per cada $40\ \text{m}^2$, i la llavor es ven en sacs de $5$ kg a $22,40\ \text{€}$ el sac. Quants sacs s'han de comprar i quant costaran?

Sobre un paper quadriculat de quadrats de $1\ \text{cm}^2$ ha caigut una taca de tinta. Comptant amb cura, la taca cobreix per complet $14$ quadrats i en toca parcialment uns altres $18$.

1. a) Entre quins dos valors està del cert l'àrea de la taca? Raona la teva resposta.
2. b) Dona una estimació raonable de l'àrea i explica el criteri que has utilitzat.
3. c) Quin és l'error màxim que pot tenir la teva estimació?

Una empresa de reformes pintarà la façana d'una nau agrícola. La façana està formada per una paret rectangular de $10\text{ m}$ d'ample per $4\text{ m}$ d'alt, rematada a la part superior per un frontó triangular de base $10\text{ m}$ i alçària $h$ desconeguda.

A la paret rectangular s'ubiquen una porta d'accés de $3\text{ m}$ d'ample per $3\text{ m}$ d'alt i dues finestres quadrades de ventilació d'$1,5\text{ m}$ de costat cadascuna. Ni la porta ni les finestres es pintaran.

1. a) Escriu una expressió algebraica simplificada que representi l'àrea neta que es pintarà en funció de l'alçària $h$ de la teulada triangular.
2. b) A la factura final consta que s'han pintat exactament $46,5\text{ m}^2$ de façana. Planteja una equació a partir de la teva expressió anterior i calcula l'alçària $h$ del frontó triangular.
3. c) Per rematar l'obra es col·loca una canalera metàl·lica als dos costats inclinats de la teulada triangular. Si cadascun d'aquests costats fa $6,4\text{ m}$, quin és el perímetre exterior complet de la façana acabada?

En un institut es remodelarà un pati rectangular de terra de $24\text{ m}$ de llarg per $16\text{ m}$ d'ample per convertir-lo en una zona verda amb gespa natural. Dins d'aquest recinte s'han de respectar tres zones que no portaran gespa:

• Un espai circular al voltant d'una olivera centenària, amb un radi de $3\text{ m}$.

• Dues zones quadrades idèntiques per a taules d'escacs, de $4\text{ m}$ de costat cadascuna.

(Pren $\pi \approx 3,14$).

1. a) Modela la situació i calcula la superfície neta de terreny que es cobrirà amb gespa.
2. b) Al voltant de la vora del cercle de l'olivera i de les dues zones quadrades es col·locarà una vorada protectora de cautxú per separar la terra de la gespa. Quants metres lineals de vorada es necessiten com a mínim? Arrodoneix al metre enter superior.
3. c) Es reben dos pressupostos d'empreses locals:

• Empresa VerdeSur: cobra una tarifa fixa de $750\text{ €}$ per transport i anivellació del terra, més $8,50\text{ €}$ per cada metre quadrat de gespa instal·lada.

• Empresa EcoJardín: no cobra tarifa fixa, però factura $11,00\text{ €}$ per cada metre quadrat de gespa instal·lada.

Quina de les dues empreses resulta més econòmica per al centre educatiu? Justifica la teva decisió comparant els imports totals d'ambdues opcions.

Repte del tema. Dissenya el teu racó ideal! Projectaràs la reforma de la teva habitació o d'una estança de casa teva aplicant la geometria plana a una situació real.

1. Mesurament real: Amb una cinta mètrica, mesura la llargària i l'amplària de l'estança (suposa que és rectangular) i obtén amb precisió el seu perímetre i la seva àrea total en $\text{m}^2$.

2. Disseny a escala: A GeoGebra o en paper quadriculat, dibuixa la nova distribució. Hi has d'integrar obligatòriament: una taula triangular, una catifa quadrilàtera i un puf o llum de base circular o semicircular.

3. Càlculs geomètrics: Determina el perímetre i l'àrea de cada element pla. Després, troba l'àrea lliure transitable resolent el problema de figures compostes (restant els mobles a la superfície total).

4. Pressupost i informe: Consulta al web d'una botiga de bricolatge el preu per $\text{m}^2$ d'un terra vinílic (per exemple, $8,95\text{ €/m}^2$) i calcula el cost de cobrir la zona lliure. Redacta un informe breu d'una pàgina amb el plànol i els càlculs justificats.

Es valorarà:

• Correcció en la presa de mesures reals i en l'aplicació de fórmules de perímetres i àrees amb les seves unitats corresponents.

• Traçat geomètric adequat i justificat de triangles, quadrilàters i cercles.

• Resolució correcta del càlcul de l'àrea composta i de l'estimació del pressupost final.