Exercicis: Conceptes

En la nostra vida diària passen moltes coses, però no totes depenen de l'atzar. Indica quines de les situacions següents són experiments aleatoris i quines són deterministes:

1. a) Llançar una moneda a l'aire i observar si surt cara o creu.
2. b) Calcular quant costaran $3$ entrades de cinema si cadascuna val $8$ euros.
3. c) Preguntar a un companys/company quin és el seu color preferit.
4. d) Deixar caure una pedra des d'un balcó i veure si cau cap avall.
5. e) Treure una carta d'una baralla espanyola sense mirar.

Una empresa de videojocs vol saber quin és el gènere preferit dels alumnes del teu institut. Per no preguntar als $800$ alumnes, decideixen fer una enquesta a $10$ estudiants de cada classe de l'institut.

Identifica els elements següents de l'estudi estadístic:

• Població:

• Mostra:

• Individu:

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives (si expressen una qualitat o característica) o quantitatives (si s'expressen mitjançant un nombre):

1. a) El nom de les aplicacions més utilitzades al mòbil dels teus amics.
2. b) El nombre de germans que té cada alumne de la teva classe.
3. c) La marca de les sabatilles esportives que porten els jugadors d'un equip.
4. d) La temperatura màxima assolida a la teva ciutat cada dia d'aquesta setmana.
5. e) L'esport preferit dels socis d'un club d'atletisme.

Dins de les variables quantitatives, distingim entre discretes (quan prenen valors aïllats, normalment nombres enters) i contínues (quan poden prendre qualsevol valor en un interval, com decimals). La figura mostra la diferència: a dalt, valors aïllats; a baix, un tram de la recta en què cap qualsevol valor, també els decimals.

Classifica com a discretes o contínues aquestes variables:

1. a) El nombre de gols que marca un equip en cada partit de lliga.

1. b) El temps exacte que triga un nedador a recórrer $50$ metres.

1. c) La quantitat de llibres que hi ha a les motxilles dels alumnes.

1. d) L'estatura dels components de la selecció espanyola de bàsquet.

Un grup d'amics està meitat/discutint sobre quina pel·lícula anar a veure al cinema. Han anotat les seves preferències:

Aventures, Comèdia, Terror, Aventures, Aventures, Terror, Comèdia, Aventures, Comèdia.

Respon a les preguntes següents sobre els conceptes bàsics:

1. a) Quina és la variable estadística que s'està estudiant?
2. b) De quin tipus és aquesta variable?
3. c) Quina és la freqüència absoluta (nombre de vegades que apareix) de la categoria "Aventures"?

A vegades és impossible estudiar tota la població i per això fem servir una mostra. Explica en quin d'aquests casos creus que és obligatori fer servir una mostra en lloc de preguntar a tota la població:

1. a) Volem saber la nota mitjana de l'últim examen de matemàtiques de la teva classe de 1r d'ESO.
2. b) Una fàbrica de bombetes vol saber quantes hores duren enceses abans de fondre's.
3. c) El director de l'institut vol saber quants alumnes han vingut avui a classe.
4. d) Un hospital vol analitzar el grup sanguini de tots els habitants d'una comunitat autònoma.

Observa el diagrama de barres següent que representa les mascotes dels alumnes d'una classe i respon basant-te en els conceptes meitat/apresos:

1. a) Quina és la mida de la mostra (nombre total d'alumnes enquestats)?
2. b) Quina és la variable estudiada i de quin tipus és?
3. c) Quina és la freqüència absoluta de la variable "Gat"?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Imagina que vols fer un estudi sobre els hàbits de lectura dels adolescents de la teva ciutat. Indica un exemple de:

1. Una pregunta la resposta de la qual sigui una variable qualitativa.

2. Una pregunta la resposta de la qual sigui una variable quantitativa discreta.

3. Una pregunta la resposta de la qual sigui una variable quantitativa contínua.

La Lucía ha classificat les següents variables estadístiques recollides a la fitxa mèdica del seu institut, però el seu professor li ha indicat que ha comès dos errors conceptuals:

1. Codi postal del domicili: La Lucía afirma que és quantitativa discreta «perquè s'escriu amb nombres i no té decimals».

2. Nombre d'assignatures aprovades: La Lucía afirma que és quantitativa discreta «perquè es compten amb nombres naturals ($0, 1, 2...$)».

3. Color d'ulls: La Lucía afirma que és qualitativa «perquè descriu una qualitat i no una quantitat».

4. Alçària de l'estudiant: La Lucía afirma que és quantitativa discreta «perquè a la bàscula de la infermeria marca $154\text{ cm}$, que és un nombre enter sense coma».

Identifica els dos errors comesos per la Lucía, explica detalladament per què el seu raonament és incorrecte en cada cas i classifica de manera adequada ambdues variables raonant la diferència entre un codi numèric i una mesura contínua.

La comissió organitzadora del dia de la joventut del teu municipi vol conèixer les preferències dels $400$ estudiants de 1r d'ESO de la localitat. T'han encarregat redactar quatre preguntes per a l'enquesta, però cadascuna ha de correspondre a un tipus concret de variable estadística:

1. a) Escriu una pregunta la resposta de la qual sigui una variable qualitativa.
2. b) Escriu una pregunta la resposta de la qual sigui una variable quantitativa discreta (especifica amb claredat quin element concret s'està comptant).
3. c) Escriu una pregunta la resposta de la qual sigui una variable quantitativa contínua (indica quina unitat de mesura s'emprarà per registrar la dada).
4. d) Si la comissió decideix lliurar el qüestionari únicament als $30$ alumnes que assisteixen al taller municipal de teatre, aquest grup de $30$ constitueix la població o una mostra? Raona si aquesta selecció és representativa de tots els estudiants de 1r d'ESO del municipi o si causarà un biaix.

Un conegut streamer vol saber quin és el videojoc preferit dels seus seguidors a Espanya. Per fer-ho, fa una enquesta ràpida durant un directe en la qual participen $1500$ persones. Classifica les variables següents que es recullen en l'estudi en qualitatives o quantitatives:

• a) Títol del videojoc preferit.

• b) Nombre d'hores que juguen a la setmana.

• c) Consola o plataforma utilitzada (PC, PS5, Switch, etc.).

• d) Quantitat de diners gastada en "skins" o passis de batalla al mes.

• e) Valoració del directe de l'1 al 10.

Per millorar la qualitat del menjar a la cafeteria d'un gran institut de $1200$ alumnes, el consell escolar decideix preguntar-ne l'opinió als $5$ primers alumnes de cada classe que entren al centre el dilluns al matí. Identifica els elements següents d'aquest estudi estadístic:

1. a) Població.

1. b) Mostra.

1. c) Individu.

Indica si els fenòmens següents són aleatoris o deterministes, justificant breument la teva resposta:

• a) Saber si plourà a la teva ciutat exactament el dia del teu aniversari l'any que ve.

• b) Calcular el preu de $5$ entrades de cinema si saps que cadascuna costa $8,50$ €.

• c) Preveure el número que sortirà en llançar un dau de 10 cares en un joc de rol.

• d) Conèixer la nota d'un examen de matemàtiques si has deixat totes les preguntes en blanc.

• e) Extreure una carta d'una baralla espanyola i que sigui l'as d'ors.

En un estudi sobre els hàbits de lectura dels adolescents d'una ciutat, es defineix la variable estadística com: "Nombre de llibres llegits durant l'últim estiu".

• a) De quin tipus és aquesta variable?

• b) Si l'estudi es fa sobre una mostra de $200$ joves i la suma de tots els seus llibres llegits és $450$, què representa el valor $2,25$ en aquest context?

• c) Inventa tres possibles valors que podria prendre un individu en aquesta variable.

Observa l'esquema següent que representa un estudi sobre la salut dels arbres en un parc natural que té $5000$ exemplars. L'equip forestal n'ha analitzat $150$.

• a) Quina és la mida de la població?

• b) Quina és la mida de la mostra?

• c) Si els investigadors meitat/anoten si l'arbre té plaga o no, quin tipus de variable estan estudiant?

Una botiga de roba en línia vol conèixer el grau de satisfacció dels seus clients (Molt insatisfet, Insatisfet, Neutre, Satisfet, Molt satisfet).

• a) Classifica aquesta variable. És quantitativa o qualitativa?

• b) Encara que s'utilitzin paraules, a vegades s'assignen nombres ($1$ a $5$) per calcular la mitjana. Creus que això converteix la variable en quantitativa? Raona la teva resposta.

• c) Si la botiga envia l'enquesta a $500$ clients que van comprar ahir, qui és l'"individu" en aquest estudi?

Un fabricant de telèfons mòbils vol comprovar la resistència de la pantalla d'un nou model. La fàbrica produeix $10,000$ telèfons al dia. Per a l'estudi, es seleccionen $50$ telèfons i es deixen caure repetidament des d'una alçària de $1,5$ metres fins que la pantalla es trenca, anotant quantes caigudes suporta cadascun.

• a) Explica per què en aquest cas és estrictament necessari utilitzar una mostra en lloc d'estudiar tota la població.

• b) Identifica la variable estudiada i classifica-la.

• c) Què passaria amb la producció si el fabricant decidís no fer servir una mostra i analitzar cada individu de la població?

Identifica la població i l'individu en cadascun dels estudis estadístics següents:

• 1. Es vol conèixer el pes mitjà dels pans de $250$ g produïts per un forn de pa en una jornada.

• 2. Es vol saber quina és l'assignatura preferida dels estudiants de 1r d'ESO de tota Espanya.

• 3. Un veterinari analitza el tipus d'alimentació dels gats que viuen en una colònia urbana del seu barri.

• 4. Una empresa de bombetes vol saber quantes hores duren enceses les seves bombetes de baix consum abans de fondre's.

Un fabricant de bombetes LED a Guadalajara produeix $20.000$ unitats cada dia. Per garantir-ne la qualitat, han de comprovar quantes hores dura encesa una bombeta abans de fondre's (un assaig que destrueix el producte provat). D'altra banda, en un col·legi rural agrupat amb $24$ alumnes en total, l'equip docent vol conèixer l'opinió dels seus estudiants sobre la destinació de l'excursió de final de curs.

1. a) Per a cadascun dels dos casos, compara els avantatges i els inconvenients de realitzar un cens respecte a prendre una mostra. Justifica quin dels dos mètodes és l'únic viable o el més recomanable en cada situació, valorant el cost, el temps i si el producte es destrueix.
2. b) Per al control de qualitat de les $20.000$ bombetes, l'equip d'enginyers dubta entre dos mètodes per seleccionar una mostra de $100$ bombetes diàries:

• Mètode 1: Triar les primeres $100$ bombetes que surten de la màquina a les 6:00 del matí.

• Mètode 2: Seleccionar a l'atzar $1$ bombeta de cada lot de $200$ que es fabrica al llarg dels tres torns de treball del dia.

Tria el mètode més adequat perquè la mostra sigui representativa i justifica la teva decisió explicant quines fonts d'error o biaix presenta el mètode descartat.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) realitza un estudi sobre la sostenibilitat de les llars en una comunitat autònoma que compta amb $600.000$ habitatges habitats. Per a fer-ho, els enquestadors seleccionen aleatòriament una mostra de $1.200$ habitatges i registren les dades següents de cadascun:

• Tipus d'habitatge (pis, xalet adossat o casa unifamiliar aïllada).

• Consum mitjà d'aigua en l'últim trimestre (en metres cúbics, $\text{m}^3$).

• Nombre de persones que conviuen a la llar.

• Temperatura mitjana programada al termòstat a l'hivern (en graus Celsius, $^\circ\text{C}$).

• Si disposen de sistema de reciclatge separat de matèria orgànica (Sí/No).

1. a) Modela la situació identificant amb exactitud la població, la mostra i l'individu d'aquest estudi estadístic.
2. b) Classifica cadascuna de les cinc variables recollides en: qualitativa, quantitativa discreta o quantitativa contínua. Justifica per què el consum d'aigua i la temperatura són contínues, diferenciant-les del nombre de convivents.
3. c) Suposa que, per reduir costos de desplaçament, es decideix enquestar els $1.200$ habitatges únicament a la urbanització més benestant de la capital. Continuaria sent la mostra representativa de tota la població estudiada? Explica dos motius concrets pels quals els resultats sobre el consum d'aigua i el reciclatge estarien esbiaixats.

Un famós influencer vol saber què opinen els adolescents espanyols sobre el nou límit de temps en una xarxa social. Per a això, posa una enquesta a les seves "històries" d'Instagram durant 24 hores. Hi participen $15.400$ persones.

1. a) Identifica la població objecte d'estudi i la mostra utilitzada.
2. b) Creus que la mostra és representativa de la població? Raona la teva resposta analitzant dos possibles factors que puguin invalidar els resultats (biaixos).
3. c) Proposa un mètode més fiable per triar una mostra de $500$ individus que realment representi tots els adolescents d'Espanya.

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives o quantitatives. En el cas de les quantitatives, reflexiona sobre si té sentit realitzar operacions aritmètriques (com la mitjana) amb els seus valors:

1. a) El codi postal de la residència dels alumnes d'un institut.
2. b) El número de sèrie dels ordinadors de la biblioteca.
3. c) La temperatura mitjana diària registrada al pati de l'escola durant el mes de gener.
4. d) El dorsal (número de la samarreta) dels jugadors d'un equip de bàsquet.
5. e) El temps, expressat en segons, que triga un grup de nedadors a creuar una piscina de $50$ metres.

Nota: Pensa si el "número" actua com una etiqueta o com una mesura real.

Estem realitzant un experiment sobre el creixement d'unes plantes de tomàquet sota diferents tipus de llum. Tenim $200$ plantes en total.

1. a) Si decidim analitzar només les plantes que estan a la fila més propera a la finestra, estem estudiant la població o una mostra?
2. b) Defineix l'individu d'aquest estudi.
3. c) Volem mesurar tres variables: l'alçada de la planta en $cm$, el color de les fulles (verd fosc, verd clar o groguenc) i el nombre de tomàquets que produeix cada planta. Classifica cada variable.
4. d) És aquest un experiment aleatori o determinista? Justifica la teva resposta.

En un estudi sobre el consum de fruita en una classe de $30$ alumnes, s'han perdut algunes dades de la taula de freqüències. Sabem que la freqüència relativa ($h_i$) dels alumnes que mengen "3 peces al dia" és exactament $0,2$ i que la freqüència absoluta ($f_i$) dels que mengen "1 peça al dia" és el triple dels que no en mengen "cap".

Si hi ha $2$ alumnes que no mengen cap peça de fruita al dia, completa raonadament les dades següents:

1. a) Quants alumnes mengen $3$ peces de fruita al dia?
2. b) Quants alumnes mengen $1$ peça de fruita al dia?
3. c) Quina és la freqüència absoluta dels que mengen "2 peces al dia", sabent que entre totes les opcions anteriors sumen el total de la classe?

Imagina que vols fer un estudi estadístic per convèncer el director del teu centre que les classes haurien de començar 15 minuts més tard per millorar el rendiment.

1. a) Defineix clarament la població i una mostra adequada que no sigui esbiaixada.
2. b) Dissenya tres variables diferents que poguessis mesurar: una de qualitativa, una de quantitativa que sigui un recompte (nombres enters) i una altra de quantitativa que sigui una mesura (amb decimals).
3. c) Indica quin instrument de recollida de dades faries servir per a cadascuna (enquesta, observació directa o aparell de mesura).

Identifica si els fenòmens següents són aleatoris o deterministes, explicant el perquè en cada cas. Per als aleatoris, descriu el seu espai mostral:

1. a) Llançar una pedra des d'un balcó i cronometrar el temps que triga a arribar a terra (suposant que no hi ha vent i l'altura és fixa).
2. b) El número que guanyarà el primer premi en el sorteig de la Loteria de Nadal.
3. c) Extreure una carta d'una baralla espanyola i observar si és una "figura" (Sota, Cavall o Rei).
4. d) Barrejar un àcid amb una base en un laboratori de química seguint una proporció exacta per obtenir una sal.
5. e) El temps exacte que trigarà a arribar el pròxim autobús a la parada.

S'ha fet una enquesta sobre el nombre de fills per família en una urbanització de $200$ famílies. Se sap que el $15\%$ de les famílies tenen $3$ o més fills.

1. a) Quina és la freqüència absoluta del succés "tenir 3 o més fills"?
2. b) Si l'angle en un diagrama de sectors per a les famílies amb "1 fill" és de $144^\circ$, quantes famílies tenen exactament un fill?
3. c) Calcula la freqüència relativa del grup de famílies que tenen "1 fill".

Analitza la situació següent: L'ajuntament d'una ciutat vol saber si els ciutadans estan contents amb el nou carril bici. Per estalviar costos, decideixen preguntar només a les persones que circulen pel carril bici un dissabte al matí.

1. a) La mostra és aleatòria?
2. b) Quin tipus de biaix creus que presentarà aquest estudi? Els resultats sobreestimaran o infraestimaran la satisfacció general de la ciutat?
3. c) Proposa una manera de triar la mostra que inclogui persones que no fan servir la bicicleta perquè l'estudi sigui objectiu.
4. d) Si la variable és "Grau de satisfacció (Gens, Poc, Molt)", de quin tipus de variable es tracta? Es podria calcular la mitjana aritmètica d'aquestes dades? Justifica per què.

En un institut d'Educació Secundària hi ha matriculats $800$ estudiants repartits de la següent manera:

• 1r d'ESO: $240$ alumnes.

• 2n d'ESO: $200$ alumnes.

• 3r d'ESO: $180$ alumnes.

• 4t d'ESO: $180$ alumnes.

El centre es planteja instal·lar taquilles individuals i decideix consultar una mostra de $80$ alumnes. Per seleccionar-los, situen un enquestador a la porta de la cafeteria durant l'esbarjo, qui entrevista els primers $80$ alumnes que hi entren. En revisar les dades, comproven que la mostra està formada per: $4$ alumnes de 1r d'ESO, $10$ de 2n d'ESO, $31$ de 3r d'ESO i $35$ de 4t d'ESO.

1. a) Estima i comprova el biaix: Abans de calcular percentatges, estima raonadament si un alumne de 1r d'ESO ha tingut les mateixes opcions de ser triat que un de 4t d'ESO amb aquest procediment. Després, comprova numèricament el desajust calculant quin percentatge representa 1r d'ESO a tot l'institut ($240$ de $800$) i quin percentatge representa realment a la mostra obtinguda ($4$ de $80$). És raonable considerar que la mostra és representativa?
2. b) Raona com influeix aquest biaix en els resultats de l'enquesta sobre la necessitat de taquilles, considerant les diferències d'horari, assignatures o pes de les motxilles entre els cursos inicials i finals de l'ESO.
3. c) Si es volgués dissenyar una mostra de $80$ estudiants que fos estrictament proporcional a la població de cada curs:

1. Estima mentalment quants alumnes de 1r d'ESO s'haurien d'enquestar aproximadament (observant quina fracció de $800$ representen els $240$ alumnes).

2. Calcula el nombre exacte d'alumnes que s'han de triar de cada curs i comprova que la suma de tots els grups sumi exactament els $80$ estudiants previstos.

L'ajuntament d'una ciutat de $60.000$ habitants vol consultar a la ciutadania sobre el traçat d'una nova xarxa de carrils bici. La ciutat està dividida en tres districtes amb característiques demogràfiques i geogràfiques molt diferents:

• Districte Centre: $15.000$ habitants (carrers de vianants i terreny pla).

• Districte Eixample: $30.000$ habitants (avingudes àmplies, planes i amb gran densitat de trànsit rodat).

• Districte Turó: $15.000$ habitants (barri residencial situat sobre turons amb forts pendents).

Per dur a terme l'estudi es decideix enquestar una mostra de $600$ ciutadans, i es proposen tres alternatives de mostratge:

• Mètode A: Situar dos enquestadors a la porta de la botiga més gran de venda i reparació de bicicletes de la ciutat durant una setmana i entrevistar $600$ clients.

• Mètode B: Realitzar un sorteig amb el padró municipal per enquestar exactament $200$ persones al Districte Centre, $200$ al Districte Eixample i $200$ al Districte Turó.

• Mètode C: Realitzar un sorteig amb el padró municipal repartint els $600$ individus de manera proporcional a la quantitat real d'habitants que resideix a cada districte.

1. a) Tria quin dels tres mètodes és l'idoni per obtenir conclusions vàlides per al conjunt de la ciutat i justifica detalladament per què garanteix la representativitat.
2. b) Analitza críticament els dos mètodes descartats:

1. Explica el biaix de selecció que invalida el Mètode A.

2. Explica per què el Mètode B no és equitatiu ni representatiu, indicant quin districte resulta sobrerepresentat i quin queda infrarepresentat respecte al seu pes demogràfic real.

1. c) Calcula quants ciutadans de cada districte s'han de seleccionar exactament amb el Mètode C perquè la mostra reprodueixi amb total fidelitat la proporció poblacional de la ciutat.