Exercicis: Representació a la recta

Observa la recta numèrica següent i identifica quin nombre enter correspon a cada una de les lletres marcades amb un punt:

Dibuixa al teu quadern una recta numèrica i representa-hi els nombres enters següents: $+4$, $-3$, $0$, $+1$ i $-5$. Utilitza una distància d'$1$ cm entre cada nombre.

En un termòmetre, les temperatures per sobre de zero es consideren positives i per sota de zero, negatives. Representa a la recta vertical del termòmetre les temperatures següents d'una setmana d'hivern: $-2 ^\circ C$, $+5 ^\circ C$ i $0 ^\circ C$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica quin és el nombre enter oposat al que està representat pel punt taronja a la recta. Representa també aquest oposat a la mateixa recta.

Un bus es troba a $-10$ metres de profunditat (sota el nivell del mar). Si puja $4$ metres, en quina posició es troba ara? Representa-ho en una recta numèrica vertical on el $0$ és el nivell del mar.

Observa la recta i escriu els nombres enters que falten a les caselles buides, sabent que la distància entre cada marca és de $1$ unitat.

Recorda que a la recta numèrica, quant més a la dreta està un nombre, més gran és. Basant-te en això, utilitza els símbols $>$ (més gran que) o $<$ (més petit que) per comparar aquestes parelles de nombres:

1. a) $-4$ _____ $+2$
2. b) $-1$ _____ $-5$
3. c) $+3$ _____ $0$
4. d) $-2$ _____ $+1$

Escriu els nombres enters el valor absolut dels quals sigui igual a $3$. Després, representa'ls en una recta numèrica com la de la figura i explica què observes respecte a la seva posició amb el zero.

En un examen, la Marta havia de calcular la distància a la recta numèrica entre el número $-6$ i el número $+3$. Al seu full de respostes va escriure:

«Com que la distància és la diferència entre els números, faig $+3 - 6 = -3$. Per tant, la distància entre tots dos és de $-3$ unitats».

1. a) Identifica els dos errors que ha comès la Marta (un de conceptual sobre el resultat d'una distància i un altre sobre com plantejar la resta amb nombres negatius).
2. b) Explica amb les teves paraules per què una distància mai no pot ser negativa sobre la recta numèrica.
3. c) Escriu l'operació correcta i calcula la distància real entre $-6$ i $+3$.

En una recta numèrica s'han marcat dos nombres enters, $A$ i $B$. Sabem que el punt mitjà exacte entre tots dos és el número $-2$. A més, et donen com a dada que el punt $A$ és el número $+4$.

1. a) Calcula a quina distància es troba el punt $A$ del punt mitjà $-2$.
2. b) Sabent que el punt mitjà equidista d'ambdós extrems, dedueix raonadament en quin nombre enter s'ha de trobar el punt $B$.
3. c) Aplica la fórmula del punt mitjà, $\dfrac{A+B}{2}$, substituint els valors d'$A$ i $B$ per comprovar que el teu resultat dóna exactament $-2$.

Observa la recta numèrica següent en la qual s'han marcat tres punts, $A$, $B$ i $C$. Tenint en compte la posició del nombre $0$ i del $+2$, identifica quin nombre enter representa cada lletra.

Dibuixa una recta numèrica i representa-hi tots els nombres enters $x$ que compleixin simultàniament aquestes dues condicions:

1. El seu valor absolut és menor que $5$, és a dir: $|x| < 5$.

2. Són nombres estrictament menors que $-1$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dron d'inspecció tèrmica realitza els moviments següents sobre l'eix vertical d'una xemeneia industrial. Si considerem que la boca de la xemeneia està al punt $0$ metres:

• Comença a $+12$ m d'altura.

• Baixa $15$ metres per revisar una fissura.

• Torna a pujar $6$ metres per prendre una lectura.

Representa el recorregut en una recta vertical i marca amb un punt de color destacat la posició final del dron. A quina altura es troba respecte a la boca de la xemeneia?

A la recta numèrica, el punt mitjà entre dos nombres enters és el lloc que està exactament a la mateixa distància de tots dos.

• Representa els nombres $-6$ i $+2$.

• Troba visualment el punt mitjà entre ells i digues quin nombre representa.

• Quina és la distància (en unitats) des d'aquest punt mitjà fins a qualsevol dels dos extrems?

Representa en una recta numèrica els nombres enters següents. Tria una escala adequada (on cada marca de la recta pugui valer més d'1 unitat) perquè tots hi capiguin al teu dibuix:

$S = \{ -15, +5, -20, +25, 0, -5 \}$

Identifica quins nombres enters estan representats pels punts $M$ i $N$ en aquesta recta, sabent que la distància entre dues marques consecutives és sempre la mateixa.

Tres científics estan estudiant un volcà submarí. Les seves posicions respecte al nivell del mar ($0$ m) són:

• Investigador A: Es troba en un submarí a $-450$ metres.

• Investigador B: Està al cim del volcà, a $+150$ metres sobre el nivell del mar.

• Investigador C: Està en un vaixell a $0$ metres.

Representa aquestes tres posicions en una recta vertical. Si l'investigador A vol pujar fins a la posició de l'investigador B, quants metres ha d'ascendir en total? Explica com ho veus a la recta.

Dibuixa una recta numèrica i situa-hi el nombre $-3$. A continuació, representa:

• El punt $A$, que és l'oposat de $-3$.

• El punt $B$, que està $5$ unitats a l'esquerra de $-3$.

• El punt $C$, que està $2$ unitats a la dreta de $A$.

Quin nombre representa el punt $C$? Quin és el nombre més petit dels quatre que tens marcats a la recta?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra en una estació de muntanya de Teruel una temperatura mínima de $-7\text{ }^\circ\text{C}$ a les 7:00 h i una màxima de $+3\text{ }^\circ\text{C}$ a les 15:00 h.

1. a) Abans de fer cap compte, situa mentalment tots dos nombres a la recta numèrica i estima si la temperatura del punt mitjà entre la mínima i la màxima serà positiva, negativa o exactament zero. Justifica la teva predicció explicant quina de les dues temperatures està més allunyada del $0$.
2. b) Calcula la distància tèrmica total (variació de graus) entre la mínima i la màxima utilitzant el valor absolut.
3. c) Calcula de manera exacta el punt mitjà tèrmic aplicant la fórmula $\dfrac{a+b}{2}$ i comprova si la teva estimació de l'apartat a) era encertada.

En una estació intermodal de transport a Madrid, prenem el nivell del carrer com a cota $0\text{ m}$. L'andana subterrània de Rodalies està situada a una cota de $-12\text{ m}$, mentre que la passarel·la superior d'accés a autobusos s'ubica a una cota de $+8\text{ m}$.

1. a) Modela aquesta situació sobre una recta numèrica i calcula quants metres de distància recorre un ascensor panoràmic que va directament des de l'andana de Rodalies fins a la passarel·la d'autobusos.
2. b) La direcció de l'estació vol col·locar un panell informatiu al punt mitjà exacte del recorregut vertical de l'ascensor. A quina cota (en metres) s'ha d'instal·lar? Estarà per sobre o per sota del nivell del carrer?
3. c) Un tècnic de manteniment està treballant en un punt que dista exactament $5\text{ m}$ de l'andana de Rodalies (cota $-12\text{ m}$). A quines dues cotes diferents es podria trobar aquest tècnic? Justifica ambdues opcions.

Un explorador està buscant un tresor enterrat en un camí recte que representem com una recta numèrica. El mapa li dóna les pistes següents:

1. El tresor està en una posició representada per un nombre enter $x$.

2. La distància entre $x$ i el nombre $-2$ és exactament de $5$ unitats.

3. El valor absolut de $x$ és més gran que $4$.

Representa a la recta numèrica les possibles ubicacions del tresor i determina en quin nombre o nombres exactes podria trobar-se. Pots copiar aquesta recta numèrica per treballar-hi al damunt:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dron de vigilància es desplaça al llarg d'un eix horitzontal. La seva base de càrrega està al punt $0$. Realitza els moviments següents de manera consecutiva:

• Comença a la base i es desplaça fins al punt $+7$.

• Des d'allà, retrocedeix $12$ unitats.

• Finalment, es mou cap a una posició $P$ tal que la distància total recorreguda des de l'inici és de $25$ unitats.

Si el dron sempre es mou en línia recta, en quin nombre enter de la recta es troba el punt $P$? Hi ha més d'una solució possible? Representa-ho gràficament.

Estem dissenyant un termòmetre especial per a un experiment de física. Hem de marcar quatre punts crítics: $A$, $B$, $C$ i $D$, que compleixen aquestes condicions:

• $A$ és l'oposat de $+3$.

• $B$ té un valor absolut de $5$ i està a l'esquerra d'$A$.

• $C$ és un nombre enter tal que $-1 < C < 4$ i la seua distància a $A$ és la mateixa que la seua distància a $D$.

• $D$ és el nombre enter més gran possible que siga menor que $+6$.

Representa els quatre punts en la mateixa recta numèrica (pots usar la recta de la figura com a model) i ordena'ls de menor a major valor absolut. Si dos punts tenen el mateix valor absolut, indica-ho.

Dues ciutats, Villafría i Villacalor, estan connectades per una carretera recta que imaginem com una recta numèrica. Villafría està al punt $-15$ i Villacalor al punt $+21$.

Es vol instal·lar una antena de telefonia en un punt $M$ que estigui exactament a la mateixa distància de totes dues ciutats.

1. Quin nombre enter representa la posició de l'antena $M$?

2. Si un cotxe surt de Villafría cap a l'antena i s'avaria quan ha recorregut $\frac{1}{3}$ de la distància total entre la ciutat i l'antena, en quin nombre de la recta s'ha quedat aturat?

En un videojoc, un personatge es mou per una línia de caselles numerades amb nombres enters. El jugador ha de col·locar "trampes" en tots els nombres enters $n$ que compleixin simultàniament aquestes dues condicions:

• El valor absolut del nombre és menor o igual a $6$: $|n| \le 6$.

• La distància entre el nombre $n$ i el nombre $-3$ és més gran que $4$ unitats.

Dibuixa una recta numèrica i marca amb una "X" taronja totes les posicions on el jugador ha de posar una trampa. Quantes trampes hi ha en total?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un historiador està creant una línia del temps digital. Defineix l'any $0$ com el moment d'un gran descobriment.

• La civilització Alfa va sorgir l'any $-450$ i va durar $300$ anys.

• La civilització Beta va començar just quan va acabar l'Alfa i va durar el doble de temps.

• La civilització Gamma es situa a la recta de manera que el seu any d'inici és el punt mitjà entre l'inici d'Alfa i el final de Beta.

Representa en una recta numèrica (fent servir una escala adequada, per exemple, 1 unitat = 100 anys) els punts d'inici i de fi de cada civilització. En quin any va començar la civilització Gamma?

Considera tres nombres enters $a, b$ i $c$ situats a la recta numèrica dels quals sabem el següent:

• $a$ és l'oposat del valor absolut de $-8$.

• $c$ és un nombre tal que la seva distància a $0$ és la meitat de la distància de $a$ a $0$, i $c$ és positiu.

• $b$ és un nombre que està a la mateixa distància de $a$ que de $c$.

Dibuixa la recta, situa els tres punts i calcula el valor de la següent expressió fent servir les seves posicions:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Imagina que la recta numèrica és una corda tensa. Lliguem un pes al nombre $0$ i un altre al nombre $-12$.

1. Troba la posició d'un punt $P$ (un nombre enter) que estigui a una distància de $4$ unitats del punt $-6$. Quantes solucions hi ha?

2. Si ara busquem un punt $Q$ que compleixi que la seva distància al $+2$ sigui el doble que la seva distància al $-1$, quins nombres enters podrien ser $Q$? Identifica'ls i marca'ls a la recta numèrica.

Volem trobar tots els nombres enters que es troben a una distància d'exactament $6$ unitats del número $-2$ a la recta numèrica.

Dos estudiants d'1r d'ESO proposen dos camins diferents:

• Mètode de l'Alba: Dibuixa una recta graduada d'$1$ en $1$, localitza la posició del $-2$ i compta visualment $6$ divisions cap a la dreta i després $6$ divisions cap a l'esquerra per veure a quines marques cau.

• Mètode d'en Sergio: Tradueix el problema a operacions aritmètiques directes: com que desplaçar-se a la dreta és sumar i a l'esquerra és restar, calcula $(-2) + 6$ i $(-2) - 6$.

1. a) Aplica tots dos mètodes pas a pas i comprova que amb tots dos s'obtenen els mateixos nombres.
2. b) Imagina ara que l'enunciat canvia a: «Troba els nombres enters situats a una distància de $235$ unitats del número $-148$». Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos triaries per ser més eficient i evitar errors de recompte.
3. c) Resol el cas de les $235$ unitats de distància respecte a $-148$ emprant el mètode que has seleccionat a l'apartat b).

Estem buscant dos nombres enters desconeguts, $x$ i $y$ (on $x < y$), representats a la recta numèrica. Per descobrir-los, disposes únicament de quatre pistes:

1. La distància entre $x$ i $y$ és de $14$ unitats.

2. El producte de tots dos nombres és estrictament negatiu (és a dir, $x \cdot y < 0$, cosa que implica que estan a costats oposats del $0$).

3. El punt mitjà entre $x$ i $y$ és un nombre enter negatiu.

4. El valor absolut d'un dels dos nombres és exactament $4$.

1. a) Dedueix raonadament quin dels dos nombres, si el positiu o el negatiu, ha de ser el que té valor absolut $4$. (Ajuda: pensa quin nombre ha d'estar més allunyat del $0$ a la recta perquè el punt mitjà resulti negatiu).
2. b) A partir de la teva deducció, determina els valors exactes d'$x$ i d'$y$.
3. c) Calcula el punt mitjà entre els valors que has trobat i verifica numèricament que es compleixen les quatre condicions de l'enunciat.