Exercicis: Monomis i operacions amb monomis

En el món de l'àlgebra, no totes les expressions són "monomis". Recorda que un monomi és un producte d'un nombre i una lletra (o diverses) amb exponents naturals. Indica quines de les expressions següents són monomis i quines no. En cas negatiu, explica per què:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Copia la taula següent al teu quadern i completa els elements que falten per a cada monomi. Alerta amb els signes i els exponents invisibles!

Dos monomis són "semblants" si tenen exactament la mateixa part literal. En el llistat següent, hi ha tres parelles de monomis semblants amagades. Troba-les i agrupa-les!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Simplifica aquestes expressions sumant o restant els monomis que siguin semblants. Si no es pot simplificar, indica per què:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

En un videojoc d'aventures, el teu personatge reuneix gemmes d'energia. Les gemmes vermelles valen $x$ punts cadascuna. Si durant la primera pantalla aconsegueixes $5x$ gemmes, a la segona en trobes $8x$ més i a la tercera en perds $3x$ per un encanteri, simplifica l'expressió per saber quantes gemmes tens al final.

Per organitzar una festa, compres packs de refrescos. Cada pack conté $6$ llaunes i el preu d'una llauna és $y$ euros. Si compres $4$ packs iguals, escriu el monomi que representa el cost total de la compra.

Un agricultor té un hort rectangular per plantar tomàquets. Ajuda'l a calcular l'expressió de l'àrea de l'hort multiplicant els monomis següents:

Realitza les multiplicacions de monomis següents recordant que es multipliquen els coeficients entre si i es sumen els exponents de les lletres iguals:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

La Lucía està repassant les operacions amb monomis i a la seva llibreta ha deixat escrites aquestes dues afirmacions:

1) $4x^3 + 5x^3 = 9x^6$

2) $2a + 3b = 5ab$

Identifica l'error conceptual que ha comès la Lucía en cadascuna de les dues operacions. Explica, recolzant-te en la propietat distributiva i en la definició de monomis semblants, per què els seus raonaments són erronis. Finalment, escriu les respostes corregides per a tots dos casos.

Volem descobrir la identitat d'un monomi desconegut, al qual anomenarem $M$, del qual sabem les pistes següents:

1) El seu coeficient és un nombre enter negatiu estrictament més gran que $-5$.

2) La seva part literal està formada per les lletres $x$ i $y$, totes dues amb exponent més gran o igual que $1$.

3) En multiplicar el monomi desconegut $M$ pel monomi $3x^2y$, s'obté un monomi de coeficient $-12$ i grau total $6$.

Deduïx i justifica raonadament el coeficient i els possibles valors dels exponents de $M$. Escriu almenys un monomi que compleixi exactament totes les condicions i, a continuació, proposa un altre monomi diferent que sigui semblant a aquest.

En un videojoc d'estratègia, els recursos s'emmagatzemen mitjançant expressions algebraiques. Completa la taula següent perquè el programador pugui organitzar l'inventari correctament:

Estàs organitzant els fitxers del teu ordinador. Per estalviar espai, només pots sumar o restar aquells "fitxers" (monomis) que siguin semblants. Redueix l'expressió següent al màxim:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

A la botiga de còmics, $x$ representa una quantitat de mangues. Si en Luis compra el triple del quadrat d'aquesta quantitat i després li descompten el doble del quadrat d'aquesta quantitat, quin monomi representa la quantitat final de mangues que ha pagat? Escriu l'operació i simplifica.

Un servidor de streaming divideix un paquet de dades de mida $24x^6$ entre $4x^2$ usuaris. Escriu el monomi que representa la quantitat de dades que rep cada usuari.

Es vol envoltar amb una cinta LED una prestatgeria amb una forma poligonal especial. Calcula el monomi que representa el perímetre total de la figura sumant els seus costats:

Simplifica les divisions de monomis següents:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Aplica la propietat distributiva per eliminar els parèntesis i redueix els termes semblants en l'expressió següent:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Troba l'expressió de l'àrea del rectangle següent en forma de monomi. Recorda que l'àrea es calcula multiplicant la base per l'altura ($A = b \cdot h$).

En una estació meteorològica de l'AEMET al Sistema Central s'analitzen les nevades per avaluar el pes que suporten les cobertes dels edificis. En una nau d'emmagatzematge amb teulada plana rectangular, la longitud de la nau fa $4x$ metres, l'amplada fa $3x$ metres i el gruix de la capa de neu acumulada després d'un temporal es mesura com a $0,05x$ metres.

1. a) Calcula el monomi simplificat que modelitza el volum de neu dipositada sobre la teulada (en $\text{m}^3$). Especifica clarament el seu coeficient, la seva part literal i el seu grau.
2. b) Sabent que cada metre cúbic d'aquesta neu té una massa mitjana de $120\text{ kg}$, obtén el monomi simplificat que representa la massa total de neu acumulada sobre la teulada.
3. c) Si en una inspecció tècnica es comprova que $x = 2\text{ metres}$, calcula la massa total real de neu que suporta la nau i reflexiona si les dimensions calculades per a la teulada ($4x$ de llarg per $3x$ d'ample) resulten versemblants en la realitat.

Et proposem analitzar la següent operació combinada entre monomis:

1. a) Estima sense calcular: Abans de realitzar les operacions numèriques pas a pas, raona quin ha de ser el grau del monomi resultant del primer bloc (la fracció algebraica) i quin signe tindrà el seu coeficient. A partir d'això, deduïx si serà possible o no restar-li el terme $- 5x^4$.
2. b) Comprova calculant: Resol l'expressió pas a pas respectant la jerarquia d'operacions: primer multiplica els monomis del numerador, divideix després entre el denominador i, finalment, efectua la resta de termes semblants.
3. c) Valora: Compara el resultat final amb les teves previsions de l'apartat a). Han coincidit el grau i el signe amb el que havies raonat prèviament? Justifica per què el resultat final és un monomi i no una expressió irreductible de dos termes.

Un artista urbà està dissenyant un mural amb formes geomètriques entrellaçades. El disseny central consisteix en un gran rectangle de base $5x^2$ i altura $3y$. Dins d'aquest rectangle, l'artista deixa un forat sense pintar en forma de triangle que té una base de $2x^2$ i una altura de $y$. Escriu el monomi simplificat que representi l'àrea que finalment serà pintada de color.

Observa la torre següent construïda amb cubs decoratius. Cada cub té una arista que fa $a$ cm. Es sap que la cara superior de cada cub està pintada d'or, i les cares laterals exteriors (que no estan tocant cap altre cub) estan pintades de plata.

1. Escriu el monomi que representa l'àrea total pintada d'or en una torre de $n$ pisos.

2. Escriu el monomi que representa l'àrea total pintada de plata si la torre té exactament 4 pisos com la de la imatge.

Completa la "Piràmide de Monomis" següent. En aquesta piràmide, el valor de cada casella és el producte dels dos monomis que té a sota. Has de trobar els monomis que falten a la base perquè el monomi de la cúspide sigui el correcte.

Inventa dos monomis, $M_1$ i $M_2$, que compleixin totes aquestes condicions alhora:

1. Tots dos han de tenir com a part literal $a^2b$.

2. La seva suma ha de ser un monomi el coeficient del qual sigui $-10$.

3. En dividir $M_1$ entre $M_2$, el resultat ha de ser el nombre $4$.

Escriu els dos monomis i comprova que compleixen les condicions.

Observa el disseny d'aquesta zona de jocs per a un parc tecnològic. L'ajuntament necessita calcular l'àrea total per instal·lar gespa artificial de diferents colors a cada secció.

Calcula, mitjançant operacions amb monomis, les expressions següents:

1. L'àrea de la Zona A.

2. L'àrea de la Zona B (formada per dos triangles iguals).

3. L'àrea total del recinte simplificant la suma dels monomis resultants.

Fixa't en la següent sèrie de figures construïdes amb rajoles quadrades blanques i grises. Els matemàtics anomenen això "patrons de creixement".

1. Si $n$ representa el nombre de la figura, escriu un monomi que representi el nombre de rajoles grises de la figura $n$.

2. Escriu un binomi per al nombre de rajoles blanques de la figura $n$.

3. Suma ambdues expressions per obtenir l'expressió del total de rajoles. Quina figura tindria en total 101 rajoles?

Un "Monomi Misteriós" ha perdut algunes de les seves parts després de passar per una màquina d'operacions. La teva missió és reconstruir la igualtat original trobant el monomi que falta en cada cas (representat pel signe $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Simplifica la següent expressió combinada, parant molta atenció a l'ordre de les operacions i a les propietats de les potències:

Explica pas a pas com has reduït cada terme abans de fer la suma i resta final. Quin és el grau del polinomi resultant abans de la simplificació total?

En una sessió de repàs, el professor planteja simplificar la següent expressió amb monomis:

Dos estudiants proposen dues estratègies diferents:

• Mètode d'en Marcos: Resol primer la potència del parèntesi al numerador, després multiplica tots els monomis del numerador entre si i els del denominador entre si per formar una única fracció, i finalment divideix els coeficients i resta els exponents.

• Mètode de la Sara: Després de desenvolupar la potència del parèntesi, simplifica directament els factors numèrics i les potències de la mateixa base que comparteixen el numerador i el denominador abans de fer els productes complets.

1. a) Desenvolupa i calcula l'expressió pas a pas seguint el Mètode d'en Marcos.
2. b) Desenvolupa i calcula l'expressió pas a pas seguint el Mètode de la Sara.
3. c) Compara tots dos procediments: S'arriba al mateix resultat? Quins avantatges i inconvenients presenta cada estratègia respecte a la mida dels nombres intermedis i el risc d'error? Justifica quina triaries si els coeficients fossin nombres molt més grans.

Una fàbrica de cartó de València produeix caixes sense tapa a partir d'una làmina rectangular de cartó les dimensions de la qual són $6x$ metres de llarg per $4x$ metres d'ample. Per muntar cada caixa, es retalla a cadascun dels quatre cantons de la làmina un quadrat de costat $y$ metres (amb $y < 2x$) i es dobleguen les quatre pestanyes resultants cap amunt.

1. a) Escriu l'expressió algebraica que representa la superfície útil de cartó amb la qual es construeix la caixa (l'àrea inicial de la làmina menys els quatre cantons retallats). Justifica si aquesta expressió és o no un monomi segons la definició formal.
2. b) L'equip de disseny estableix que, per mantenir sempre les proporcions òptimes, el tall dels cantons ha de ser exactament $y = 0,5x$:

1. Substitueix aquesta condició en l'expressió de la superfície útil i simplifica-la fins a obtenir un únic monomi. Indica el seu coeficient, part literal i grau.

2. Determina els monomis que representen el llarg de la base, l'ample de la base i l'alçària de la caixa un cop plegada.

3. Troba el monomi simplificat que modelitza el volum interior de la caixa.

1. c) Un client encarrega una sèrie de caixes que puguin encabir un volum mínim de $7500\text{ litres}$ ($7,5\text{ m}^3$). Si la fàbrica ajusta la maquinària perquè $x = 1\text{ metre}$, comprova mitjançant el càlcul del volum del monomi obtingut si la caixa compleix la comanda del client i justifica la teva resposta.