Ejercicios: Monomios y operaciones con monomios

En el mundo del álgebra, no todas las expresiones son "monomios". Recuerda que un monomio es un producto de un número y una letra (o varias) con exponentes naturales. Indica cuáles de las siguientes expresiones son monomios y cuáles no. En caso negativo, explica por qué:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y completa los elementos que faltan para cada monomio. ¡Ten cuidado con los signos y los exponentes invisibles!

Dos monomios son "semejantes" si tienen exactamente la misma parte literal. En el siguiente listado, hay tres parejas de monomios semejantes escondidas. ¡Encuéntralas y agrúpalas!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Simplifica estas expresiones sumando o restando los monomios que sean semejantes. Si no se puede simplificar, indica por qué:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

En un videojuego de aventuras, tu personaje recolecta gemas de energía. Las gemas rojas valen $x$ puntos cada una. Si durante la primera pantalla consigues $5x$ gemas, en la segunda encuentras otras $8x$ y en la tercera pierdes $3x$ por un hechizo, simplifica la expresión para saber cuántas gemas tienes al final.

Para organizar una fiesta, compras packs de refrescos. Cada pack contiene $6$ latas y el precio de una lata es $y$ euros. Si compras $4$ packs iguales, escribe el monomio que representa el coste total de la compra.

Pista: Primero averigua cuántas latas hay en total y luego multiplícalo por el precio de una.

Un agricultor tiene un huerto rectangular para plantar tomates. Ayúdale a calcular la expresión del área del huerto multiplicando los siguientes monomios:

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios recordando que se multiplican los coeficientes entre sí y se suman los exponentes de las letras iguales:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

En un videojuego de estrategia, los recursos se almacenan mediante expresiones algebraicas. Completa la siguiente tabla para que el programador pueda organizar el inventario correctamente:

Estás organizando los archivos de tu ordenador. Para ahorrar espacio, solo puedes sumar o restar aquellos "archivos" (monomios) que sean semejantes. Reduce la siguiente expresión al máximo:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

En la tienda de cómics, el precio de un manga es $x$ euros. Si Luis compra el triple del cuadrado de mangas y luego le descuentan el doble del cuadrado de mangas, ¿qué monomio representa la cantidad final de mangas que ha pagado? Escribe la operación y simplifica.

Un servidor de streaming divide un paquete de datos de tamaño $24x^6$ entre $4x^2$ usuarios. Escribe el monomio que representa la cantidad de datos que recibe cada usuario.

Se quiere rodear con una cinta LED una estantería con una forma poligonal especial. Calcula el monomio que representa el perímetro total de la figura sumando sus lados:

Simplifica las siguientes divisiones de monomios:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Aplica la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis y reduce los términos semejantes en la siguiente expresión:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Halla la expresión del área del siguiente rectángulo en forma de monomio. Recuerda que el área se calcula multiplicando la base por la altura ($A = b \cdot h$).

Un artista urbano está diseñando un mural con formas geométricas entrelazadas. El diseño central consiste en un gran rectángulo de base $5x^2$ y altura $3y$. Dentro de este rectángulo, el artista deja un hueco sin pintar en forma de triángulo cuya base mide $2x^2$ y su altura es de $y$. Escribe el monomio simplificado que represente el área que finalmente será pintada de color.

Observa la siguiente torre construida con cubos decorativos. Cada cubo tiene una arista que mide $a$ cm. Se sabe que la cara superior de cada cubo está pintada de oro, y las caras laterales visibles (que no están tocando otro cubo) están pintadas de plata.

1. Escribe el monomio que representa el área total pintada de oro en una torre de $n$ pisos.

2. Escribe el monomio que representa el área total pintada de plata si la torre tiene exactamente 4 pisos como la de la imagen.

Completa la siguiente "Pirámide de Monomios". En esta pirámide, el valor de cada casilla es el producto de los dos monomios que tiene debajo. Debes hallar los monomios que faltan en la base para que el monomio de la cúspide sea el correcto.

Inventa dos monomios, $M_1$ y $M_2$, que cumplan todas estas condiciones a la vez:

1. Ambos deben tener como parte literal $a^2b$.

2. Su suma debe ser un monomio cuyo coeficiente sea $-10$.

3. Al dividir $M_1$ entre $M_2$, el resultado debe ser el número $4$.

Escribe los dos monomios y comprueba que cumplen las condiciones.

Observa el diseño de esta zona de juegos para un parque tecnológico. El ayuntamiento necesita calcular el área total para instalar césped artificial de diferentes colores en cada sección.

Calcula, mediante operaciones con monomios, las siguientes expresiones:

1. El área de la Zona A.

2. El área de la Zona B (formada por dos triángulos iguales).

3. El área total del recinto simplificando la suma de los monomios resultantes.

Fíjate en la siguiente serie de figuras construidas con baldosas cuadradas blancas y grises. Los matemáticos llaman a esto "patrones de crecimiento".

1. Si $n$ representa el número de la figura, escribe un monomio que represente el número de baldosas grises de la figura $n$.

2. Escribe un monomio para el número de baldosas blancas de la figura $n$.

3. Suma ambos monomios para obtener la expresión del total de baldosas. ¿Qué figura tendría en total 101 baldosas?

Un "Monomio Misterioso" ha perdido algunas de sus partes tras pasar por una máquina de operaciones. Tu misión es reconstruir la igualdad original encontrando el monomio que falta en cada caso (representado por el signo $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Simplifica la siguiente expresión combinada, prestando mucha atención al orden de las operaciones y a las propiedades de las potencias:

Explica paso a paso cómo has reducido cada término antes de realizar la suma y resta final. ¿Cuál es el grado del polinomio resultante antes de la simplificación total?