Exercicis: Sistemes d'equacions amb dues i tres incògnites. Classificació de sistemes

Classifica els següents sistemes d'equacions de dues incògnites segons el nombre de solucions que presenten (sistema compatible determinat, sistema compatible indeterminat o sistema incompatible) després d'intentar resoldre'ls pel mètode que prefereixis:

1. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$

Resol el següent sistema d'equacions de tres incògnites que ja es troba en forma esglaonada:

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$

Donades les rectes $r$ i $s$ representades en el gràfic següent, escriu el sistema d'equacions que defineixen la seva intersecció i classifica'l segons la seva geometria.

Expressa el següent sistema d'equacions lineals en la seva forma matricial $A \cdot X = B$, identificant clarament la matriu de coeficients $A$, la matriu d'incògnites $X$ i la matriu de termes independents $B$:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$

Sense fer càlculs complexos, raona per què el sistema homogeni següent és compatible indeterminat analitzant la relació entre les seves equacions:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$

Comprova si la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ és solució del següent sistema d'equacions:

$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$

Geomètricament, una equació lineal amb tres incògnites representa un pla en l'espai. Observa l'esquema i descriu quin tipus de sistema (SCD, SCI o SI) representaria la intersecció de dos plans que són paral·lels entre si.

En una botiga de perifèrics per a videojocs, tres amics compren diferents productes.

• Marcos compra 2 ratolins i 1 teclat per $110$ €.

• Julia compra 1 ratolí i 2 teclats per $130$ €.

Planteja un sistema d'equacions lineals per determinar el preu de cada article i classifica'l segons el nombre de solucions que esperes obtenir.

En un examen d'avaluació contínua, en Carlos classifica el següent sistema homogeni:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x - 4y + 2z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}$$

Després d'observar les relacions de proporcionalitat entre les equacions, en Carlos escriu en la seva resolució: «Com que la segona fila és el doble de la primera i la tercera és la primera canviada de signe, en esglaonar queda $0 = 0$. Com que les incògnites s'anul·len per complet en aquesta igualtat, el sistema no té cap solució i per tant és un Sistema Incompatible (SI)».

1. a) Explica raonadament els dos errors conceptuals que comet en Carlos: un de relatiu a la definició general dels sistemes homogenis i un altre de relatiu a la interpretació d'una fila nul·la del tipus $0x + 0y + 0z = 0$.
2. b) Corregeix l'exercici: escriu la matriu de coeficients $A$, determina la classificació correcta del sistema (SCD, SCI o SI) i justifica quantes solucions té.

Dissenya i escriu un exemple concret per a cadascuna de les següents situacions, justificant la teva deducció mitjançant la relació entre els coeficients o l'estructura de la matriu ampliada:

1. a) Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites ($x$ i $y$) que sigui incompatible (SI), de manera que la primera equació sigui obligatòriament $2x - 3y = 5$.
2. b) Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites ($x$ i $y$) que sigui compatible indeterminat (SCI) i admeti entre les seves infinites solucions la solució particular $(x, y) = (1, -2)$.
3. c) Un sistema homogeni de dues equacions lineals amb tres incògnites ($x, y, z$). Justifica, a partir del nombre d'incògnites i del rang màxim possible de la matriu de coeficients, per què ésGroup impossible que aquest sistema sigui compatible determinat (SCD).

Dos drons de vigilància, $D_1$ i $D_2$, es desplacen per un pla seguint trajectòries rectilínies donades per les equacions següents:

Dró 1: $2x - 3y = 5$

Dró 2: $x + ky = 2$

Es demana:

1. a) Determina el valor del paràmetre $k$ perquè els drons xoquin en un punt (el sistema sigui compatible determinat).

1. b) Hi ha algun valor de $k$ per al qual els drons segueixin trajectòries paral·leles però no es trobin mai? Justifica la teva resposta utilitzant rangs.

1. c) Representa gràficament la situació si $k = -1,5$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Classifica el següent sistema d'equacions lineals segons el nombre de solucions, utilitzant el mètode de Gauss:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$

En cas que sigui compatible, troba la seva solució o solucions. Si és indeterminat, escriu la solució en forma paramètrica.

Discuteix la compatibilitat del sistema següent en funció dels valors del paràmetre real $m$, utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius:

$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$

Indica per a quins valors de $m$ el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible.

Donades les equacions de tres plans a l'espai:

$\pi_1: x + y + z = 2$

$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$

$\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$

1. a) Determina el valor de $k$ perquè els tres plans se tallin en una recta (sistema compatible indeterminat).
2. b) Per al valor de $k$ trobat, obtén l'equació d'aquesta recta.
3. c) Quina és la posició relativa dels plans si $k = 5$?

Un equip d'E-sports ha guanyat un premi de 12.000 € que s'ha de repartir entre els seus tres integrants: el capità (A), l'estrateg (B) i el franctirador (C). Es sap que:

• La suma del que reben B i C és igual al que rep A.

• Si l'estrateg (B) rebés 1.000 € més, tindria exactament el mateix que el franctirador (C).

1. a) Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites per determinar quant rep cadascun.
2. b) Classifica el sistema i resol-lo.

Estudia la compatibilitat del sistema següent de 4 equacions amb 3 incògnites:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$

Si el sistema és compatible, troba la solució única. En cas contrari, indica quina equació és la que genera la incompatibilitat.

Es considera el sistema homogeni dependent del paràmetre $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. a) Classifica el sistema segons els valors de $a$.
2. b) Determina per a quins valors de $a$ el sistema admet solucions diferents de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
3. c) Resol el sistema per a $a = -2$.

Escriu un sistema de tres equacions amb tres incògnites que compleixi simultàniament:

1. Que sigui compatible indeterminat.

2. Que una de les seves solucions sigui $(1, 0, 2)$.

3. Que la matriu de coeficients sigui de la forma:

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & 0 & b \end{pmatrix}$

Calcula els valors necessaris de $a$ i $b$, i proposa uns termes independents coherents. Justifica la teva construcció mitjançant l'ús de rangs.

Per classificar i resoldre el sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x - 2y = -3 \end{cases}$$

dos alumnes proposen estratègies diferents:

• La Irene proposa escriure la matriu ampliada $A^* = (A|B)$ i aplicar el mètode d'eliminació de Gauss fins a obtenir un sistema esglaonat.

• En David proposa aïllar $x$ directament en la tercera equació ($x = 2y - 3$), substituir aquesta expressió en la primera i en la segona equació per reduir el problema a un sistema de dues incògnites ($y, z$), i resoldre per substitució ordinària.

1. a) Compara raonadament ambdós mètodes per a aquest cas específic: quin requereix menor cost algebraic i minimitza el risc d'error aritmètic? De quina manera l'absència de la incògnita $z$ en la tercera equació condiciona aquesta elecció?
2. b) Aplica l'estratègia que hagis considerat més eficient per classificar formalment el sistema i obtenir la seva solució.
3. c) Si el sistema inicial tingués 4 equacions amb 4 incògnites sense cap coeficient nul, mantindria el mètode d'en David la seva competitivitat enfront de l'algorisme matricial de Gauss? Justifica la teva resposta en termes d'ordre i escalabilitat.

A partir de les dades de l'enquesta de transport urbà de l'Instituto Nacional de Estadística (INE), una empresa municipal de transports a Espanya analitza les vendes mensuals de tres tipus de títols de viatge: Abonament Jove ($x$), Abonament General ($y$) i Abonament Sènior ($z$). Es coneixen les següents dades d'un període d'estudi:

• En total es van expedir $12\,000$ títols de transport.

• La tarifa mensual de cada títol és de $20$ € per a l'Abonament Jove, $40$ € per a l'Abonament General i $10$ € per a l'Abonament Sènior, assolint una recaptació global de $290\,000$ €.

• El nombre d'abonaments joves venuts va ser exactament el doble que la suma conjunta dels abonaments generals i sèniors.

1. a) Modela la situació plantejant el corresponent sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites i escriu-lo en forma matricial $A \cdot X = B$, identificant amb precisió què representa cada matriu i vector.
2. b) Escriu la matriu ampliada $A^* = (A|B)$ associada al problema.
3. c) Esglaona la matriu ampliada mitjançant operacions elementals per files per classificar el sistema segons el nombre de solucions (SCD, SCI o SI). A partir d'aquesta classificació, interpreta si les dades proporcionades per l'empresa municipal permeten conèixer amb certesa la quantitat exacta d'abonaments venuts de cada modalitat o si la informació resulta insuficient o contradictòria.

Discuteix el següent sistema d'equacions lineals en funció dels diversos valors dels paràmetres reals $a$ i $b$. Resol-lo únicament en el cas que el sistema sigui compatible indeterminat:

$$\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Un laboratori de biotecnologia està desenvolupant un nou serum combinant tres compostos: $A$, $B$ i $C$. El cost per gram de cada compost depèn d'un factor d'importació $k$. El sistema que regeix les quantitats necessàries $x, y, z$ (en grams) per estabilitzar 100 ml de serum és:

$$\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}$$

1. a) Determina per a quins valors de $k$ el laboratori no pot determinar una quantitat única de cada compost per fabricar el serum.
2. b) Si $k = -2$, és possible fabricar el serum seguint aquestes proporcions? Justifica la teva resposta basant-te en la compatibilitat del sistema.

Es consideren els tres plans en l'espai les equacions dels quals són:

$\pi_1: x + ay + z = 1$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$

$\pi_3: x + ay + (a+1)z = b$

Estudia la posició relativa dels tres plans segons els valors dels paràmetres $a$ i $b$. Per a quins valors dels paràmetres els tres plans es tallen en una única recta?

Sigui el sistema homogeni dependent del paràmetre $m$:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Determina el valor de $m$ per al qual el sistema admet solucions diferents de la trivial.
2. b) Per a aquest valor de $m$, troba la solució general i dóna una solució particular diferent de la trivial.

Discuteix la compatibilitat del sistema següent de 4 equacions amb 3 incògnites segons els valors del paràmetre $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + y - z = 2 \\ x - y + kz = 1 \\ 3x + 2y + (k-1)z = 5 \end{cases}$$

En els casos en què sigui compatible, determina si la solució és única.

Tres empreses de missatgeria ($P_1, P_2, P_3$) es reparteixen el mercat d'una ciutat. Cada mes, el 20% dels clients de $P_1$ es passen a $P_2$ i el 10% a $P_3$. Dels clients de $P_2$, el 10% es passa a $P_1$ i el 10% a $P_3$. Dels clients de $P_3$, el 10% es passa a $P_1$ i el 20% a $P_2$.

Si les quotes de mercat actuals són $x, y, z$ i volem que el mes vinent les quotes es mantinguin idèntiques (estat d'equilibri), planteja un sistema d'equacions. Demostra que aquest sistema és compatible indeterminat i calcula la relació entre les quotes de mercat en l'equilibri.

Donat el sistema d'equacions:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 2 \end{cases}$$

1. a) Afegeix una equació de la forma $ax + by + cz = d$ perquè el sistema resultant sigui compatible determinat i la solució del qual sigui $(1, 1, 0)$.
2. b) Afegeix una equació perquè el sistema sigui incompatible.
3. c) És possible afegir una equació perquè el sistema sigui compatible indeterminat però amb una solució diferent de la del sistema original? Raona la resposta.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ per als quals el sistema següent té infinites solucions dependents d'un sol paràmetre:

$$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x + (2a-1)y + (a+2)z = 2b + 3 \\ x + y + az = b \end{cases}$$

Per als valors trobats, escriu la solució en forma paramètrica.

En una estació de vigilància ambiental de l'AEMET, els registres teòrics normalitzats de tres paràmetres ($x$: temperatura, $y$: humitat relativa, $z$: pressió) han de satisfer el següent sistema d'equacions lineals, on $k$ representa una lectura transmesa per un sensor auxiliar:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = k \\ -x - 2y + z = -3 \end{cases}$$

1. a) Fase d'estimació: Sense realitzar operacions d'esglaonament formal, analitza els coeficients de les incògnites i els termes independents de les tres equacions. Estima i raona quin tipus de sistema esperes obtenir en dos supòsits: $k = 6$ i $k \neq 6$. Interpreta geomètricament què representa cada equació (un pla a $\mathbb{R}^3$) i anticipa la posició relativa mútua dels tres plans en cada supòsit.
2. b) Fase de comprovació: Escriu la matriu ampliada $A^* = (A|B)$ i aplica el mètode de Gauss mitjançant combinacions lineals elementals per classificar formalment el sistema en funció del paràmetre $k$.
3. c) Contrast i valoració crítica: Compara la deducció algebraica obtinguda a (b) amb la teva estimació prèvia a (a). En el cas $k = 6$, determina de quants paràmetres lliures depèn el conjunt de solucions i explica per què la configuració geomètrica real correspon a plans coincidents i no a plans que se tallen en una recta, matisant la intuïció inicial sobre els graus de llibertat del sistema.

Es planteja la construcció analítica i teòrica de sistemes de tres equacions lineals amb tres incògnites ($x, y, z$):

1. a) Dissenya un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites $A \cdot X = B$, exigint que tots els coeficients de la matriu $A$ siguin nombres reals no nuls, de manera que el sistema global sigui incompatible (SI), però amb la condició que qualsevol subsistema format per dues equacions qualssevol sigui compatible indeterminat (SCI). Escriu explícitament les tres equacions, expressa la matriu ampliada $A^* = (A|B)$ i demostra que es compleixen rigorosament ambdues condicions.
2. b) Interpreta la posició relativa dels tres plans representats per les equacions del teu sistema en l'espai tridimensional i descriu la figura geomètrica que delimiten entre si.
3. c) Considera ara el sistema homogeni associat $A \cdot X = 0$, utilitzant amb exactitud la mateixa matriu de coeficients $A$ que has construït a l'apartat (a). Raona les següents qüestions sense realitzar càlculs algebraics addicionals:

1. Per què és estructuralment impossible que aquest sistema homogeni sigui incompatible?

2. Admet únicament la solució trivial $(0, 0, 0)$ o compta amb infinites solucions? Justifica la teva deducció relacionant la dependència lineal que vas donar a les files de $A$ a l'apartat (a) amb el rang d'aquesta matriu.