Ejercicios: Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas. Clasificación de sistemas

Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones de dos incógnitas según el número de soluciones que presentan (Sistema Compatible Determinado, Sistema Compatible Indeterminado o Sistema Incompatible) tras intentar resolverlos por el método que prefieras:

1. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas que ya se encuentra en forma escalonada:

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$

Dadas las rectas $r$ y $s$ representadas en el siguiente gráfico, escribe el sistema de ecuaciones que definen su intersección y clasifícalo según su geometría.

Expresa el siguiente sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial $A \cdot X = B$, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de incógnitas $X$ y la matriz de términos independientes $B$:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$

Sin realizar cálculos complejos, razona por qué el siguiente sistema homogéneo es Compatible Indeterminado analizando la relación entre sus ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$

Comprueba si la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa el esquema y describe qué tipo de sistema (SCD, SCI o SI) representaría la intersección de dos planos que son paralelos entre sí.

En una tienda de periféricos gaming, tres amigos compran diferentes productos.

• Marcos compra 2 ratones y 1 teclado por $110$ €.

• Julia compra 1 ratón y 2 teclados por $130$ €.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar el precio de cada artículo y clasifícalo según el número de soluciones que esperas obtener.

Dos drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$, se desplazan por un plano siguiendo trayectorias rectilíneas dadas por las siguientes ecuaciones:

Drone 1: $2x - 3y = 5$

Drone 2: $x + ky = 2$

Se pide:

1. a) Determina el valor del parámetro $k$ para que los drones choquen en un punto (el sistema sea compatible determinado).
2. b) ¿Existe algún valor de $k$ para el que los drones sigan trayectorias paralelas pero nunca se encuentren? Justifica tu respuesta usando rangos.
3. c) Representa gráficamente la situación si $k = -1,5$.

Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el número de soluciones, utilizando el método de Gauss:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$

En caso de que sea compatible, halla su solución o soluciones. Si es indeterminado, escribe la solución en forma paramétrica.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función de los valores del parámetro real $m$, utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius:

$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$

Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

Dadas las ecuaciones de tres planos en el espacio:

$\pi_1: x + y + z = 2$

$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$

$\pi_3: kx + 10y + 4z = 8$

1. a) Determina el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una recta (sistema compatible indeterminado).
2. b) Para el valor de $k$ hallado, obtén la ecuación de dicha recta.
3. c) ¿Cuál es la posición relativa de los planos si $k = 5$?

Un equipo de E-sports ha ganado un premio de 12.000 € que se debe repartir entre sus tres integrantes: el capitán (A), el estratega (B) y el francotirador (C). Se sabe que:

• La suma de lo que reciben B y C es igual a lo que recibe A.

• Si el estratega (B) recibiera 1.000 € más, tendría exactamente lo mismo que el francotirador (C).

1. a) Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para determinar cuánto recibe cada uno.
2. b) Clasifica el sistema y resuélvelo.

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$

Si el sistema es compatible, encuentra la solución única. En caso contrario, indica qué ecuación es la que genera la incompatibilidad.

Se considera el sistema homogéneo dependiente del parámetro $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. a) Clasifica el sistema según los valores de $a$.
2. b) Determina para qué valores de $a$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
3. c) Resuelve el sistema para $a = -2$.

Escribe un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que cumpla simultáneamente:

1. Que sea Compatible Indeterminado.

2. Que una de sus soluciones sea $(1, 0, 2)$.

3. Que la matriz de coeficientes sea de la forma:

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & 0 & b \end{pmatrix}$

Calcula los valores necesarios de $a$ y $b$, y propón unos términos independientes coherentes. Justifica tu construcción mediante el uso de rangos.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los diversos valores de los parámetros reales $a$ y $b$. Resuélvelo únicamente en el caso en que el sistema sea compatible indeterminado:

$$\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Un laboratorio de biotecnología está desarrollando un nuevo suero combinando tres compuestos: $A$, $B$ y $C$. El coste por gramo de cada compuesto depende de un factor de importación $k$. El sistema que rige las cantidades necesarias $x, y, z$ (en gramos) para estabilizar 100ml de suero es:

$$\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}$$

1. a) Determina para qué valores de $k$ el laboratorio no puede determinar una cantidad única de cada compuesto para fabricar el suero.
2. b) Si $k = -2$, ¿es posible fabricar el suero siguiendo estas proporciones? Justifica tu respuesta basándote en la compatibilidad del sistema.

Se consideran los tres planos en el espacio cuyas ecuaciones son:

$\pi_1: x + ay + z = 1$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$

$\pi_3: x + ay + (a+1)z = b$

Estudia la posición relativa de los tres planos según los valores de los parámetros $a$ y $b$. ¿Para qué valores de los parámetros los tres planos se cortan en una única recta?

Sea el sistema homogéneo dependiente del parámetro $m$:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Determina el valor de $m$ para el cual el sistema admite soluciones distintas de la trivial.
2. b) Para dicho valor de $m$, halla la solución general y da una solución particular tal que la suma de sus componentes sea $10$.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas según los valores del parámetro $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + y - z = 2 \\ x - y + kz = 1 \\ 3x + 2y + (k-1)z = 5 \end{cases}$$

En los casos en que sea compatible, determina si la solución es única.

Tres empresas de mensajería ($P_1, P_2, P_3$) se reparten el mercado de una ciudad. Cada mes, el 20% de los clientes de $P_1$ se pasan a $P_2$ y el 10% a $P_3$. De los clientes de $P_2$, el 10% se pasa a $P_1$ y el 10% a $P_3$. De los clientes de $P_3$, el 10% se pasa a $P_1$ y el 20% a $P_2$.

Si las cuotas de mercado actuales son $x, y, z$ y queremos que el próximo mes las cuotas se mantengan idénticas (estado de equilibrio), plantea un sistema de ecuaciones. Demuestra que este sistema es compatible indeterminado y calcula la relación entre las cuotas de mercado en el equilibrio.

Dado el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 1 \end{cases}$$

1. a) Añade una ecuación de la forma $ax + by + cz = d$ para que el sistema resultante sea compatible determinado y cuya solución sea $(1, 1, 0)$.
2. b) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.
3. c) ¿Es posible añadir una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado pero con una solución diferente a la del sistema original? Razona la respuesta.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales el siguiente sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un solo parámetro:

$$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x + (2a-1)y + (a+2)z = 2b + 3 \\ (a-1)x + y + az = b \end{cases}$$

Para los valores hallados, escribe la solución en forma paramétrica.