Exercicis: Tipus de moviments ondulatoris

Classifica les ones següents en mecàniques o electromagnètiques i explica el criteri que has utilitzat:

1. a) El so emès per un altaveu.
2. b) La llum d'un far.
3. c) Les microones d'un forn.
4. d) Les ones del mar.
5. e) Les ones sísmiques d'un terratrèmol.

Explica la diferència entre una ona transversal i una ona longitudinal, indicant com oscil·la el medi en cada cas respecte a la direcció en què avança la pertorbació, i posa un exemple real de cada tipus.

L'extrem d'una corda es fa oscil·lar verticalment amb un moviment harmònic simple.

1. a) Explica per què l'ona que es genera a la corda rep el nom d'ona harmònica.
2. b) Descriu la relació que hi ha entre el moviment de cada punt de la corda i el moviment de l'extrem que s'agita.

En moltes pel·lícules de ciència-ficció se senten eixordadores explosions de naus a l'espai exterior.

1. a) Raona, a partir de la naturalesa del so, per què en el buit de l'espai no es podria sentir cap explosió.
2. b) Explica com es comuniquen per veu els astronautes amb el control de missió i quin tipus d'ona s'empra per a això.

Les ones sísmiques P són longitudinals i les ones sísmiques S són transversals.

1. a) Explica què significa cadascuna d'aquestes afirmacions, descrivint com es mou el terreny al pas de cada tipus d'ona.
2. b) Raona quin dels dos tipus no pot propagar-se a través de les capes fluides de l'interior de la Terra i per què.

En polsar una corda de guitarra, fixa pels seus dos extrems, es forma una ona estacionària com la de la figura.

1. a) Explica què són els nodes i els ventres (o antinodes) d'una ona estacionària.
2. b) Indica, en funció de la longitud d'ona $\lambda$, la distància que separa dos nodes consecutius.

La velocitat de les ones transversals en una corda tensa és $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, on $T$ és la tensió i $\mu$ la densitat lineal de la corda.

1. a) Raona com canvia la velocitat si s'augmenta la tensió sense canviar de corda.
2. b) Raona com canvia si se substitueix per una corda més gruixuda ($\mu$ més gran) sotmesa a la mateixa tensió.
3. c) Relaciona aquests resultats amb el que fa un guitarrista quan gira les clavilles per afinar.

Un suro flota a la superfície d'un estany quan arriba un tren d'ones: el suro puja i baixa, però no avança amb les ones, tal com es mostra a la figura.

1. a) Raona, a partir d'aquesta observació, què transporta una ona i què no transporta.
2. b) Explica com arriba aleshores la pertorbació a grans distàncies sense que l'aigua experimenti un desplaçament horitzontal net amb ella.

Una corda de piano de $1\ \text{m}$ de longitud té una massa de $10\ \text{g}$ i està sotmesa a una tensió de $400\ \text{N}$.

1. a) Calcula la seva densitat lineal $\mu$, en $\text{kg/m}$.
2. b) Calcula la velocitat de propagació de les ones transversals a la corda fent servir $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
3. c) Calcula el temps que triga un pols a recórrer la corda d'un extrem a l'altre.

Es dona un cop sec a l'extrem d'una canonada d'acer de $1000\ \text{m}$ de longitud, plena d'aigua i envoltada d'aire, de manera que el so viatja pels tres medis alhora. Les velocitats del so són $5100\ \text{m/s}$ a l'acer, $1480\ \text{m/s}$ a l'aigua i $340\ \text{m/s}$ a l'aire.

1. a) Calcula el temps que triga el so a arribar a l'altre extrem per cadascun dels tres medis.
2. b) Explica per què a l'altre extrem es perceben tres senyals separats en el temps.
3. c) Raona, relacionant-ho amb l'estructura interna de cada medi, per què el so viatja més ràpid en un sòlid que en un gas.

En una corda de $1,2\ \text{m}$ fixa pels dos extrems es forma una ona estacionària amb quatre ventres.

1. a) Dibuixa a la teva llibreta la forma de la corda i assenyala els nodes i els ventres.
2. b) Calcula la longitud d'ona tenint en compte que a la corda hi caben quatre mitges longituds d'ona.
3. c) Si les ones viatgen per la corda a $240\ \text{m/s}$, calcula la freqüència de la vibració.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una estació de vigilància sísmica es troba a $300\ \text{km}$ de l'epicentre d'un terratrèmol. Les ones P viatgen per aquesta zona a $7,5\ \text{km/s}$ i les ones S a $4\ \text{km/s}$.

1. a) Calcula el temps que triga a arribar a l'estació cada tipus d'ona.
2. b) Calcula la diferència de temps entre totes dues arribades.
3. c) Explica per què aquesta diferència de temps permet estimar la distància a l'epicentre.

El $2015$ l'observatori LIGO va detectar per primera vegada ones gravitatòries procedents de la fusió de dos forats negres situats a $1,3\cdot10^{9}$ anys llum. Les ones gravitatòries viatgen pel buit a $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. Dades: $1$ any llum $= 9,46\cdot10^{15}\ \text{m}$; $1$ any $= 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Expressa la distància a la font en metres, en notació científica.
2. b) Calcula el temps que va viatjar el senyal fins a arribar a la Terra, en segons.
3. c) Raona si les ones gravitatòries són ones electromagnètiques o mecàniques i què les distingeix d'unes i d'altres.

La ecosonda d'un vaixell pesquer emet un pols d'ultrasons que triga $0,12\ \text{s}$ a baixar fins a un banc de peixos i tornar. El so es propaga a l'aigua de mar a $1500\ \text{m/s}$. L'esquema de la figura mostra el recorregut del pols.

1. a) Calcula la profunditat a la qual es troba el banc, tenint en compte que el temps mesurat correspon al trajecte d'anada i tornada.
2. b) Si el pols té una freqüència de $50\ \text{kHz}$, calcula la seva longitud d'ona a l'aigua.
3. c) Explica, a partir del valor de la freqüència, per què aquestes ones reben el nom d'ultrasons.

Una corda de guitarra de $0,65\ \text{m}$ de longitud vibra en el seu mode fonamental, és a dir, amb un sol ventre entre els dos extrems fixos. Les ones viatgen per la corda a $260\ \text{m/s}$.

1. a) Raona, a partir de la condició d'extrems fixos, que la longitud d'ona del mode fonamental és $\lambda_1 = 2 \cdot L$.
2. b) Calcula la freqüència fonamental fent servir $f_1 = \frac{v}{2 \cdot L}$.

Una corda de $0,8\ \text{m}$ fixa pels seus dos extrems admet modes de vibració de freqüències $f_n = \frac{n \cdot v}{2 \cdot L}$, amb $n = 1, 2, 3, \dots$ Les ones viatgen per la corda a $160\ \text{m/s}$. La figura mostra els tres primers modes de vibració.

1. a) Calcula les freqüències dels tres primers modes de vibració.
2. b) Explica quina relació matemàtica tenen aquestes freqüències amb la fonamental i per què reben el nom d'harmònics.

A mar obert un tsunami es propaga com una ona de gravetat la velocitat de la qual depèn de la profunditat $h$ segons $v = \sqrt{g \cdot h}$. Pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la velocitat del tsunami en una zona de l'oceà de $4000\ \text{m}$ de profunditat, en $\text{m/s}$, i expressa-la en $\text{km/h}$.
2. b) Calcula el temps que trigaria a recórrer $2000\ \text{km}$ d'oceà obert a aquesta velocitat, en hores.
3. c) En apropar-se a la costa la profunditat disminueix: raona què li passa a la velocitat del tsunami i explica, per conservació de l'energia que transporta el tren d'ones, per què la seva alçària creix en arribar a la costa.

Les ones P ($7\ \text{km/s}$) i S ($4\ \text{km/s}$) d'un terratrèmol arriben a una estació sísmica amb una diferència de temps de $54\ \text{s}$.

1. a) Escriu l'expressió del temps de viatge de cada ona en funció de la distància $d$ a l'epicentre.
2. b) Planteja l'equació de la diferència de temps i calcula la distància $d$.
3. c) Explica per què les dades d'una sola estació no són suficients per localitzar l'epicentre i quina informació addicional aporta disposar de tres estacions (triangulació).

Dues cordes idèntiques d'una guitarra haurien d'emetre la mateixa nota, però les seves freqüències fonamentals resulten ser $440\ \text{Hz}$ i $430\ \text{Hz}$. La freqüència fonamental d'una corda és $f_1 = \frac{1}{2 \cdot L} \cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.

1. a) Raona si cal augmentar o disminuir la tensió de la corda que sona més greu per igualar-la amb l'altra.
2. b) Calcula en quin percentatge ha de variar la tensió d'aquesta corda, tenint en compte que la freqüència és proporcional a $\sqrt{T}$.
3. c) Explica per què una variació de tensió tan petita ja resulta perceptible per a l'oïda.

Després d'un gran terratrèmol, les estacions situades a l'altre costat del planeta, a més d'uns 103° de l'epicentre, no registren ones S. Les ones P tampoc no arriben directament a una franja intermèdia, l'anomenada «zona d'ombra» (aproximadament entre 103° i 143°), tot i que reapareixen més lluny després de travessar el nucli amb trajectòries corbades. L'esquema de la figura resumeix aquestes observacions.

1. a) Explica quina conclusió sobre l'estructura interna de la Terra es dedueix de l'absència d'ones S a la zona d'ombra.
2. b) Raona, relacionant-ho amb el seu caràcter transversal, per què les ones S no travessen el nucli extern fluid.
3. c) Les ones P canvien de velocitat en entrar al nucli i les seves trajectòries es corben: indica com s'anomena aquest fenomen i raona per què passa quan una ona canvia de medi.

Un sonar de recerca oceanogràfica ha de distingir objectes de $5\ \text{cm}$ sobre el fons marí; per a resoldre un detall es necessita una longitud d'ona de l'ordre de la mida de l'objecte o menor. El so viatja a l'aigua a $1500\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la freqüència mínima que ha d'utilitzar el sonar.
2. b) Si el fons es troba a $3000\ \text{m}$, calcula el temps que passa entre l'emissió del pols i la recepció del seu eco.
3. c) Un sonar de pesca convencional treballa a $20\ \text{kHz}$: calcula la seva longitud d'ona i raona si serviria per a distingir aquests objectes.

Un tub d'orgue obert pels dos extrems fa $0,85\ \text{m}$ i el so viatja per l'aire a $340\ \text{m/s}$. En un tub obert la longitud d'ona fonamental és $\lambda_1 = 2 \cdot L$. La figura representa el tub vibrant en el seu mode fonamental.

1. a) Calcula la freqüència fonamental del tub.
2. b) Calcula la freqüència del seu segon harmònic.
3. c) Si el mateix tub es tanqués per un extrem, la seva longitud d'ona fonamental passaria a ser $\lambda_1 = 4 \cdot L$: calcula la nova freqüència fonamental i raona per què el tub sona llavors més greu.

Dos altaveus separats uns metres emeten en fase el mateix to pur de $f = 170\ \text{Hz}$, que viatja per l'aire a $340\ \text{m/s}$. L'esquema de la figura mostra el muntatge amb un punt d'escolta P.

1. a) Calcula la longitud d'ona del so.
2. b) Un oient situat en un punt que dista el mateix dels dos altaveus sent el to amb intensitat forta: raona, a partir de la diferència de camins recorreguts per les dues ones, per què allà es reforcen.
3. c) En un altre punt les distàncies als altaveus són $5\ \text{m}$ i $4\ \text{m}$: calcula la diferència de camins, expressa-la en funció de $\lambda$ i raona què sent allà l'oient.
4. d) Enuncia la condició general, en funció de $\lambda$, que ha de complir la diferència de camins perquè el so es reforci i perquè es cancel·li.

En una corda fixa pels seus dos extrems se superposen dues ones harmòniques idèntiques que viatgen en sentits oposats, formant-se una ona estacionària.

1. a) Explica, per superposició de les dues ones, com apareixen punts que mai no oscil·len (nodes) i punts que oscil·len amb amplitud màxima (ventres).
2. b) La corda fa $1\ \text{m}$ i vibra formant tres ventres amb una freqüència de $150\ \text{Hz}$: calcula la longitud d'ona i la velocitat de propagació de les ones que viatgen per la corda.
3. c) Raona en què es diferencia una ona estacionària d'una ona viatgera pel que fa al transport net d'energia al llarg de la corda.

Repte del tema. Com a futur investigador, modelitza experimentalment la propagació d'una ona mecànica transversal en una corda o cable tens a casa.

1. Classifica el tipus d'ona segons el medi, dimensionalitat i direcció de propagació. Justifica analíticament com el MAS d'un punt individual engendra l'equació general $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi_0)$.

2. Mesura amb cinta mètrica la longitud útil ($L \pm 0,001\text{ m}$). Genera polsos transversals secs i cronometra amb el mòbil, enregistrant a càmera lenta i comptant fotogrames, el temps ($t \pm 0,01\text{ s}$) d'anada i tornada per a 4 longituds diferents, efectuant 3 repeticions per assaig.

3. Construeix una taula amb mitjanes i incerteses absolutes. Representa la gràfica de distància recorreguda enfront de temps mitjà i obtén, mitjançant el pendent de la recta, la velocitat de propagació $v$.

4. Elabora un informe breu que reculli les dades, la gràfica i la deducció dels paràmetres $\omega$, $k$ i $\lambda$ per escriure l'equació d'ona completa resultant de pertorbar l'extrem amb $A = 0,04\text{ m}$, $f = 2,5\text{ Hz}$ i fase inicial nul·la ($\varphi_0 = 0$).

Es valorarà:

• Rigor en la classificació ondulatòria i justificació formal del vincle cinemàtic amb el MAS.

• Tractament metrològic: correcció de la taula de dades, càlcul d'incerteses i ajust gràfic per deduir $v$.

• Determinació analítica exacta de l'equació $y(x,t)$ expressada en unitats del Sistema Internacional.