Exercicis: Naturalesa de la llum: ona electromagnètica i espectre

Al llarg de la història s'han enfrontat dos models sobre la naturalesa de la llum: el model corpuscular, defensat per Newton a finals del segle XVII, i el model ondulatori, proposat pel seu contemporani Huygens.

Relaciona cada afirmació amb el model al qual pertany:

1. a) La llum està formada per petites partícules que viatgen en línia recta.
2. b) La llum es propaga com una pertorbació ondulatòria, de manera semblant a les ones a la superfície de l'aigua.
3. c) La reflexió s'explica com el rebot de partícules contra una superfície polida.
4. d) La llum hauria de mostrar fenòmens propis de les ones, com la difracció i les interferències.

Una emissora de ràdio emet en FM en la freqüència $f = 98,5\ \text{MHz}$. Les ones de ràdio són ones electromagnètiques que viatgen pel buit a $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Expressa la freqüència en hertzs, en notació científica.
2. b) Calcula la longitud d'ona del senyal aplicant $c = \lambda \cdot f$.

Un punter làser violeta emet llum de longitud d'ona $\lambda = 400\ \text{nm}$ (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Expressa la longitud d'ona en metres, en notació científica.
2. b) Calcula la freqüència d'aquesta llum.

Segons la teoria de Maxwell, la llum és una ona electromagnètica. La figura representa un instant d'aquesta ona propagant-se en el buit.

1. a) Indica quins dos camps oscil·len, perpendiculars entre si i a la direcció de propagació, en una ona electromagnètica.
2. b) Explica la diferència fonamental entre la propagació de la llum i la del so: quina de les dues necessita un medi material i quina pot viatjar pel buit? Posa un exemple astronòmic que ho posi de manifest.

Ordena les bandes següents de l'espectre electromagnètic de menor a major longitud d'ona: microones, raigs X, llum visible, ones de ràdio, radiació ultraviolada, radiació infraroja.

Indica després quina d'aquestes té la freqüència més alta i quina la més baixa, i quina relació general hi ha entre longitud d'ona i freqüència.

Els astronautes de les missions Apol·lo van deixar a la Lluna miralls retroreflectors. Des d'un observatori terrestre s'envia un pols làser que s'hi reflecteix i torna. La distància Terra-Lluna és $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ i la llum viatja a $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el temps que triga el pols a arribar a la Lluna.
2. b) Calcula el temps total d'anada i tornada que mesura l'observatori.

Maxwell va predir el 1865 que la llum és una ona electromagnètica i que la seva velocitat en el buit només depèn de dues constants de l'electromagnetisme: $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \cdot \mu_0}}$. Dades: $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \text{C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2$ i $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N/A}^2$.

1. a) Calcula el valor de $c$ que s'obté a partir d'aquestes dades.
2. b) Compara'l amb el valor acceptat, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, i explica per què aquest acord va ser una prova decisiva que la llum és una ona electromagnètica.

La llum visible comprèn colors des del vermell ($\lambda \approx 700\ \text{nm}$) fins al violeta ($\lambda \approx 400\ \text{nm}$) (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la freqüència de la llum vermella i la de la llum violeta.
2. b) Quantes vegades més gran és la freqüència del violeta que la del vermell? Expressa el resultat amb dues xifres significatives.

Els radiotelescopis estudien l'univers a través de la línia de $21\ \text{cm}$ que emet l'hidrogen neutre del medi interestel·lar (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Expressa $21\ \text{cm}$ en metres i calcula la freqüència d'aquesta radiació, en hertzs i en gigahertzs.
2. b) Indica a quina banda de l'espectre electromagnètic pertany i raona un avantatge d'observar el cosmos en aquesta banda enfront de la llum visible.

Un router domèstic emet WiFi en dues bandes: $2,4\ \text{GHz}$ i $5\ \text{GHz}$ (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). La figura mostra el que li passa a una ona en arribar a un obstacle amb una obertura.

1. a) Calcula la longitud d'ona de cada banda i expressa-la en centímetres.
2. b) A la pràctica, la banda de $2,4\ \text{GHz}$ travessa millor parets i mobles. Raona, a partir de les longituds d'ona calculades i del fenomen de la difracció, per què el senyal de major longitud d'ona esquiva millor els obstacles.

En una radiografia s'empren raigs X de longitud d'ona $\lambda = 0,05\ \text{nm}$ (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Expressa la longitud d'ona en metres, en notació científica.
2. b) Calcula la freqüència d'aquests raigs X.
3. c) Compara aquesta longitud d'ona amb la de la llum visible ($\lambda \approx 500\ \text{nm}$) i explica per què els raigs X travessen teixits tous que la llum no travessa.

El LED d'un comandament a distància emet radiació infraroja de $\lambda = 940\ \text{nm}$ (dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; l'ull humà detecta radiacions entre $380\ \text{nm}$ i $750\ \text{nm}$). La figura situa l'emissió del LED en l'espectre.

1. a) Calcula la seva freqüència.
2. b) Raona, comparant longituds d'ona amb el rang visible, per què no veiem el flaix del LED encara que la càmera del telèfon mòbil sí que el registra a la pantalla.

Un satèl·lit de telecomunicacions geoestacionari orbita a $36000\ \text{km}$ sobre l'equador. Una videotrucada transcontinental envia el senyal fins al satèl·lit i aquest el reenvia a l'estació receptora a la superfície (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). Observa l'esquema:

1. a) Expressa l'alçària del satèl·lit en metres, en notació científica.
2. b) Calcula el temps mínim que triga el senyal a pujar al satèl·lit i baixar a l'estació receptora.
3. c) Explica quin efecte produeix aquest retard en una conversa en directe i per què amb prou feines es percep quan el senyal viatja per cable submarí.

L'espectre visible s'estén, aproximadament, des de $\lambda = 380\ \text{nm}$ (violeta) fins a $\lambda = 750\ \text{nm}$ (vermell) (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el rang de freqüències de l'espectre visible, en notació científica.
2. b) Indica quin color correspon a l'extrem de major freqüència i quin al de menor, i escriu la relació general entre longitud d'ona i freqüència per a qualsevol ona electromagnètica en el buit.

Una làmpada germicida d'hospital emet radiació ultraviolada de $\lambda = 254\ \text{nm}$ (banda UVC), mentre que una làmpada de «llum negra» emet $\lambda = 365\ \text{nm}$ (banda UVA) (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la freqüència de cada radiació.
2. b) La UVC destrueix el material genètic de bacteris i virus, mentre que la UVA és molt menys agressiva. Relaciona aquest comportament amb les freqüències calculades i amb la posició de cada banda dins de l'espectre electromagnètic.

Un forn microones escalfa els aliments amb ones electromagnètiques de $f = 2,45\ \text{GHz}$ (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). Observa l'esquema de la porta:

1. a) Calcula la seva longitud d'ona i expressa-la en centímetres.
2. b) La porta del forn porta una reixeta metàl·lica amb forats d'uns $2\ \text{mm}$: podem veure l'interior, però les microones no s'escapen. Justifica-ho comparant la mida dels forats amb la longitud d'ona de les microones i amb la de la llum visible ($\lambda \approx 500\ \text{nm}$).

El debat sobre la naturalesa de la llum va durar més de dos segles i va marcar la història de la física. La figura esquematitza l'experiment de la doble escletxa de Young descrit a l'apartat b).

1. a) Resumeix en què consistien el model corpuscular de Newton i el model ondulatori de Huygens, i indica un fenomen òptic que tots dos models sabien explicar.
2. b) El 1801 Young va presentar el seu experiment de la doble escletxa: en travessar la llum dues escletxes properes va aparèixer sobre la pantalla un patró de franges brillants i fosques alternades. Explica quin fenomen ondulatori revela aquest patró i per què va resultar decisiu en contra del model corpuscular.
3. c) Què va demostrar Maxwell el 1865 sobre el tipus d'ona que és la llum, i què va predir sobre la seva velocitat en el buit?
4. d) Al començament del segle XX, l'efecte fotoelèctric, interpretat per Einstein el 1905, només es va poder explicar admetent que la llum intercanvia energia en paquets discrets, els fotons. Formula amb les teves paraules la dualitat ona-corpuscle amb la qual la física actual descriu la llum.

El 1849 Fizeau va mesurar per primera vegada la velocitat de la llum a la superfície terrestre amb una roda dentada. Un feix de llum passava pel buit entre dues dents, recorria $d = 8,63\ \text{km}$ fins a un mirall i tornava; si en tornar trobava una dent en lloc del buit, el feix desapareixia de la vista de l'observador. La roda tenia $720$ dents i $720$ buits iguals (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). Observa el muntatge:

1. a) Calcula el temps que triga la llum a anar i tornar al mirall.
2. b) El primer eclipsi té lloc quan, durant aquest temps, la roda gira mitja divisió, és a dir, $1/1440$ de volta. Calcula a quantes voltes per segon ha de girar la roda per produir-lo i expressa-ho també en revolucions per minut.
3. c) Comenta què fa enginyós aquest mètode: quina magnitud es mesura directament amb la roda i com s'evita cronometrar un temps de milionèsimes de segon?

La física quàntica va tancar el debat històric: la llum intercanvia energia en paquets anomenats fotons, cadascun amb energia $E = h \cdot f$ (dada: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$).

1. a) Calcula l'energia d'un fotó d'una emissora de ràdio que emet en $f = 100\ \text{MHz}$.
2. b) Calcula l'energia d'un fotó de raigs X de $f = 3\cdot10^{18}\ \text{Hz}$.
3. c) Calcula quantes vegades és més energètic el fotó de raigs X que el de ràdio i utilitza aquest factor per justificar dos fets: convivim envoltats d'ones de ràdio sense patir danys per ionització, mentre que les radiografies es fan amb dosis controlades i protecció de plom.

El sistema GPS posiciona un receptor mesurant el temps que triga a arribar el senyal electromagnètic de cada satèl·lit, que orbita a $20200\ \text{km}$ d'alçària (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el temps que triga el senyal a arribar des del satèl·lit fins al receptor.
2. b) Si el rellotge del receptor acumula un error de $30\ \text{ns}$, calcula l'error en la distància que aquest desfasament introdueix, aplicant $\Delta x = c \cdot \Delta t$.
3. c) En vista del resultat, justifica per què els satèl·lits GPS porten rellotges atòmics amb precisió de nanosegons i descriu què li passaria a la precisió del posicionament si fessin servir rellotges de quars corrents.

Un radar meteorològic emet polsos de microones de $f = 2,8\ \text{GHz}$ que es reflecteixen en les gotes de pluja. L'eco procedent d'una tempesta torna $0,50\ \text{ms}$ després d'haver emès el pols (dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula a quina distància es troba la tempesta, tenint en compte que el pols recorre dues vegades aquesta distància.
2. b) Calcula la longitud d'ona del radar.
3. c) Les gotes de pluja mesuren uns pocs mil·límetres. Raona per què per detectar precipitació a desenes de quilòmetres s'empren microones i no pas llum visible, considerant com interactua cada radiació amb els núvols.

El color d'un estel revela la seva temperatura superficial: l'espectre d'un cos calent assoleix el seu màxim d'emissió en una longitud d'ona donada per la llei de Wien, $\lambda_{max} \cdot T = 2,9\cdot10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$, amb la temperatura $T$ en kèlvins. La gràfica mostra la corba d'emissió del Sol.

1. a) El Sol té una temperatura superficial de $5800\ \text{K}$. Calcula en quina longitud d'ona emet amb màxima intensitat, expressa-la en nanòmetres i indica a quina banda de l'espectre pertany.
2. b) Betelgeuse, la supergegant vermella d'Orió, té una temperatura superficial d'uns $3300\ \text{K}$. Repeteix el càlcul i explica per què la veiem vermellosa.
3. c) Prediu, aplicant la llei, el color dominant d'un estel de $10000\ \text{K}$ i justifica-ho a partir de la posició del seu màxim d'emissió en l'espectre.

A les proximitats d'una antena emissora, l'ona electromagnètica té un camp elèctric màxim $E_{max} = 300\ \text{V/m}$ i freqüència $f = 90\ \text{MHz}$ (dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; en una ona electromagnètica $E = c \cdot B$).

1. a) Calcula el valor màxim del camp magnètic, $B_{max}$.
2. b) Calcula la longitud d'ona del senyal.
3. c) Representa al teu quadern l'ona en un instant: marca la direcció de propagació i les orientacions de $\vv{E}$ i $\vv{B}$, sabent que són perpendiculars entre si i a la direcció de propagació, i que aquesta última és la del producte vectorial $\vv{E} \wedge \vv{B}$.

Andròmeda, la gran galàxia més propera a la Via Làctia, és a $2,5$ milions d'anys llum (dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; un any $\approx 3,16\cdot10^{7}\ \text{s}$).

1. a) Calcula quants metres fa un any llum.
2. b) Expressa la distància a Andròmeda en metres i en quilòmetres, en notació científica.
3. c) La llum d'Andròmeda que capten avui els telescopis va sortir de la galàxia molt abans que existís l'ésser humà modern. Explica per què observar objectes llunyans equival a «mirar al passat» i per què els astrònoms prefereixen expressar aquestes distàncies en anys llum.

Repte del tema. Com es propaga l'energia invisible que t'envolta? La teva missió és caracteritzar l'espectre electromagnètic connectant la teva cuina amb la radiació solar de la teva localitat.

1. Mesura experimental: Retira el plat giratori del teu microones i escalfa una tira de formatge o xocolata durant uns $20\text{ s}$ fins a veure punts fosos contigus. Mesura amb regle ($\pm 0,1\text{ cm}$) la distància internodal ($\lambda/2$) en quatre repeticions. Registra les dades en una taula amb les seves incerteses i calcula $c = \lambda \cdot f$ a partir de la freqüència indicada a l'etiqueta ($f \approx 2450\text{ MHz}$).

2. Consulta oficial: Entra al web de l'AEMET i obtén l'índex ultraviolat (UVI) i la irradiancia solar màxima d'avui a la teva província, identificant la $\lambda$ representativa del rang UV-B.

3. Tractament i producte final: Traça una gràfica que mostri la dispersió dels teus valors de $c$, determina el valor mitjà amb la seva incertesa i calcula l'error relatiu respecte a $3,00 \times 10^8\text{ m/s}$. Redacta un informe breu que contrasti l'energia ($E = h \cdot f$) d'un fotó de microones amb un de solar UV.

Es valorarà:

• Rigor en la presa de dades casolanes, estimació d'incerteses i qualitat de la taula i gràfica.

• Correcció conceptual en el càlcul de paràmetres de l'ona ($c = \lambda \cdot f$) i l'energia fotònica ($E = h \cdot f$).

• Anàlisi crítica dels resultats experimentals enfront del valor teòric i les dades de l'AEMET.