Exercicis: Canvis per desplaçament d'emissor i receptor (efecte Doppler)

Una ambulància amb la sirena encesa s'acosta a un vianant, l'avança i se n'allunya.

1. a) Descriu com canvia el to que percep el vianant en acostar-se i en allunyar-se l'ambulància (més agut o més greu).
2. b) Explica el canvi amb la compressió i l'eixamplament dels fronts d'ona, ajudant-te d'un dibuix al teu quadern.
3. c) Canvia la freqüència que emet realment la sirena? Distingeix entre freqüència emesa i freqüència percebuda.

Quan una font s'acosta a un observador en repòs, aquest percep la freqüència $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$ (fórmula donada; velocitat del so a l'aire: $v = 340\ \text{m/s}$).

Una ambulància emet a $500\ \text{Hz}$ i s'acosta a un vianant a $20\ \text{m/s}$. Calcula la freqüència percebuda pel vianant.

Quan la font s'allunya d'un observador en repòs, la fórmula és $f' = f \cdot \frac{v}{v + v_f}$ (fórmula donada; $v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Amb la mateixa ambulància d'abans ($f = 500\ \text{Hz}$, $v_f = 20\ \text{m/s}$), calcula la freqüència percebuda durant l'allunyament.
2. b) Comprova que és menor que la freqüència emesa i explica-ho qualitativament amb l'espaiat dels fronts d'ona.

Quan l'observador es mou cap a una font en repòs, la fórmula és $f' = f \cdot \frac{v + v_0}{v}$ (fórmula donada; $v = 340\ \text{m/s}$).

Un ciclista circula a $10\ \text{m/s}$ cap a un altaveu que emet un to de $600\ \text{Hz}$. La figura mostra la situació.

Calcula la freqüència que percep el ciclista.

En els espectres de galàxies llunyanes, les línies d'absorció de l'hidrogen apareixen desplaçades cap a longituds d'ona més grans que les mesurades al laboratori.

1. a) Com s'anomena aquest desplaçament i què indica sobre el moviment de la galàxia respecte a la Terra?
2. b) Relaciona l'observació generalitzada d'aquest fenomen amb l'expansió de l'univers.
3. c) Raona per què l'efecte Doppler lumínic no necessita medi material, a diferència de l'efecte Doppler sonor.

La línia H$\alpha$ de l'hidrogen es mesura al laboratori a $\lambda_0 = 656,3\ \text{nm}$ i en l'espectre d'una galàxia apareix a $\lambda' = 662,0\ \text{nm}$. La figura mostra totes dues mesures.

El desplaçament cap al vermell es defineix com a $z = \frac{\lambda' - \lambda_0}{\lambda_0}$ (fórmula donada).

Calcula $z$ i interpreta'n el signe en termes d'acostament o allunyament.

Sense fer càlculs, indica en cada cas si la freqüència percebuda és més gran, més petita o igual que l'emesa, i raona la resposta:

1. a) Un tren que s'acosta a l'estació xiulant.
2. b) El mateix tren allunyant-se de l'estació.
3. c) Un vianant que corre cap a una sirena fixa.
4. d) Una galàxia que s'allunya de la Terra.
5. e) Font i observador en repòs relatiu.

Un radar de trànsit emet microones que es reflecteixen en els vehicles i tornen a l'aparell. L'esquema mostra l'emissió i l'eco.

1. a) Explica els dos efectes Doppler successius que pateix l'ona: el cotxe com a «observador» que rep el senyal i com a «font» que reemet l'eco.
2. b) Raona per què l'eco torna amb més freqüència si el cotxe s'acosta al radar.
3. c) Quin fenomen ondulatori fa possible que el senyal torni al radar?

Una ambulància emet a $700\ \text{Hz}$ i circula a $90\ \text{km/h}$ (velocitat del so: $v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Expressa la velocitat de l'ambulància en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la freqüència percebuda per un vianant en repòs durant l'aproximació, amb $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$.
3. c) Calcula-la durant l'allunyament, amb $f' = f \cdot \frac{v}{v + v_f}$.

Un radar de trànsit emet microones de $f = 2,4 \cdot 10^{10}\ \text{Hz}$. Per a velocitats molt menors que la de la llum, el canvi de freqüència de l'eco és $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula donada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Un cotxe que s'acosta retorna un eco amb $\Delta f = 4 \cdot 10^{3}\ \text{Hz}$.

1. a) Aïlla la velocitat del cotxe de la fórmula i calcula-la en $\text{m/s}$.
2. b) Expressa-la en $\text{km/h}$.

Per a velocitats petites enfront de la de la llum, el desplaçament cap al vermell compleix $z \approx \frac{v}{c}$ (fórmula donada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Una galàxia presenta $z = 0,02$.

1. a) Calcula la seva velocitat en $\text{m/s}$ i en $\text{km/s}$.
2. b) Indica si la galàxia s'acosta o s'allunya de nosaltres, justificant-ho amb el signe de $z$.

Si es mouen alhora la font i l'observador acostant-se entre si, la freqüència percebuda és $f' = f \cdot \frac{v + v_0}{v - v_f}$ (fórmula donada; $v = 340\ \text{m/s}$).

Un tren emet un xiulet de $400\ \text{Hz}$ acostant-se a $30\ \text{m/s}$ mentre un ciclista pedala a $10\ \text{m/s}$ cap a ell. La figura mostra la situació.

Calcula la freqüència que percep el ciclista.

En una ecografia Doppler d'un vas sanguini, el canvi de freqüència de l'eco és $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v_{\text{sang}}}{v}$ (fórmula donada; velocitat del so en el teixit: $v = 1540\ \text{m/s}$). La sonda emet a $5\ \text{MHz}$ i la sang es mou a $0,3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula $\Delta f$.
2. b) Compara el resultat amb l'interval d'audició humana ($20\ \text{Hz}$ a $20\ \text{kHz}$) i raona per què l'equip converteix aquest desplaçament en un to audible per al metge.

Un cotxe amb l'alarma sonant a $800\ \text{Hz}$ passa per davant d'una persona en repòs circulant a $20\ \text{m/s}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la freqüència percebuda durant l'aproximació.
2. b) Calcula la freqüència percebuda durant l'allunyament.
3. c) Determina la caiguda brusca de freqüència que es percep just en l'instant en què el cotxe passa.

La sirena d'una moto d'emergències emet a $850\ \text{Hz}$ i, en acostar-se, un vianant percep $920\ \text{Hz}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Aïlla $v_f$ de l'expressió $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$.
2. b) Calcula la velocitat de la moto en $\text{m/s}$ i expressa-la en $\text{km/h}$.

El Sol gira sobre el seu eix: la seva vora oriental s'acosta a nosaltres a $2\ \text{km/s}$ i l'occidental se n'allunya a la mateixa velocitat. La figura esquematitza la rotació solar.

Per a velocitats petites es compleix $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula donada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el desplaçament $\Delta \lambda$ de la línia de $\lambda = 589\ \text{nm}$ en la llum procedent de cada vora, en nanòmetres.
2. b) Determina la diferència de longitud d'ona entre les línies de totes dues vores, que és el que mesuren els espectrògrafs per estudiar la rotació solar.

Una ambulància emet a $600\ \text{Hz}$ i circula a $72\ \text{km/h}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula les freqüències percebudes per un vianant en repòs durant l'aproximació i durant l'allunyament.
3. c) Determina la caiguda de freqüència que es percep just en passar i explica amb ella el característic canvi de to de les sirenes en avançar-nos.
4. d) Dibuixa al teu quadern els fronts d'ona d'una font en moviment i assenyala on s'acumulen i on se separen.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un radar de la DGT emet a $1,0 \cdot 10^{10}\ \text{Hz}$ i mesura l'eco dels vehicles amb $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula donada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el $\Delta f$ que produeix un cotxe que s'acosta a $144\ \text{km/h}$ ($40\ \text{m/s}$).
2. b) En un tram limitat a $120\ \text{km/h}$, raona si aquest vehicle comet una infracció.
3. c) Explica l'origen del factor $2$ de la fórmula (doble efecte Doppler en l'anada i en la tornada de l'eco) i per què el radar ha de mesurar freqüències amb una precisió extraordinària.

La línia H$\alpha$ de l'hidrogen ($\lambda_0 = 656,3\ \text{nm}$ al laboratori) s'observa en l'espectre d'una galàxia a $\lambda' = 678,9\ \text{nm}$ (dades: $z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$; $v \approx z \cdot c$; llei de Hubble $v = H_0 \cdot d$, amb $H_0 = 70\ \text{km/s}$ per $\text{Mpc}$; $c = 3 \cdot 10^{5}\ \text{km/s}$).

1. a) Calcula el desplaçament cap al vermell $z$ de la galàxia.
2. b) Calcula la seva velocitat en $\text{km/s}$.
3. c) Calcula la seva distància en $\text{Mpc}$.
4. d) Explica quina conseqüència cosmològica es dedueix del fet que les galàxies llunyanes presentin sistemàticament $z > 0$.

Davant d'una font en moviment, la freqüència percebuda és $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$ (fórmula donada; $v = 340\ \text{m/s}$). El nombre de Mach és el quocient entre la velocitat d'un avió i la velocitat del so. La figura mostra els fronts d'ona d'una font que es mou gairebé a la velocitat del so.

1. a) Calcula $f'$ per a un avió a Mach $0,9$ ($v_f = 306\ \text{m/s}$) el motor del qual emet un soroll de $1000\ \text{Hz}$.
2. b) Analitza què passa amb el denominador de la fórmula i amb $f'$ quan $v_f$ tendeix a $v$ (Mach $1$).
3. c) Relaciona-ho amb l'ona de xoc i l'estampit sònic: explica per què un observador a terra no sent acostar-se un avió supersònic fins que aquest ja l'ha sobrepassat.

El mètode de velocitat radial detecta exoplanetes pel tentineig que provoquen en la seva estrella: les línies espectrals oscil·len periòdicament amb $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula donada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). En la línia de $\lambda = 656,3\ \text{nm}$ d'una estrella es mesura una oscil·lació màxima $\Delta \lambda = 1,3 \cdot 10^{-4}\ \text{nm}$. L'esquema mostra el tentineig de l'estrella.

1. a) Expressa totes dues longituds en metres i calcula la velocitat màxima de l'estrella.
2. b) Explica per què aquesta oscil·lació periòdica delata un planeta invisible que obliga l'estrella a orbitar el centre de masses comú del sistema.
3. c) Raona quina informació addicional sobre el planeta aportaria el període de l'oscil·lació.

Un radar meteorològic emet a $5,6 \cdot 10^{9}\ \text{Hz}$ i mesura l'eco de les gotes de pluja amb $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula donada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula $\Delta f$ per a gotes que s'allunyen del radar a $15\ \text{m/s}$.
2. b) Indica si l'eco torna amb més o menys freqüència que l'emesa i justifica-ho.
3. c) Explica com, escombrant el feix en diferents direccions, el radar reconstrueix un mapa del vent a l'interior d'una tempesta.

Un satèl·lit en òrbita baixa transmet a $f = 2,2\ \text{GHz}$ i es mou a $7,6\ \text{km/s}$ respecte a l'estació terrestre. Per a $v \ll c$ es compleix $\frac{\Delta f}{f} = \frac{v}{c}$ (fórmula donada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el desplaçament màxim $\Delta f$, expressat en $\text{kHz}$.
2. b) Determina l'interval de freqüències que l'estació ha d'escombrar durant un pas complet, amb el satèl·lit primer acostant-se i després allunyant-se.
3. c) Raona per què els receptors de satèl·lits han de reajustar la sintonia contínuament durant cada pas.

Una ratapinyada vola a $6\ \text{m/s}$ cap a una falena en repòs emetent ultrasons de $80\ \text{kHz}$ ($v = 340\ \text{m/s}$). L'esquema mostra l'emissió i l'eco.

1. a) Calcula la freqüència que «rep» la falena, amb $f_1 = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$.
2. b) L'eco reflectit es comporta com si la falena fos una font en repòs de freqüència $f_1$ i la ratapinyada un observador que s'acosta a $6\ \text{m/s}$: calcula la freqüència final que sent la ratapinyada, $f_2 = f_1 \cdot \frac{v + v_0}{v}$.
3. c) Compara $f_2$ amb la freqüència emesa $f$ i raona per què aquest doble efecte Doppler facilita la detecció de preses.
4. d) Prediu qualitativament com canviaria $f_2$ si la falena també es mogués, fugint de la ratapinyada o anant a la seva trobada.

Repte del tema. Com condiciona la física ondulatòria l'acústica del teu entorn? Dissenya una auditoria sonora casolana seguint aquestes fases:

1. Consulta a l'AEMET la temperatura ambiental ($T$) de la teva localitat per calcular la velocitat teòrica del so: $v = 331,5 + 0,6 \cdot T\text{ m/s}$. Mesura amb el mòbil el retard de l'eco davant d'un mur a distància coneguda ($d \pm \Delta d$) realitzant cinc preses. Tabula les dades ($t \pm \Delta t$) i obtén $v_{\text{exp}} \pm \Delta v$.

2. Amb una app gratuïta d'àudio (com ara Phyphox), mesura la freqüència fonamental i el nivell d'intensitat en $\text{dB}$ d'un emissor constant. Analitza les qualitats del so i la seva atenuació després d'interposar diversos materials domèstics (absorció i reflexió).

3. Grava el pas d'un vehicle o d'una bicicleta amb timbre continu a velocitat constant emetent un to $f_0$. Extreu de l'espectrograma les freqüències rebudes en aproximació i allunyament. Calcula amb l'equació de l'efecte Doppler la velocitat de l'emissor i representa les corbes teòriques de $f'$ enfront de la velocitat de l'emissor (aproximació i allunyament), situant-hi els teus valors mesurats.

4. Redacta un informe breu integrant les teves gràfiques, conclusions físiques i una proposta justificada per mitigar el soroll urbà a la teva zona.

Es valorarà:

• Rigor en el tractament experimental de dades, càlcul d'incerteses i qualitat de la taula i gràfica.

• Aplicació correcta dels models teòrics de qualitats sonores, propagació i efecte Doppler.

• Coherència científica de l'informe i viabilitat de les solucions acústiques proposades.