Ejercicios: Cambios por desplazamiento de emisor y receptor (efecto Doppler)

Una ambulancia con la sirena encendida se acerca a un peatón, lo adelanta y se aleja.

1. a) Describe cómo cambia el tono que percibe el peatón al acercarse y al alejarse la ambulancia (más agudo o más grave).
2. b) Explica el cambio con la compresión y el ensanchamiento de los frentes de onda, ayudándote de un dibujo en tu cuaderno.
3. c) ¿Cambia la frecuencia que emite realmente la sirena? Distingue entre frecuencia emitida y frecuencia percibida.

Cuando una fuente se acerca a un observador en reposo, este percibe la frecuencia $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$ (fórmula dada; velocidad del sonido en el aire: $v = 340\ \text{m/s}$).

Una ambulancia emite a $500\ \text{Hz}$ y se acerca a un peatón a $20\ \text{m/s}$. Calcula la frecuencia percibida por el peatón.

Cuando la fuente se aleja de un observador en reposo, la fórmula es $f' = f \cdot \frac{v}{v + v_f}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Con la misma ambulancia de antes ($f = 500\ \text{Hz}$, $v_f = 20\ \text{m/s}$), calcula la frecuencia percibida durante el alejamiento.
2. b) Comprueba que es menor que la frecuencia emitida y explícalo cualitativamente con el espaciado de los frentes de onda.

Cuando el observador se mueve hacia una fuente en reposo, la fórmula es $f' = f \cdot \frac{v + v_0}{v}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$).

Un ciclista circula a $10\ \text{m/s}$ hacia un altavoz que emite un tono de $600\ \text{Hz}$. La figura muestra la situación.

Calcula la frecuencia que percibe el ciclista.

En los espectros de galaxias lejanas, las líneas de absorción del hidrógeno aparecen desplazadas hacia longitudes de onda mayores que las medidas en el laboratorio.

1. a) ¿Cómo se denomina este desplazamiento y qué indica sobre el movimiento de la galaxia respecto a la Tierra?
2. b) Relaciona la observación generalizada de este fenómeno con la expansión del universo.
3. c) Razona por qué el efecto Doppler lumínico no necesita medio material, a diferencia del efecto Doppler sonoro.

La línea H$\alpha$ del hidrógeno se mide en el laboratorio a $\lambda_0 = 656,3\ \text{nm}$ y en el espectro de una galaxia aparece a $\lambda' = 662,0\ \text{nm}$. La figura muestra ambas medidas.

El corrimiento al rojo se define como $z = \frac{\lambda' - \lambda_0}{\lambda_0}$ (fórmula dada).

Calcula $z$ e interpreta su signo en términos de acercamiento o alejamiento.

Sin hacer cálculos, indica en cada caso si la frecuencia percibida es mayor, menor o igual que la emitida, y razona la respuesta:

1. a) Un tren que se acerca a la estación pitando.
2. b) El mismo tren alejándose de la estación.
3. c) Un peatón que corre hacia una sirena fija.
4. d) Una galaxia que se aleja de la Tierra.
5. e) Fuente y observador en reposo relativo.

Un radar de tráfico emite microondas que se reflejan en los vehículos y regresan al aparato. El esquema muestra la emisión y el eco.

1. a) Explica los dos efectos Doppler sucesivos que sufre la onda: el coche como «observador» que recibe la señal y como «fuente» que reemite el eco.
2. b) Razona por qué el eco regresa con mayor frecuencia si el coche se acerca al radar.
3. c) ¿Qué fenómeno ondulatorio hace posible que la señal regrese al radar?

Una ambulancia emite a $700\ \text{Hz}$ y circula a $90\ \text{km/h}$ (velocidad del sonido: $v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Expresa la velocidad de la ambulancia en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la frecuencia percibida por un peatón en reposo durante la aproximación, con $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$.
3. c) Calcúlala durante el alejamiento, con $f' = f \cdot \frac{v}{v + v_f}$.

Un radar de tráfico emite microondas de $f = 2,4 \cdot 10^{10}\ \text{Hz}$. Para velocidades muy menores que la de la luz, el cambio de frecuencia del eco es $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Un coche que se acerca devuelve un eco con $\Delta f = 4 \cdot 10^{3}\ \text{Hz}$.

1. a) Despeja la velocidad del coche de la fórmula y calcúlala en $\text{m/s}$.
2. b) Exprésala en $\text{km/h}$.

Para velocidades pequeñas frente a la de la luz, el corrimiento al rojo cumple $z \approx \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Una galaxia presenta $z = 0,02$.

1. a) Calcula su velocidad en $\text{m/s}$ y en $\text{km/s}$.
2. b) Indica si la galaxia se acerca o se aleja de nosotros, justificándolo con el signo de $z$.

Si se mueven a la vez la fuente y el observador acercándose entre sí, la frecuencia percibida es $f' = f \cdot \frac{v + v_0}{v - v_f}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$).

Un tren emite un pitido de $400\ \text{Hz}$ acercándose a $30\ \text{m/s}$ mientras un ciclista pedalea a $10\ \text{m/s}$ hacia él. La figura muestra la situación.

Calcula la frecuencia que percibe el ciclista.

En una ecografía Doppler de un vaso sanguíneo, el cambio de frecuencia del eco es $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v_{\text{sangre}}}{v}$ (fórmula dada; velocidad del sonido en el tejido: $v = 1540\ \text{m/s}$). La sonda emite a $5\ \text{MHz}$ y la sangre se mueve a $0,3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula $\Delta f$.
2. b) Compara el resultado con el rango de audición humana ($20\ \text{Hz}$ a $20\ \text{kHz}$) y razona por qué el equipo convierte ese desplazamiento en un tono audible para el médico.

Un coche con la alarma sonando a $800\ \text{Hz}$ pasa por delante de una persona en reposo circulando a $20\ \text{m/s}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la frecuencia percibida durante la aproximación.
2. b) Calcula la frecuencia percibida durante el alejamiento.
3. c) Determina la caída brusca de frecuencia que se percibe justo en el instante en que el coche pasa.

La sirena de una moto de emergencias emite a $850\ \text{Hz}$ y, al acercarse, un peatón percibe $920\ \text{Hz}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Despeja $v_f$ de la expresión $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$.
2. b) Calcula la velocidad de la moto en $\text{m/s}$ y exprésala en $\text{km/h}$.

El Sol gira sobre su eje: su borde oriental se acerca a nosotros a $2\ \text{km/s}$ y el occidental se aleja a la misma velocidad. La figura esquematiza la rotación solar.

Para velocidades pequeñas se cumple $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el desplazamiento $\Delta \lambda$ de la línea de $\lambda = 589\ \text{nm}$ en la luz procedente de cada borde, en nanómetros.
2. b) Determina la diferencia de longitud de onda entre las líneas de ambos bordes, que es lo que miden los espectrógrafos para estudiar la rotación solar.

Una ambulancia emite a $600\ \text{Hz}$ y circula a $72\ \text{km/h}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Expresa la velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula las frecuencias percibidas por un peatón en reposo durante la aproximación y durante el alejamiento.
3. c) Determina la caída de frecuencia que se percibe justo al pasar y explícale con ella el característico cambio de tono de las sirenas al adelantarnos.
4. d) Dibuja en tu cuaderno los frentes de onda de una fuente en movimiento y señala dónde se acumulan y dónde se separan.

Un radar de la DGT emite a $1,0 \cdot 10^{10}\ \text{Hz}$ y mide el eco de los vehículos con $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el $\Delta f$ que produce un coche que se acerca a $144\ \text{km/h}$ ($40\ \text{m/s}$).
2. b) En un tramo limitado a $120\ \text{km/h}$, razona si este vehículo comete una infracción.
3. c) Explica el origen del factor $2$ de la fórmula (doble efecto Doppler en la ida y en la vuelta del eco) y por qué el radar debe medir frecuencias con una precisión extraordinaria.

La línea H$\alpha$ del hidrógeno ($\lambda_0 = 656,3\ \text{nm}$ en el laboratorio) se observa en el espectro de una galaxia a $\lambda' = 678,9\ \text{nm}$ (datos: $z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$; $v \approx z \cdot c$; ley de Hubble $v = H_0 \cdot d$, con $H_0 = 70\ \text{km/s}$ por $\text{Mpc}$; $c = 3 \cdot 10^{5}\ \text{km/s}$).

1. a) Calcula el corrimiento al rojo $z$ de la galaxia.
2. b) Calcula su velocidad en $\text{km/s}$.
3. c) Calcula su distancia en $\text{Mpc}$.
4. d) Explica qué consecuencia cosmológica se deduce del hecho de que las galaxias lejanas presenten sistemáticamente $z > 0$.

Delante de una fuente en movimiento, la frecuencia percibida es $f' = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$). El número de Mach es el cociente entre la velocidad de un avión y la velocidad del sonido. La figura muestra los frentes de onda de una fuente que se mueve casi a la velocidad del sonido.

1. a) Calcula $f'$ para un avión a Mach $0,9$ ($v_f = 306\ \text{m/s}$) cuyo motor emite un ruido de $1000\ \text{Hz}$.
2. b) Analiza qué ocurre con el denominador de la fórmula y con $f'$ cuando $v_f$ tiende a $v$ (Mach $1$).
3. c) Relaciónalo con la onda de choque y el estampido sónico: explica por qué un observador en tierra no oye acercarse a un avión supersónico hasta que este ya lo ha sobrepasado.

El método de velocidad radial detecta exoplanetas por el bamboleo que provocan en su estrella: las líneas espectrales oscilan periódicamente con $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). En la línea de $\lambda = 656,3\ \text{nm}$ de una estrella se mide una oscilación máxima $\Delta \lambda = 1,3 \cdot 10^{-4}\ \text{nm}$. El esquema muestra el bamboleo de la estrella.

1. a) Expresa ambas longitudes en metros y calcula la velocidad máxima de la estrella.
2. b) Explica por qué esa oscilación periódica delata un planeta invisible que obliga a la estrella a orbitar el centro de masas común del sistema.
3. c) Razona qué información adicional sobre el planeta aportaría el período de la oscilación.

Un radar meteorológico emite a $5,6 \cdot 10^{9}\ \text{Hz}$ y mide el eco de las gotas de lluvia con $\Delta f \approx \frac{2 \cdot f \cdot v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula $\Delta f$ para gotas que se alejan del radar a $15\ \text{m/s}$.
2. b) Indica si el eco regresa con mayor o menor frecuencia que la emitida y justifícalo.
3. c) Explica cómo, barriendo el haz en distintas direcciones, el radar reconstruye un mapa del viento en el interior de una tormenta.

Un satélite en órbita baja transmite a $f = 2,2\ \text{GHz}$ y se mueve a $7,6\ \text{km/s}$ respecto a la estación terrestre. Para $v \ll c$ se cumple $\frac{\Delta f}{f} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el desplazamiento máximo $\Delta f$, expresado en $\text{kHz}$.
2. b) Determina el rango de frecuencias que la estación debe barrer durante un pase completo, con el satélite primero acercándose y luego alejándose.
3. c) Razona por qué los receptores de satélites deben reajustar la sintonía continuamente durante cada pase.

Un murciélago vuela a $6\ \text{m/s}$ hacia una polilla en reposo emitiendo ultrasonidos de $80\ \text{kHz}$ ($v = 340\ \text{m/s}$). El esquema muestra la emisión y el eco.

1. a) Calcula la frecuencia que «recibe» la polilla, con $f_1 = f \cdot \frac{v}{v - v_f}$.
2. b) El eco reflejado se comporta como si la polilla fuese una fuente en reposo de frecuencia $f_1$ y el murciélago un observador que se acerca a $6\ \text{m/s}$: calcula la frecuencia final que oye el murciélago, $f_2 = f_1 \cdot \frac{v + v_0}{v}$.
3. c) Compara $f_2$ con la frecuencia emitida $f$ y razona por qué este doble efecto Doppler facilita la detección de presas.
4. d) Predice cualitativamente cómo cambiaría $f_2$ si la polilla también se moviese, huyendo del murciélago o yendo a su encuentro.