Ejercicios: Intensidad y flujo en distribuciones de carga

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie plana situada en un campo uniforme se define como $\Phi = E \cdot S \cdot \cos \alpha$. Observa el esquema:

1. a) Identifica qué representa cada símbolo de la fórmula, incluido el ángulo $\alpha$.
2. b) Indica la unidad del flujo en el Sistema Internacional, construyéndola a partir de las unidades de $E$ y de $S$.

Un campo eléctrico uniforme $E = 500\ \text{N/C}$ atraviesa perpendicularmente una superficie plana de $0,2\ \text{m}^2$ (la normal a la superficie es paralela al campo, $\alpha = 0^\circ$). Calcula el flujo del campo a través de la superficie.

Una hoja plana de $0,5\ \text{m}^2$ se encuentra dentro de un campo eléctrico uniforme $E = 300\ \text{N/C}$, orientada de modo que las líneas de campo son paralelas a la hoja. Observa el esquema:

1. a) ¿Cuánto vale el ángulo $\alpha$ entre el campo y la normal a la hoja?
2. b) Calcula el flujo a través de la hoja y explica, pensando en las líneas de campo, por qué sale ese valor.

Un dipolo eléctrico es un conjunto de dos cargas iguales y de signo contrario, $+q$ y $-q$, muy próximas entre sí; la molécula de agua, por ejemplo, se comporta como un dipolo. Dibuja en tu cuaderno las líneas de campo de un dipolo.

1. a) ¿En qué carga nacen las líneas de campo y en cuál terminan?
2. b) Señala en tu dibujo una zona donde el campo sea intenso y otra donde sea débil, justificándolo por la densidad de líneas.

Dos cargas positivas iguales están próximas entre sí. Dibuja en tu cuaderno sus líneas de campo.

1. a) ¿Qué le ocurre al campo total en el punto medio del segmento que une las cargas? Relaciónalo con el aspecto de tu dibujo.
2. b) ¿Pueden cruzarse dos líneas de campo en un punto? Razona qué significaría un cruce para el vector $\vec{E}$ en ese punto.

Un campo eléctrico uniforme $E = 200\ \text{N/C}$ atraviesa una superficie plana de $0,5\ \text{m}^2$ cuya normal forma un ángulo de $60^\circ$ con el campo ($\cos 60^\circ = 0,5$). Calcula el flujo del campo a través de la superficie.

El teorema de Gauss afirma que el flujo neto del campo eléctrico a través de una superficie cerrada depende únicamente de la carga neta encerrada en su interior. La figura muestra una carga exterior próxima a una superficie cerrada.

1. a) Si una superficie cerrada no encierra ninguna carga, ¿cuánto vale el flujo neto a través de ella?
2. b) ¿Significa eso que el campo eléctrico es nulo en todos los puntos de la superficie? Razona tu respuesta considerando una carga puntual situada fuera de la superficie, pero muy cerca de ella.

Considera un dipolo formado por las cargas $+q$ y $-q$, y estos puntos del espacio: los del eje que une las cargas (fuera del segmento) y los de la mediatriz (la recta perpendicular al segmento por su punto medio). Dibuja en tu cuaderno los vectores campo de cada carga en esos puntos.

1. a) Razona hacia dónde apunta el campo total en un punto del eje situado fuera del segmento (analiza qué campo domina y su sentido).
2. b) Razona hacia dónde apunta el campo total en un punto de la mediatriz (pista: fíjate en qué componentes se cancelan y cuáles se suman).

Una caja cúbica de arista $a = 10\ \text{cm}$ está inmersa en un campo eléctrico uniforme $E = 3\cdot10^{3}\ \text{N/C}$, paralelo a una de sus aristas. La caja no contiene ninguna carga. Observa el esquema:

1. a) Calcula el flujo a través de cada una de las seis caras del cubo, indicando el signo en cada caso (convenio: el flujo es positivo cuando las líneas salen de la superficie cerrada y negativo cuando entran).
2. b) Calcula el flujo neto a través de toda la superficie del cubo y explica, con el teorema de Gauss, por qué tiene ese valor.

Un dipolo está formado por las cargas $q_1 = +1\ \text{nC}$ y $q_2 = -1\ \text{nC}$, separadas $20\ \text{cm}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el campo (módulo, dirección y sentido) que crea cada carga en el punto medio del segmento que las une.
2. b) Calcula el campo total en ese punto.
3. c) Compara el resultado con el campo en el punto medio entre dos cargas iguales del mismo signo y explica la diferencia.

Un campo eléctrico uniforme $E = 4\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ atraviesa una superficie rectangular de $30\ \text{cm}$ por $10\ \text{cm}$ cuya normal forma un ángulo de $45^\circ$ con el campo ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).

1. a) Expresa el área de la superficie en $\text{m}^2$.
2. b) Calcula el flujo del campo a través de ella.

Una carga puntual $Q = 6\ \text{nC}$ está en el interior de una superficie esférica (toma $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Aplica el teorema de Gauss, $\Phi = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$, y calcula el flujo neto del campo a través de la esfera.
2. b) ¿Cambiaría el resultado si la esfera tuviera el doble de radio? Justifícalo.

Dos cargas $q_1 = +2\ \text{nC}$ y $q_2 = -2\ \text{nC}$ ocupan los puntos $(10, 0)$ y $(-10, 0)$, con las coordenadas en centímetros (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Se estudia el punto $P(0, 10)$. La figura muestra la geometría de la situación.

1. a) Calcula la distancia de cada carga al punto $P$.
2. b) Calcula el módulo del campo que crea cada carga en $P$.
3. c) Dibuja los dos vectores en tu cuaderno y razona qué componentes se cancelan entre sí y cuáles se suman.
4. d) Calcula el módulo del campo total en $P$ e indica su dirección y su sentido.

Una carga puntual $Q = 4\ \text{nC}$ está situada fuera de una superficie esférica cerrada, a cierta distancia de ella (datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) ¿Cuánto vale el flujo neto del campo a través de la esfera? Aplica el teorema de Gauss y justifica el resultado.
2. b) ¿Es nulo también el campo eléctrico en los puntos de la superficie? Razona la diferencia entre flujo neto y campo en cada punto.
3. c) Calcula el campo que crea $Q$ en el punto de la esfera más próximo a ella, situado a $30\ \text{cm}$ de la carga.

Un marco cuadrado de $0,1\ \text{m}^2$ puede girar dentro de un campo eléctrico uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$. Se mide el flujo para distintas orientaciones ($\cos 30^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$).

1. a) Calcula el flujo cuando la normal al marco forma con el campo los ángulos $\alpha = 0^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$ y $90^\circ$.
2. b) Describe cómo sería la gráfica del flujo en función de $\alpha$ entre $0^\circ$ y $180^\circ$ y razona por qué el flujo puede salir negativo.
3. c) Explica qué significa físicamente un flujo negativo, en términos de líneas de campo.

Una carga $Q = 3\ \text{nC}$ está encerrada dentro de una superficie cerrada de forma irregular (por ejemplo, la superficie de una mochila), sin que la carga esté en el centro (toma $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Calcula el flujo neto del campo a través de la superficie.
2. b) Si la carga se desplaza a otra posición, siempre dentro de la superficie, ¿cambia el flujo neto? ¿Y el flujo a través de cada porción de la superficie por separado? Razona ambas respuestas.

Un dipolo está formado por las cargas $q_1 = +2\ \text{nC}$ y $q_2 = -2\ \text{nC}$, separadas $10\ \text{cm}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Se estudia un punto del eje del dipolo situado a $50\ \text{cm}$ de su centro, del lado de la carga positiva.

1. a) Determina la distancia del punto a cada una de las cargas.
2. b) Calcula el campo (módulo y sentido) que crea cada carga en ese punto.
3. c) Calcula el campo total e indica su sentido.
4. d) Los dos campos casi se cancelan, porque las distancias son parecidas y las cargas, opuestas: usa esta idea para explicar por qué el campo de un dipolo decrece con la distancia mucho más rápido que el de una carga aislada.

Una superficie cerrada encierra las cargas $Q_1 = 7\ \text{nC}$ y $Q_2 = -2\ \text{nC}$; una tercera carga $Q_3 = 8\ \text{nC}$ está situada fuera de la superficie (toma $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). Observa el esquema:

1. a) Calcula la carga neta encerrada por la superficie.
2. b) Calcula el flujo neto del campo a través de ella.
3. c) Justifica por qué $Q_3$ no interviene en el cálculo, aunque sí contribuye al campo eléctrico en cada punto de la superficie.
4. d) Si $Q_2$ pasara a valer $-7\ \text{nC}$, ¿cuánto valdría el flujo neto? ¿Significaría eso que el campo es nulo en la superficie? Razona la respuesta.

Un medidor registra el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada dividida en dos regiones: por la región 1 el flujo es $\Phi_1 = -200\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (las líneas entran) y por la región 2 es $\Phi_2 = +350\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (las líneas salen); no hay más regiones (toma $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). La figura muestra las dos regiones y el sentido de las líneas.

1. a) Calcula el flujo neto a través de la superficie completa.
2. b) Deduce el signo de la carga neta encerrada y calcula su valor aplicando el teorema de Gauss.
3. c) Razona qué les ocurriría a los dos flujos medidos si la carga encerrada se duplicara, manteniéndose todo lo demás igual.

Una cúpula semiesférica de radio $R = 0,3\ \text{m}$, con su base horizontal, está inmersa en un campo eléctrico uniforme y vertical $E = 400\ \text{N/C}$. Observa el esquema:

1. a) Razona que el flujo a través de la superficie curva de la cúpula es el mismo que a través de su proyección horizontal (el círculo de la base): las líneas de campo que cruzan la semiesfera son exactamente las que cruzan su base.
2. b) Calcula ese flujo.
3. c) Si la cúpula se cerrara con su base plana, formando una superficie cerrada sin carga en su interior, ¿cuánto valdría el flujo neto? Explica cómo se compensan los flujos de la parte curva y de la base.

Considera un dipolo formado por las cargas $+q$ y $-q$ (toma $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$ para el apartado c)).

1. a) Razona, dibujando en tu cuaderno los vectores campo de cada carga, si existe algún punto del plano, a distancia finita, donde el campo total del dipolo sea nulo. Analiza por separado: el eje fuera del segmento, el eje entre las cargas, la mediatriz y un punto genérico fuera de esas rectas.
2. b) Concluye dónde se anula realmente el campo de un dipolo.
3. c) Calcula el flujo neto a través de una superficie cerrada que encierra todo el dipolo y relaciónalo con el hecho de que sus líneas de campo nacen en $+q$ y terminan en $-q$.

Dos cargas idénticas $q = 4\ \text{nC}$ están separadas una distancia $d = 20\ \text{cm}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Se estudia el campo en los puntos de la mediatriz del segmento que las une, a una distancia $y$ del punto medio. La figura muestra la geometría.

1. a) Razona, por simetría, que el campo total en la mediatriz es perpendicular al segmento que une las cargas (¿qué componentes se cancelan?).
2. b) Calcula el módulo del campo total para $y = 0$, para $y = 10\ \text{cm}$ y para $y = 20\ \text{cm}$.
3. c) Calcula también el módulo para $y = 7\ \text{cm}$.
4. d) El campo es nulo en $y = 0$ y tiende a cero cuando $y$ es muy grande, pero al principio crece con $y$: razona, con los cuatro valores calculados, que debe existir un máximo intermedio y acota entre qué distancias se encuentra.

Un programa de simulación dibuja el mapa de líneas del campo eléctrico de una distribución de cargas: en una región A, $12$ líneas cruzan cada $\text{cm}^2$ perpendicular al campo, y en una región B, solo $4$ líneas. Observa el esquema:

1. a) ¿Qué relación guardan los módulos del campo en A y en B? Justifícalo a partir del significado de la densidad de líneas.
2. b) Si en la región B el campo vale $200\ \text{N/C}$, calcula el flujo a través de una superficie de $0,05\ \text{m}^2$, perpendicular al campo, situada en la región A.
3. c) El número de líneas que atraviesan una superficie es proporcional al flujo, y las líneas solo nacen o terminan donde hay cargas: usa estas dos ideas para explicar cualitativamente el teorema de Gauss, es decir, por qué el flujo neto a través de una superficie cerrada «cuenta» la carga encerrada.

Una carga puntual $Q = 4\ \text{nC}$ está en el centro de una superficie esférica de radio $R = 0,2\ \text{m}$ (datos: $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$; $K = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el flujo neto a través de la esfera aplicando el teorema de Gauss.
2. b) Por simetría, el campo es radial y tiene el mismo módulo en todos los puntos de la esfera, de modo que $\Phi = E \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^2$. Despeja $E$ y calcúlala.
3. c) Calcula el mismo campo con la ley de Coulomb, $E = K \cdot \frac{Q}{R^2}$, y comprueba que coincide.
4. d) Extrae una conclusión sobre la relación entre el teorema de Gauss y la ley de Coulomb.