Exercicis: La selecció d'inversions: payback, VAN i TIR

T'ofereixen triar entre rebre $1.000\ \text{€}$ avui o rebre $1.000\ \text{€}$ d'aquí a un any. a) Explica quin triaries i per què, utilitzant la idea que els diners tenen un valor en el temps (avui pots invertir-los i d'aquí a un any en tindries més). b) Relaciona amb aquesta idea els conceptes de capitalització (portar uns diners d'avui al futur) i de descompte o actualització (portar uns diners futurs al seu valor d'avui).

Una inversió exigeix un desemborsament inicial de $12.000\ \text{€}$ i genera fluxos de caixa diferents cada any: $5.000\ \text{€}$ el primer, $4.000\ \text{€}$ el segon i $4.000\ \text{€}$ el tercer. a) Calcula el seu termini de recuperació (payback) sumant els fluxos any a any fins a recuperar el desemborsament, i expressa'l en anys i mesos. b) Explica amb les teves paraules què mesura el payback i per què agrada tant a les empreses amb poca liquiditat.

La figura representa en una línia temporal una inversió: un desemborsament avui i tres cobraments anuals. Sabem que la inversió recupera el desemborsament just en acabar l'any 3. a) Calcula el flux de caixa de l'any 3, marcat amb «?». b) Indica quin és el payback d'aquesta inversió.

Una empresa té $5.000\ \text{€}$ ociosos i pot col·locar-los durant un any a un interès del $4\ \%$. a) Calcula quants diners tindrà al cap d'un any (capitalització). b) Explica, amb aquest resultat, per què cobrar $5.000\ \text{€}$ d'aquí a un any no equival a cobrar $5.000\ \text{€}$ avui, i quin nom rep l'operació contrària a capitalitzar (actualitzar o descomptar).

Un túnel de rentatge de cotxes inverteix $15.000\ \text{€}$ en una instal·lació que li generarà un flux de caixa de $5.000\ \text{€}$ cada any. a) Calcula el seu termini de recuperació (payback). b) Si l'empresa només accepta inversions que es recuperin en menys de 4 anys, decideix si durà a terme aquesta i explica quin criteri està aplicant.

Una copisteria inverteix $9.000\ \text{€}$ en una impressora de gran format que generarà fluxos de $3.000\ \text{€}$ el primer any, $4.000\ \text{€}$ el segon i $5.000\ \text{€}$ el tercer. a) Calcula el payback raonant quant queda per recuperar al final de cada any i expressa'l en anys i mesos (suposa que els fluxos es generen de manera uniforme al llarg de l'any). b) Explica per què s'afina el termini calculant els mesos en lloc de quedar-se només amb els anys complets.

Explica què és el flux de caixa d'un any per a un projecte (cobraments menys pagaments de l'any, que no és el mateix que el benefici comptable) i per què els mètodes de selecció d'inversions treballen amb fluxos de caixa i no amb beneficis. Aplica-ho a aquest cas: una màquina que es paga avui al comptat s'amortitza comptablement en cinc anys; indica en quin any es produeix el desemborsament de caixa i en quants anys es reparteix la despesa comptable.

Una pastisseria industrial valora tres màquines d'envasament, totes amb el mateix desemborsament de $8.000\ \text{€}$: la màquina 1 retorna $4.000\ \text{€}$ a l'any durant dos anys; la 2, $2.000\ \text{€}$ a l'any durant cinc anys; la 3, $8.000\ \text{€}$ el primer any i res més. a) Calcula el payback de cadascuna. b) Si l'empresa exigeix recuperar la inversió en menys de tres anys, indica quines màquines passen el filtre. c) Ordena les màquines de millor a pitjor segons el criteri del payback.

Un projecte requereix un desemborsament inicial de $18.000\ \text{€}$ i generarà fluxos de caixa de $11.000\ \text{€}$ d'aquí a un any i de $12.100\ \text{€}$ d'aquí a dos. La taxa de descompte és del $10\ \%$. a) Calcula el VAN: $VAN = -A + \frac{F_1}{(1 + k)} + \frac{F_2}{(1 + k)^2}$. b) Interpreta el signe del resultat i decideix si convé acceptar el projecte, raonant la resposta.

Una inversió de $24.000\ \text{€}$ promet fluxos creixents: $11.000\ \text{€}$ el primer any, $12.100\ \text{€}$ el segon i $13.310\ \text{€}$ el tercer, amb una taxa de descompte del $10\ \%$. a) Calcula el VAN actualitzant els tres fluxos. b) Interpreta el resultat: quant de valor crea el projecte després de recuperar la inversió i de remunerar els diners al $10\ \%$ anual?

Un projecte costa $10.000\ \text{€}$ avui i retornarà un únic cobrament de $11.500\ \text{€}$ d'aquí a un any. a) Calcula la seva TIR, és a dir, la taxa $r$ que fa el VAN igual a zero: planteja $-10.000 + \frac{11.500}{1 + r} = 0$ i aïlla $r$. b) Si l'empresa exigeix una rendibilitat mínima del $12\ \%$, decideix si accepta el projecte comparant la TIR amb aquesta taxa. c) I si la rendibilitat exigida fos del $18\ \%$? Enuncia amb les teves paraules la regla de decisió de la TIR.

Un taller de bicicletes elèctriques estudia un projecte amb un desemborsament de $15.000\ \text{€}$ i fluxos de $8.800\ \text{€}$ el primer any i $9.680\ \text{€}$ el segon, amb una taxa de descompte del $10\ \%$. a) Calcula el VAN: $VAN = -A + \frac{F_1}{(1 + k)} + \frac{F_2}{(1 + k)^2}$. b) Interpreta el resultat i decideix si el taller ha d'acceptar el projecte, raonant la resposta.

Una fruiteria valora comprar una furgoneta frigorífica per $18.000\ \text{€}$ que li reportaria un flux de caixa de $10.000\ \text{€}$ en cadascun dels dos propers anys, amb una taxa de descompte del $10\ \%$. a) Calcula el VAN, arrodonint a cèntims. b) Decideix si interessa la compra i interpreta el signe del resultat: què li falta al projecte per crear valor. c) Explica, sense fer el càlcul, què li passaria al VAN si la taxa de descompte baixés.

Una inversió costa avui $5.000\ \text{€}$ i retornarà un únic cobrament de $5.400\ \text{€}$ d'aquí a un any. a) Planteja la TIR, és a dir, la taxa $r$ que anul·la el VAN: $-5.000 + \frac{5.400}{1 + r} = 0$, i aïlla el seu valor. b) Decideix si s'ha d'acceptar el projecte quan l'empresa es finança a un cost del $6\ \%$ anual, i enuncia la regla de decisió que has aplicat. c) Raona si l'acceptaria també una empresa que es finança al $9\ \%$.

Una editorial pot triar només un de dos projectes, amb una taxa de descompte del $10\ \%$: el projecte Diccionari exigeix $20.000\ \text{€}$ i retorna $13.200\ \text{€}$ el primer any i $14.520\ \text{€}$ el segon; el projecte Atles exigeix $30.000\ \text{€}$ i retorna $19.800\ \text{€}$ el primer any i $21.780\ \text{€}$ el segon. a) Calcula el VAN de cada projecte. b) Decideix quin crea més valor i raona si el projecte més gran és automàticament millor pel fet de tenir un VAN més alt. c) Calcula el payback de tots dos i comprova si els dos criteris ordenen els projectes igual.

Un gimnàs estudia dues màquines amb el mateix desemborsament de $12.000\ \text{€}$: la màquina X generarà fluxos de $8.000\ \text{€}$, $5.000\ \text{€}$ i $3.000\ \text{€}$ en els propers tres anys; la màquina Y generarà $3.000\ \text{€}$, $5.000\ \text{€}$ i $8.000\ \text{€}$ (els seus fluxos creixen perquè triga a fer-se popular). a) Calcula el payback de cadascuna. b) Compara els fluxos totals de totes dues, indica quina màquina triaria el payback i quina triaries tu raonadament, tenint en compte que els diners que s'obtenen abans valen més. c) Relaciona la teva elecció amb la idea del valor dels diners en el temps.

Una inversió exigeix avui $20.000\ \text{€}$ i retorna $11.000\ \text{€}$ al cap d'un any i $12.100\ \text{€}$ al cap de dos. a) Comprova numèricament que amb una taxa del $10\ \%$ el VAN val exactament zero, la qual cosa converteix aquesta taxa en la TIR del projecte. b) Explica amb les teves paraules què significa la TIR: quina rendibilitat anual «rendeix» al projecte els diners invertits. c) Si l'empresa es pot finançar al $8\ \%$, raona si ha d'acceptar el projecte; i si el finançament li costés un $12\ \%$?

Una empresa valora dos projectes amb el mateix desemborsament inicial de $11.000\ \text{€}$ i una taxa de descompte del $10\ \%$: el projecte CURT retorna $11.000\ \text{€}$ a l'any 1 i $2.420\ \text{€}$ a l'any 2; el projecte LLARG no retorna res fins a l'any 3, en què cobra $16.500\ \text{€}$ (és una plantació que triga tres anys a donar la seva primera collita). a) Calcula el payback de cada projecte, en anys i mesos. b) Calcula el VAN de cada projecte, arrodonint a euros. c) Comprova que els dos criteris ordenen els projectes al revés, explica per què passa i raona quin criteri és més fiable per decidir i per què.

Un director financer presumeix: «Jo només faig servir el payback; si els diners tornen ràpid, el projecte és bo, i la resta sobra». Treu-li la raó amb aquest exemple: el projecte A costa $10.000\ \text{€}$ i retorna $6.000\ \text{€}$, $6.000\ \text{€}$ i $0\ \text{€}$ en els tres primers anys; el projecte B costa el mateix i retorna $4.000\ \text{€}$, $4.000\ \text{€}$ i $8.000\ \text{€}$. a) Calcula el payback de tots dos i comprova quin triaria aquest director. b) Compara els fluxos totals que genera cada projecte i assenyala les dues coses que el payback ignora: el que passa després de recuperar el desemborsament i el valor dels diners en el temps. c) Conclou per què el VAN és un criteri més complet.

Una inversió exigeix avui $40.000\ \text{€}$ i retornarà $21.600\ \text{€}$ al cap d'un any i $23.328\ \text{€}$ al cap de dos. a) Planteja l'equació de la TIR: $-40.000 + \frac{21.600}{1 + r} + \frac{23.328}{(1 + r)^2} = 0$, i resol-la (pista: anomena $x = 1 + r$ i aplica la fórmula de l'equació de segon grau). b) Interpreta el resultat: quina rendibilitat anual ofereix el projecte? c) Decideix si interessa amb un cost de finançament del $5\ \%$ i raona què passaria amb la teva decisió si el finançament costés un $10\ \%$.

Una empresa agroalimentària compara dos projectes amb el mateix desemborsament de $25.000\ \text{€}$ i una taxa de descompte del $10\ \%$: el projecte HORT retorna $16.500\ \text{€}$ el primer any i $12.650\ \text{€}$ el segon; el projecte OLIVAR no retorna res el primer any i genera $31.460\ \text{€}$ el segon (les oliveres triguen a produir). a) Calcula el payback de cada projecte, en anys i mesos. b) Calcula el VAN de tots dos, arrodonint a euros. c) Comprova quin projecte tria cada criteri, explica a què es deu el desacord i raona quin criteri és més fiable per a la decisió.

Un grup empresarial dubta entre dos projectes incompatibles. El projecte PETIT costa $1.000\ \text{€}$ i retorna $1.500\ \text{€}$ d'aquí a un any; el projecte GRAN costa $10.000\ \text{€}$ i retorna $12.000\ \text{€}$ d'aquí a un any. a) Calcula la TIR de cadascun. b) Calcula el VAN de cadascun amb una taxa de descompte del $10\ \%$. c) Comprova que la TIR tria el petit i el VAN el gran, explica per què la TIR pot enganyar en comparar projectes de mida diferent i raona quin criteri convé si l'objectiu és crear més valor.

Una cadena d'hotels només pot finançar dos d'aquests tres projectes, amb una taxa de descompte del $10\ \%$: SPA, desemborsament de $10.000\ \text{€}$ i fluxos de $3.300\ \text{€}$ el primer any i $10.890\ \text{€}$ el segon (l'spa triga a omplir-se); RESTAURANT, desemborsament de $20.000\ \text{€}$ i fluxos de $13.200\ \text{€}$ i $12.100\ \text{€}$; APARCAMENT, desemborsament de $15.000\ \text{€}$ i fluxos de $12.100\ \text{€}$ i $6.050\ \text{€}$. a) Calcula el VAN de cada projecte. b) Calcula el payback de cadascun. c) Decideix quins dos projectes s'han d'executar segons el VAN i comprova si el payback hauria triat la mateixa cartera; comenta el resultat.

Un projecte exigeix $10.000\ \text{€}$ avui i retornarà $6.000\ \text{€}$ d'aquí a un any i $6.000\ \text{€}$ d'aquí a dos. a) Calcula el seu VAN amb una taxa de descompte del $5\ \%$. b) Calcula el seu VAN amb una taxa del $15\ \%$. c) Explica, amb els dos resultats, com afecta la taxa de descompte al VAN i què representa la taxa per a la qual el VAN valdria exactament zero. d) Raona què s'ha de plantejar una empresa que decideix inversions quan pugen els tipus d'interès.