Exercicis: Teorema del cosinus

En un triangle $ABC$, es coneixen els costats $b=5$ cm, $c=8$ cm i l'angle comprès $A=60^\circ$. Calcula la longitud del costat $a$.

En un triangle $ABC$, les longituds dels costats són $a=3$ cm, $b=5$ cm i $c=7$ cm. Calcula l'amplitud de l'angle $C$.

En un triangle $ABC$, els costats mesuren $a=10$ cm, $b=12$ cm i l'angle comprès és $C=45^\circ$. Planteja el teorema del cosinus per calcular el valor exacte del costat $c$.

Determina la mesura de l'angle $B$ en un triangle els costats del qual són $a=7$ cm, $b=8$ cm i $c=9$ cm.

Un paral·lelogram té dos costats adjacents que mesuren 4 cm i 6 cm. Si l'angle comprès entre ells és de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal major.

Calcula la distància entre dos punts inaccessibles $A$ i $B$, sabent que des d'un punt d'observació $C$ s'han mesurat les distàncies $CA = 15$ m i $CB = 20$ m, i l'angle visual $ACB$ és de $40^\circ$.

En un triangle isòsceles $ABC$, els costats $a$ i $b$ mesuren 6 cm cadascun, i l'angle desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacte del costat $c$ deixant el resultat amb radicals.

Determina l'angle més gran d'un triangle els costats del qual mesuren 4 cm, 5 cm i 6 cm.

La Lucía necessita calcular la distància entre dues balises, $B$ i $C$, coneixent les distàncies des de la seva posició d'observació $A$ ($b = AC = 6\text{ m}$ i $c = AB = 10\text{ m}$) i l'angle que formen les visuals, $\widehat{A} = 120^\circ$. Al seu examen escriu el desenvolupament següent:

1. a) Sense refer les operacions numèriques al principi, raona geomètricament per què el resultat de la Lucía no pot ser correcte comparant la figura amb un triangle rectangle de catets $6\text{ m}$ i $10\text{ m}$.
2. b) Localitza l'error matemàtic concret comès per la Lucía, explica quina propietat de les raons trigonomètriques no ha tingut en compte i calcula el valor correcte del costat $a$ arrodonit a dues xifres decimals.

Dos trams rectes d'un sender homologat a la comarca de Cazorla mesuren $b = 7\text{ km}$ i $c = 8\text{ km}$, i es bifurquen formant un angle $\widehat{A} = 58^\circ$. El comitè del parc vol traçar un camí recte directe que connecti els dos extrems lliures (costat $a$).

1. a) Abans de fer cap càlcul amb calculadora: tenint en compte que $58^\circ$ és molt proper a $60^\circ$ i que els costats són gairebé iguals ($7\text{ km}$ i $8\text{ km}$), fes una estimació raonada de quant mesurarà aproximadament el costat $a$. Entre quins dos valors extrems s'ha de trobar obligatòriament per la desigualtat triangular?
2. b) Aplica el teorema del cosinus amb $\cos(58^\circ) \approx 0,530$ per calcular la longitud exacta d'$a$ arrodonint a dues xifres decimals.
3. c) Contrasta la teva estimació prèvia amb el resultat obtingut i justifica si el valor és físicament versemblant.

Dos avions surten d'un mateix aeroport al mateix temps. L'avió A vola a $800$ km/h amb un rumb de $040^\circ$ i l'avió B vola a $650$ km/h amb un rumb de $115^\circ$. Quina distància en línia recta els separa després de 1,5 hores de vol?

Per mesurar la distància a través d'un llac entre els punts $A$ i $B$, un topògraf es situa al punt $C$. Mesura les distàncies $CA = 125,5$ m i $CB = 180,2$ m, i l'angle $ACB = 75^\circ$. Calcula la distància $AB$.

Dues forces de 45 N i 60 N actuen sobre un mateix punt material formant un angle de $50^\circ$ entre elles. Calcula la magnitud de la força resultant.

Les diagonals d'un romboide mesuren 12 cm i 16 cm, i es tallen formant un angle de $65^\circ$. Calcula la longitud dels quatre costats del romboide.

Una encavallada de teulada triangular té costats de 5 m, 7 m i 9 m. Calcula l'angle oposat al costat més llarg.

En un camp de futbol, un jugador es troba a 25 m d'un pal de la porteria i a 28 m de l'altre pal. Sabent que la porteria té una amplada reglamentària de 7,32 m, sota quin angle veu el jugador la porteria d'extrem a extrem?

Dos satèl·lits orbiten la Terra. Des d'una estació de seguiment, les distàncies en línia recta als satèl·lits són 400 km i 600 km, i l'angle entre les seves línies de visió és de $35^\circ$. A quina distància es troben els satèl·lits entre ells?

En una circumferència de 10 cm de radi, una corda subtén un angle central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la corda utilitzant el teorema del cosinus en el triangle format pels radis i la corda.

En un triangle de costats coneguts $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ i $c = 9\text{ cm}$, es vol trobar l'amplitud dels seus tres angles combinant el teorema del cosinus amb el teorema del sinus per estalviar temps de càlcul. Dos companys proposen estratègies diferents per al primer pas:

• En Marcos proposa: «Calculem primer l'angle menor, $\widehat{A}$, fent servir el teorema del cosinus i, després, aïllem l'angle major, $\widehat{C}$, mitjançant el teorema del sinus».

• La Sara rebat: «És molt més segur calcular primer l'angle major, $\widehat{C}$, mitjançant el teorema del cosinus i, a partir d'aquest, trobar $\widehat{A}$ amb el teorema del sinus».

1. a) Justifica matemàticament quin dels dos mètodes és preferible i explica quin risc o ambigüitat matemàtica comporta l'altre en emprar la funció inversa $\operatorname{arcsen}$ en l'interval $[0^\circ, 180^\circ]$.
2. b) Seguint l'estratègia correcta, determina raonadament si el triangle és acutangle o obtusangle examinant únicament el signe de $\cos \widehat{C}$, i calcula el valor dels tres angles del triangle arrodonits al grau més proper.

Durant les tasques de vigilància d'incendis de la Junta d'Andalusia a Sierra Nevada, una torre de control situada al punt d'observació $P$ albira dues columnes de fum en punts inaccessibles entre si, $F_1$ i $F_2$.

Amb el telèmetre làser i el goniòmetre de l'estació s'obtenen les mesures següents:

• Distància a la primera columna: $d(P, F_1) = 3,4\text{ km}$.

• Distància a la segona columna: $d(P, F_2) = 5,2\text{ km}$.

• Angle horitzontal format per ambdues visuals: $\widehat{F_1 P F_2} = 115^\circ$.

1. a) Modela la disposició dels tres punts mitjançant un triangle, identifica els elements coneguts i calcula la distància en línia recta que separa ambdós focus de fum (arrodoneix a dues xifres decimals).
2. b) La brigada helitransportada disposa d'una mànega d'estesa ràpida d'emergència de $7\text{ km}$. Justifica si amb aquest equipament seria viable connectar de forma directa ambdós focus sense necessitat de passar pel lloc d'observació $P$.

En un triangle, les longituds dels costats són $x$, $x+2$ i $x+4$. Si el més gran dels angles mesura $120^\circ$, planteja l'equació corresponent, determina el valor de $x$ i les longituds exactes dels tres costats.

Demostra algebraicament que en qualsevol triangle $ABC$ es compleix la següent relació:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

En un triangle $ABC$, els costats mesuren $a=8$ cm, $b=10$ cm i $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ traçada des del vèrtex $A$ fins al punt mitjà del costat $a$.

Un quadrilàter inscriptible (cíclic) $ABCD$ té costats de longituds $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm i $DA=6$ cm. Tenint en compte les propietats dels angles oposats en un quadrilàter cíclic, planteja un sistema utilitzant el teorema del cosinus en els triangles $ABC$ i $ADC$ per calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.

Si en un triangle $ABC$ es compleix la relació algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la mesura exacta de l'angle $A$ sense fer ús de la calculadora.

Un triangle té una base fixa $c = 10$ cm i un perímetre constant $p = 26$ cm. Si l'angle $C$ oposat a la base mesura $60^\circ$, planteja un sistema d'equacions i troba les longituds exactes dels altres dos costats $a$ i $b$.

Dues circumferències de radis 5 cm i 8 cm es tallen en dos punts. La distància entre els seus centres és de 10 cm. Calcula la longitud de la corda comuna a totes dues circumferències. (Suggereiment: Utilitza el teorema del cosinus per trobar l'angle central en el triangle format pels radis i la línia de centres, i a partir d'allà obtén l'altura del triangle).

Calcula l'angle agut que formen dues diagonals principals d'un cub. Per fer-ho, expressa la longitud de la diagonal en funció de l'arista $a$ i aplica el teorema del cosinus en el triangle format per les meitats de dues diagonals i una arista del cub.

Es projecta una encavallada triangular d'acer per a la teulada d'una nau industrial. Dues de les barres estructurals tenen longituds fixes de $b = 5\text{ m}$ i $c = 8\text{ m}$.

1. a) Escriu unaDebug ineq in terms of... Escriu una inequació en funció de la longitud del tercer costat, $a$, que garanteixi que l'angle $\widehat{A}$ comprès entre les dues barres donades sigui estrictament obtús ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Determina l'interval de valors reals possibles per a la longitud $a$.
2. b) Suposa ara que es modifica el plec de condicions fixant la barra $a = 7\text{ m}$ i l'angle $\widehat{A} = 60^\circ$, mantenint $c = 8\text{ m}$, però deixant la longitud de la barra $b$ com a incògnita a dimensionar. Planteja l'equació de segon grau que ha de complir $b$ aplicant el teorema del cosinus.
3. c) Resol l'equació obtinguda, comprova si les solucions trobades són geomètricament viables mitjançant la desigualtat triangular i explica per què aquest cas proporciona dues configuracions triangulars diferents i vàlides amb les mateixes dades inicials.

En les maniobres d'atracada al port exterior de Ferrol, dos remolcadors tiren simultàniament d'un vaixell mercant aplicant forces coplanàries de magnituds fixes $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ i $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. Els cables d'arrossegament formen entre si un angle $\alpha = 40^\circ$.

1. a) Estima raonadament entre quines dues cotes extremes s'ha de situar el mòdul de la força resultant $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ considerant les situacions límit en què els cables tiressin en la mateixa direcció i sentit, o en sentits oposats.
2. b) En representar la suma vectorial mitjançant la regla del paral·lelogram, s'obté un triangle els costats contigus del qual són $|\vec{F}_1|$ i $|\vec{F}_2|$, i el tercer costat del qual representa el vector resultant $\vec{R}$. Justifica geomètricament per què l'angle oposat a $\vec{R}$ en aquest triangle mesura $180^\circ - \alpha = 140^\circ$, i no $40^\circ$.
3. c) Aplica el teorema del cosinus per determinar el mòdul exacte de la força resultant $\vec{R}$ (en $\text{kN}$, arrodonit a un decimal) i verifica la precisió de la teva estimació.
4. d) Per exigències de seguretat estructural del casc, la força resultant total no pot superar els $105\text{ kN}$. Planteja la inequació corresponent i dedueix l'angle mínim $\alpha$ que han de formar els cables dels remolcadors per no sobrepassar aquest límit.