Ejercicios: Teorema del coseno

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.

Determina la medida del ángulo $B$ en un triángulo cuyos lados son $a=7$ cm, $b=8$ cm y $c=9$ cm.

Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.

Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.

En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.

Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm.

Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1,5 horas de vuelo?

Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125,5$ m y $CB = 180,2$ m, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.

Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.

Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.

Una cercha de techo triangular tiene lados de 5 m, 7 m y 9 m. Calcula el ángulo opuesto al lado más largo para determinar la pendiente principal de la estructura.

En un campo de fútbol, un jugador se encuentra a 25 m de un poste de la portería y a 28 m del otro poste. Sabiendo que la portería tiene una anchura reglamentaria de 7,32 m, ¿bajo qué ángulo ve el jugador la portería de extremo a extremo?

Dos satélites orbitan la Tierra. Desde una estación de seguimiento, las distancias en línea recta a los satélites son 400 km y 600 km, y el ángulo entre sus líneas de visión es de $35^\circ$. ¿A qué distancia se encuentran los satélites entre sí?

En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.

En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.

Demuestra algebraicamente que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente relación:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.

Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.

Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.

Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.

Dos circunferencias de radios 5 cm y 8 cm se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 cm. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias. (Sugerencia: Usa el teorema del coseno para hallar el ángulo central en el triángulo formado por los radios y la línea de centros, y a partir de ahí obtén la altura del triángulo).

Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.