Exercicis: Sistemes no lineals

Resol el sistema no lineal següent, que representa la intersecció entre una paràbola i una recta:

$y = x^2 - 4x + 3$

$y = x - 1$

Troba les solucions del sistema següent format per l'equació d'una circumferència i una recta:

$x^2 + y^2 = 25$

$x + y = 7$

Troba els valors de $x$ i $y$ que verifiquen el sistema següent:

$xy = 12$

$x - y = 4$

Resol el sistema següent d'equacions exponencials, expressant totes dues potències amb la mateixa base:

$2^{x+y} = 32$

$2^{x-y} = 2$

Determina la solució del sistema logarítmic, aplicant les propietats dels logaritmes:

$\log x + \log y = 1$

$x - y = 3$

Resol el sistema següent que conté fraccions algebraiques:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

$xy = 6$

Resol el sistema irracional següent. Assegura't de comprovar si la solució obtinguda és vàlida en l'equació original:

$\sqrt{x} + y = 5$

$x - y = 1$

La suma de dos nombres positius és $10$ i la suma dels seus quadrats és $58$. Planteja un sistema d'equacions no lineal i resol-lo per trobar aquests nombres.

Marcos ha resolt a la pissarra el sistema no lineal següent amb radicals:

El seu desenvolupament ha estat el següent:

1r Aïlla $y$ en la primera equació: $y = x + 2$.

2n Substitueix en la segona equació: $\sqrt{x + 4} = x + 2$.

3r Eleva al quadrat tots dos membres: $x + 4 = (x + 2)^2 \implies x + 4 = x^2 + 4x + 4$.

4t Agrupa i factoritza: $x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0$, d'on obté $x_1 = 0$ i $x_2 = -3$.

5è Calcula les ordenades associades: $y_1 = 0 + 2 = 2$ i $y_2 = -3 + 2 = -1$.

Marcos afirma que el sistema té dues solucions: $(0, 2)$ i $(-3, -1)$. Troba l'error conceptual comès per Marcos, explica per què l'operació d'elevar al quadrat pot introduir solucions no vàlides i proporciona el conjunt de solucions correcte justificant la teva resposta.

Per resoldre el següent sistema d'equacions exponencials:

dos alumnes proposen estratègies diferents:

• L'Alba proposa aïllar $y$ aplicant logaritmes en la primera equació, escrivint $y = \log_3(11 - 2^x)$, per després substituir aquesta expressió en la segona equació.

• En Bruno proposa aplicar primer les propietats de les potències en la segona equació ($2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ i $3^{y+1} = 3 \cdot 3^y$) i fer el canvi de variable $u = 2^x$ i $v = 3^y$.

Compara tots dos mètodes i justifica quin és més adequat i per què. A continuació, resol el sistema utilitzant el camí òptim i explica quina propietat matemàtica et permet aïllar finalment els valors exactes de $x$ i $y$ a partir d'$u$ i $v$.

Una parcel·la rectangular té un perímetre de $40$ m i una àrea de $96$ m$^2$. Planteja un sistema d'equacions no lineal per calcular les dimensions de la parcel·la i resol-lo.

Resol el sistema següent d'equacions exponencials aplicant un canvi de variable adequat:

$3^x + 2^y = 11$

$3^{x+1} - 2^{y-1} = 26$

Resol el sistema logarítmic i quadràtic, comprovant la validesa de la solució obtinguda:

$\log(x) - \log(y) = 1$

$x^2 - y^2 = 99$

Troba la solució del sistema irracional següent:

$\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y} = 4$

$x - y = 4$

Un ciclista fa un trajecte de $60$ km a velocitat constant. Si hagués viatjat $2$ km/h més ràpid, hauria trigat $1$ hora menys a completar el recorregut. Planteja i resol un sistema no lineal per trobar la velocitat mitjana $v$ i el temps $t$ emprat.

Un grup d'amics decideix comprar un regal d'aniversari que costa $120$ €, dividint el pagament a parts iguals. A última hora s'uneixen dos amics més al grup, la qual cosa fa que la quota de cadascú es redueixi en $3$ €. Planteja i resol un sistema per trobar quants amics eren inicialment i quant pagava cadascú.

En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura $13$ cm i el perímetre total és de $30$ cm. Planteja un sistema d'equacions per determinar la longitud dels dos catets.

Resol el sistema següent format per una equació racional i una de quadràtica:

$\frac{x+y}{x-y} = 5$

$x^2 + y^2 = 13$

Una comunitat de regants de l'horta de València condicionarà una bassa rectangular per a reg per degoteig protegida per una tanca perimetral de $36\text{ m}$. Per exigències hidràuliques del sistema de bombament, l'empresa instal·ladora estableix que la diferència entre la superfície de la base i el quadrat del costat menor ha de ser exactament igual a $36\text{ m}^2$.

1. a) Modela la situació mitjançant un sistema d'equacions no lineal, denotant per $x$ la longitud del costat major i per $y$ la del costat menor (amb $x \ge y > 0$).
2. b) Resol algebraicament el sistema mitjançant substitució.
3. c) Interpreta les solucions obtingudes en el context real: quantes configuracions dimensionals diferents són tècnicament possibles per construir la bassa complint tots els requisits? Justifica les dimensions de cada opció admissible.

La cobertura límit d'una estació de telecomunicacions rurals ve descrita per la circumferència d'equació $x^2 + y^2 = 25$ (on $x$ i $y$ es mesuren en quilòmetres respecte a l'antena situada a l'origen). Una pista forestal recta segueix la trajectòria $y = 2x - 5$.

1. a) Abans de calcular les solucions algebraicament, fes una estimació geomètrica raonada: si un totterreny recorre la pista i creua l'eix vertical en $x = 0$, aquest punt es troba a dins, sobre o a fora del límit de cobertura? Estima en quins quadrants del pla cartesià es produiran l'entrada i la sortida del vehicle a la zona amb cobertura.
2. b) Planteja i resol el sistema format per totes dues equacions per determinar les coordenades exactes dels punts de tall entre la pista i el límit de cobertura.
3. c) Comprova si els punts calculats concorden amb la teva estimació prèvia i troba la distància exacta recorreguda pel totterreny dins del radi de cobertura de l'antena.

L'òrbita circular d'un satèl·lit en un sistema de referència segueix l'equació $x^2 + y^2 = 25$, mentre que la trajectòria d'un cometa descriu la hipèrbola $xy = 12$. Resol el sistema per trobar les coordenades exactes dels punts d'intersecció de totes dues trajectòries.

Discute per a quins valors del paràmetre $k$ el sistema següent té exactament una solució (això equival geomètricament a la condició de tangència entre la circumferència i la recta):

$x^2 + y^2 = 10$

$x + y = k$

Resol el sistema mixt següent que combina equacions exponencials i logarítmiques:

$2^x \cdot 2^y = 64$

$\log_2 x + \log_2 y = 3$

Resol el sistema d'equacions de grau superior. (Suggeriment: utilitza els productes notables i la factorització per simplificar la primera equació):

$x^3 + y^3 = 35$

$x + y = 5$

Un dipòsit cilíndric de xapa té un volum interior de $54\pi$ m³ i una àrea lateral (sense comptar les bases) de $36\pi$ m². Planteja un sistema per trobar el radi de la base $r$ i l'altura $h$ del cilindre, i resol-lo.

Un capital $C$ s'inverteix a un tipus d'interès compost anual $r$ (expressat en tant per un). En acabar el primer any, el valor final generat és de $11000$ €. En acabar el segon any, el valor final ascendeix a $12100$ €. Planteja un sistema no lineal per calcular el capital inicial $C$ i la taxa d'interès $r$, i resol-lo.

Resol el sistema logarítmic següent aplicant les propietats de canvi de base i substitució:

$\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}$

$xy = 27$

Resol el sistema irracional següent, assegurant-te de comprovar quines solucions són vàlides analitzant el domini de les arrels:

$\sqrt{x^2 - y^2} = \sqrt{33}$

$x + y = 11$

Un equip d'enginyers dissenya el traçat d'incorporació entre una via de servei parabòlica d'equació $y = a \cdot x^2 + c$ i una carretera recta d'equació $y = 4x - 5$. Per garantir la màxima seguretat en la maniobra d'incorporació, totes dues calçades s'han d'unir de manera suau (és a dir, han de ser tangents) exactament en el punt d'abscissa $x = 3$.

1. a) Planteja el problema invers: determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $c$ que defineixen la paràbola, sabent que el sistema no lineal format per la recta i la paràbola ha de tenir com a solució única el punt d'abscissa $x = 3$. (Pista: analitza com han de ser els coeficients de l'equació quadràtica resolvent perquè admeti una arrel doble en aquest valor).
2. b) Recolzant-te en el discriminant $\Delta$ de l'equació d'intersecció, justifica formalment per què la condició de tangència exigeix $\Delta = 0$ i explica què representaria geomètricament per al traçat de les carreteres que aquest discriminant resultés ser estrictament positiu o estrictament negatiu.

Considera el següent sistema no lineal simètric dependent d'un paràmetre real no nul $k$ ($k \ne 0$):

1. a) En lloc de substituir $y = k - x$ directament en la segona equació (cosa que obligaria a desenvolupar $(k - x)^3$), justifica per què és avantatjós tractar-lo com un sistema simètric i utilitza la identitat algebraica $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ per obtenir el producte $P = x \cdot y$ en funció de $k$.
2. b) Planteja l'equació de segon grau $t^2 - S \cdot t + P = 0$ les solucions de la qual proporcionen els valors de les incògnites $x$ i $y$.
3. c) Discuteix raonadament per a quins valors del paràmetre $k$ el sistema té dues solucions reals diferents, una única solució doble o cap solució real. Explica, a més, per què si el parell $(x_0, y_0)$ és solució amb $x_0 \ne y_0$, el parell $(y_0, x_0)$ també ho és necessàriament, interpretant aquesta propietat com una simetria geomètrica respecte a la recta $y = x$.

Repte del tema. Dissenya la xarxa de suport logístic d'emergència per a tres municipis de la teva província.

1. Geometria territorial: Localitza a Google Maps o IGN tres municipis no alineats ($A$, $B$ i $C$) fixant l'origen $(0,0)$ al teu institut. Calcula les seves distàncies relatives en km, troba el circumcentre resolent el sistema de mediatrius del triangle i determina l'angle d'obertura entre dues rutes utilitzant les raons de l'angle resta $\cos(\alpha - \beta)$.

2. Repartiment amb Gauss: Consulta a l'INE o REE dades reals de població o consum elèctric d'aquestes localitats. Planteja i resol mitjançant el mètode de Gauss un sistema lineal $3 \times 3$ per distribuir de manera justificada un fons de $150\,000$ € entre les tres seus segons tres condicions de demanda.

3. Cobertura i viabilitat: Delimita a GeoGebra la zona de repartiment viable mitjançant un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites. Determina els punts de tall d'una via logística amb el radi de cobertura d'una antena de $12,5\text{ km}$ resolent un sistema no lineal (recta i circumferència), i analitza si la funció de cost logístic $f(x)$ presenta paritat.

4. Informe final: Redacta una proposta de dues pàgines amb les captures de GeoGebra, els sistemes resolts i la teva conclusió tècnica.

Es valorarà:

• Rigor algebraic en aplicar el mètode de Gauss i resoldre els sistemes lineals i no lineals.

• Precisió en el plantejament geomètric (punts notables, distàncies i trigonometria).

• Correcta modelització del sistema d'inequacions i ús coherent de les dades reals.