Ejercicios: Sistemas no lineales

Resuelve el siguiente sistema no lineal, que representa la intersección entre una parábola y una recta:

$y = x^2 - 4x + 3$

$y = x - 1$

Halla las soluciones del siguiente sistema formado por la ecuación de una circunferencia y una recta:

$x^2 + y^2 = 25$

$x + y = 7$

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que verifican el siguiente sistema:

$xy = 12$

$x - y = 4$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales, expresando ambas potencias con la misma base:

$2^{x+y} = 32$

$2^{x-y} = 2$

Determina la solución del sistema logarítmico, aplicando las propiedades de los logaritmos:

$\log x + \log y = 1$

$x - y = 3$

Resuelve el siguiente sistema que contiene fracciones algebraicas:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

$xy = 6$

Resuelve el siguiente sistema irracional. Asegúrate de comprobar si la solución obtenida es válida en la ecuación original:

$\sqrt{x} + y = 5$

$x - y = 1$

La suma de dos números positivos es $10$ y la suma de sus cuadrados es $58$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal y resuélvelo para encontrar dichos números.

Una parcela rectangular tiene un perímetro de $40$ m y un área de $96$ m$^2$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular las dimensiones de la parcela y resuélvelo.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales aplicando un cambio de variable adecuado:

$3^x + 2^y = 11$

$3^{x+1} - 2^{y-1} = 26$

Resuelve el sistema logarítmico y cuadrático, comprobando la validez de la solución obtenida:

$\log(x) - \log(y) = 1$

$x^2 - y^2 = 99$

Encuentra la solución del siguiente sistema irracional:

$\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y} = 4$

$x - y = 4$

Un ciclista realiza un trayecto de $60$ km a velocidad constante. Si hubiera viajado $2$ km/h más rápido, habría tardado $1$ hora menos en completar el recorrido. Plantea y resuelve un sistema no lineal para encontrar la velocidad media $v$ y el tiempo $t$ empleado.

Un grupo de amigos decide comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $120$ €, dividiendo el pago a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que la cuota de cada uno se reduzca en $3$ €. Plantea y resuelve un sistema para hallar cuántos amigos eran inicialmente y cuánto pagaba cada uno.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $13$ cm y el perímetro total es de $30$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la longitud de los dos catetos.

Resuelve el siguiente sistema formado por una ecuación racional y una cuadrática:

$\frac{x+y}{x-y} = 5$

$x^2 + y^2 = 13$

La órbita circular de un satélite en un sistema de referencia sigue la ecuación $x^2 + y^2 = 25$, mientras que la trayectoria de un cometa describe la hipérbola $xy = 12$. Resuelve el sistema para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.

Discute para qué valores del parámetro $k$ el siguiente sistema tiene exactamente una solución (esto equivale geométricamente a la condición de tangencia entre la circunferencia y la recta):

$x^2 + y^2 = 10$

$x + y = k$

Resuelve el siguiente sistema mixto que combina ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

$2^x \cdot 2^y = 64$

$\log_2 x + \log_2 y = 3$

Resuelve el sistema de ecuaciones de grado superior. (Sugerencia: utiliza los productos notables y la factorización para simplificar la primera ecuación):

$x^3 + y^3 = 35$

$x + y = 5$

Un depósito cilíndrico de chapa tiene un volumen interior de $54\pi$ m³ y un área lateral (sin contar las bases) de $36\pi$ m². Plantea un sistema para hallar el radio de la base $r$ y la altura $h$ del cilindro, y resuélvelo.

Un capital $C$ se invierte a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno). Al finalizar el primer año, el montante generado es de $11000$ €. Al finalizar el segundo año, el montante asciende a $12100$ €. Plantea un sistema no lineal para calcular el capital inicial $C$ y la tasa de interés $r$, y resuélvelo.

Resuelve el siguiente sistema logarítmico aplicando las propiedades de cambio de base y sustitución:

$\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}$

$xy = 27$

Resuelve el siguiente sistema irracional, asegurándote de comprobar qué soluciones son válidas analizando el dominio de las raíces:

$\sqrt{x^2 - y^2} = \sqrt{33}$

$x + y = 11$