Exercicis: Discussió d'un sistema de dues equacions

Discuteix, en funció del paràmetre $m$, el següent sistema d'equacions lineals:

$x - 2y = 3$

$mx + 4y = -6$

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè el següent sistema sigui incompatible:

$3x + ky = 5$

$6x - 4y = 2$

Troba el valor de $a$ perquè el següent sistema tingui infinites solucions. Escriu la solució general en aquest cas.

$2x - y = a$

$-4x + 2y = 8$

Discuteix la posició relativa de les rectes $r: px + 3y = 1$ i $s: 2x + py = 0$ en funció del paràmetre $p$.

Discuteix el següent sistema d'equacions en funció del paràmetre $t$:

$tx + y = t$

$x + ty = 1$

Troba els valors del paràmetre $b$ per als quals el següent sistema és compatible determinat:

$x + by = 2$

$bx + y = 2$

Discuteix el sistema depenent del paràmetre $c$:

$cx - 2y = 1$

$x - cy = 2$

Atès el següent sistema d'equacions lineals:

$3x - 2y = 4$

$x + y = m$

Existeix algun valor del paràmetre $m$ per al qual el sistema sigui incompatible? Justifica la teva resposta matemàticament.

Per classificar el sistema $\begin{cases} 3x - ky = 6 \\ 6x - 4y = 12 \end{cases}$ en funció del paràmetre $k \in \mathbb{R}$, en Marcos escriu al seu examen:

«Igualo les raons dels coeficients: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-k}{-4} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{4} \implies k = 2$. Com que la raó dels termes independents és $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$, les tres raons són idèntiques i el sistema és compatible indeterminat (rectes coincidents) si $k=2$. Per tant, si $k \ne 2$, com que les raons de coeficients ja no coincideixen amb la dels termes independents, el sistema no té solució (és incompatible; rectes paral·leles)».

1. a) Assenyala l'error conceptual que comet en Marcos en la seva deducció per a $k \ne 2$ i explica la diferència geomètrica que ha ignorat entre rectes secants i rectes paral·leles.
2. b) Corregeix l'anàlisi i escriu la discussió completa del sistema per a tots els valors reals de $k$.

Es vol dissenyar un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites ($x$ i $y$) que depengui d'un paràmetre real $a$ i d'una constant fixa $c$:

$\begin{cases} 2x + ay = 4 \\ ax + 8y = c \end{cases}$

1. a) Planteja el problema invers: determina quin valor numèric concret i positiu ha de tenir la constant $c$ perquè existeixi almenys un valor d'$a$ que faci que ambdues rectes siguin coincidents (sistema compatible indeterminat).
2. b) Amb aquest valor de $c$ fixat, troba els dos valors crítics d'$a$ i discuteix completament el sistema (SCD, SCI o SI) per a tots els valors possibles d'$a \in \mathbb{R}$, interpretant geomètricament la posició relativa de les rectes en cada cas.

Dos drons de vigilància segueixen trajectòries rectilínies descrites pel següent sistema, on $v$ és un paràmetre relacionat amb la velocitat del vent:

$vx + 2y = 4$

$2x + vy = v$

Discuteix per a quins valors de $v$ les trajectòries dels drons es creuen en un únic punt, són paral·leles o coincideixen exactament.

Discuteix, en funció del paràmetre $k$, el següent sistema d'equacions:

$(k+1)x + y = 2$

$kx + (k-1)y = 1$

En un estudi de mercat, les corbes d'oferta i demanda d'un producte tecnològic venen donades per un sistema lineal depenent d'un impost $t$:

$2x - ty = 3$

$tx + 2y = 4$

Discuteix la compatibilitat del sistema segons els valors de $t$. Es pot donar el cas que no existeixi un punt d'equilibri (és a dir, que el sistema sigui incompatible) si $t$ és un nombre real?

Discuteix el següent sistema i, en els casos en què sigui compatible indeterminat, expressa les infinites solucions en funció d'un paràmetre $\lambda$:

$mx + (m+1)y = m$

$mx + 2my = 2$

Determina per a quins valors del paràmetre $a$ el següent sistema té una solució única $(x, y)$ tal que el punt d'intersecció de les dues rectes es trobi exactament sobre l'eix d'ordenades ($x=0$):

$ax + 3y = 6$

$2x - ay = a$

En una planta química, es mesclen dues solucions líquides. Les equacions que modelen el balanç de massa del procés depenen de la concentració $c$ d'un reactiu específic:

$cx + 4y = c^2$

$x + cy = 2$

Discuteix la compatibilitat del sistema en funció de la concentració $c$.

Discuteix el sistema en funció del paràmetre $m$:

$x + y = m$

$m^2 x + y = m^2$

Dos cables d'alta tensió es modelen en un pla mitjançant les rectes $r: 2x + (k-2)y = k$ i $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discuteix la posició relativa dels cables en funció del paràmetre $k$ per evitar possibles curtcircuits.

Considera el sistema d'equacions lineals $\begin{cases} x + my = 3 \\ mx + 9y = 9 \end{cases}$, on $m$ és un paràmetre real.

1. a) Estima: Abans de fer transformacions algebraiques formals, observa detingudament els coeficients:

• Estima quins dos valors oposats d'$m$ faran que els pendents d'ambdues rectes coincideixin.

• Conjectura raonadament si per a tots dos signes d'$m$ les rectes arribaran a coincidir en tots els seus punts o si per a algun d'ells resultaran ser paral·leles diferents, fixant-te en el signe dels termes independents.

1. b) Comprova: Discuteix rigorosament el sistema per a tot $m \in \mathbb{R}$ mitjançant l'estudi de les raons $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$ i $\dfrac{c_1}{c_2}$. Classifica'l en compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible.
2. c) Valora: Compara el resultat formal amb la teva estimació inicial de l'apartat a). Es va complir la teva conjectura sobre la coincidència de les rectes? Justifica per què la igualtat algebraica confirma o corregeix la intuïció visual.

En els protocols de control ambiental d'una estació de l'AEMET en una zona industrial, es monitoritzen dos gasos contaminants primaris, $x$ i $y$ (expressats en $\mu\text{g/m}^3$), mitjançant dos sensors calibrats les lectures dels quals depenen d'un índex tèrmic estandarditzat $t \in \mathbb{R}$ segons el model:

$\begin{cases} x + ty = 5 \\ tx + 9y = 15 \end{cases}$

1. a) Discuteix el sistema per a tots els valors de l'índex tèrmic $t$. Identifica per a quins valors de $t$ les lectures proporcionen una concentració única i ben definida per a ambdós gasos (sistema compatible determinat).
2. b) Determina per a quina temperatura ambiental el protocol produeix infinites solucions vàlides (sistema compatible indeterminat) i explica què significa això a la pràctica per als tècnics de l'estació.
3. c) Esbrina si existeix algun valor de $t$ per al qual els sensors ofereixin lectures contradictòries i impossibles de complir simultàniament (sistema incompatible) i interpreta geomètricament quina relació tenen les rectes associades a cada sensor en aquesta situació.

Discuteix el següent sistema d'equacions lineals en funció dels paràmetres $a$ i $b$:

$ax + y = b$

$x + ay = 2$

La trajectòria d'un projectil segueix una paràbola descrita per l'equació $y = -x^2 + 4x$, mentre que un feix làser de defensa segueix la recta $y = mx$. Discuteix el nombre de punts d'intersecció entre el projectil i el làser en funció del paràmetre $m$ (que representa el pendent del làser).

Discuteix el següent sistema lineal en funció del paràmetre $k$ (considera que $k \neq 0$ i $k \neq 1$):

$\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$

$kx + (k-1)y = 2$

En un circuit elèctric, les intensitats $I_1$ i $I_2$ compleixen el següent sistema depenent d'una resistència variable $R$:

$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$

$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$

Discuteix l'existència i unicitat de les intensitats en funció del valor de la resistència $R$.

Discuteix la compatibilitat del següent sistema no lineal en funció del paràmetre $k$:

$x^2 - y^2 = k$

$x + y = 2$

Discuteix el sistema en funció dels paràmetres $m$ i $n$:

$mx + ny = 1$

$nx + my = 1$

Determina les condicions exactes sobre $m$ i $n$ perquè el sistema sigui incompatible.

Un satèl·lit orbita seguint una trajectòria circular modelada en el pla per l'equació $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa es desplaça en línia recta segons l'equació $x + y = c$, on $c$ és un paràmetre que depèn de la seva posició inicial. Discuteix el nombre de punts de col·lisió entre el satèl·lit i el cometa en funció de $c$.

Discuteix el següent sistema lineal amb paràmetre $\alpha \in [0, 2\pi]$:

$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$

$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$

Existeix algun valor de $\alpha$ per al qual el sistema no sigui compatible determinat? Justifica la teva resposta matemàticament.

Per classificar el sistema $\begin{cases} \lambda x + 2y = 4 \\ (\lambda + 3)x + (\lambda + 1)y = 6 \end{cases}$ en funció del paràmetre $\lambda \in \mathbb{R}$, dos estudiants d'1r de Batxillerat proposen camins diferents:

• Sara decideix igualar les raons entre coeficients: $\dfrac{\lambda}{\lambda + 3} = \dfrac{2}{\lambda + 1} = \dfrac{4}{6}$.

• Álvaro prefereix transformar el sistema per reducció (mètode de Gauss) per triangular-lo abans d'extreure conclusions.

1. a) Analitza críticament el mètode de la Sara: quin perill matemàtic sorgeix amb els valors $\lambda = -3$ i $\lambda = -1$? Significa l'anul·lació d'un denominador que el sistema sigui incompatible en aquests valors, o només que aquesta eina concreta no es pot aplicar directament?
2. b) Discuteix i classifica el sistema per a tot $\lambda \in \mathbb{R}$ analitzant amb rigor què passa exactament en els casos particulars $\lambda = -3$ i $\lambda = -1$ i en els valors on els pendents s'igualen.
3. c) Avalua ambdós mètodes: justifica quin dels dos resulta més fiable quan els paràmetres apareixen en diversos coeficients d'una mateixa incògnita i en quins casos compensa utilitzar la regla de les raons.

En l'espai aeri d'aproximació a l'aeroport Adolfo Suárez Madrid-Barajas, la torre de control monitoritza dues aeronaus les trajectòries rectilínies de les quals en el pla de navegació horitzontal estan descrites pel sistema:

$\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = b \end{cases}$

on $a$ i $b$ són paràmetres reals fixats per les radiobalses i les maniobres d'aproximació.

1. a) Resol el problema invers determinant quina relació algebraica exacta han de guardar els paràmetres $a$ i $b$ perquè:

1. Les trajectòries es tallin en un únic punt situat exactament sobre l'eix d'abscisses ($y = 0$).

2. Hi hagi un risc crític de col·lisió continuada pel fet de ser trajectòries idèntiques (rectes coincidents).

3. Els avions segueixin trajectòries estrictament paral·leles però separades (rectes paral·leles no coincidents).

1. b) Fes una discussió exhaustiva del sistema classificant-lo (SCD, SCI o SI) per a qualsevol combinació de valors $(a, b) \in \mathbb{R}^2$.
2. c) Demostra mitjançant un raonament algebraic rigorós si és possible trobar algun parell de paràmetres $(a, b)$ que faci que el punt d'encreuament únic de les dues trajectòries sigui l'origen de coordenades $(0, 0)$.