Ejercicios: Discusión de un sistema de dos ecuaciones

Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$x - 2y = 3$

$mx + 4y = -6$

Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:

$3x + ky = 5$

$6x - 4y = 2$

Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso.

$2x - y = a$

$-4x + 2y = 8$

Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:

$tx + y = t$

$x + ty = 1$

Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:

$x + by = 2$

$bx + y = 2$

Discute el sistema dependiente del parámetro $c$:

$cx - 2y = 1$

$x - cy = 2$

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$3x - 2y = 4$

$x + y = m$

¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta matemáticamente.

Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:

$vx + 2y = 4$

$2x + vy = v$

Discute para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.

Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones:

$(k+1)x + y = 2$

$kx + (k-1)y = 1$

En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$:

$2x - ty = 3$

$tx + 2y = 4$

Discute la compatibilidad del sistema según los valores de $t$. ¿Puede darse el caso de que no exista un punto de equilibrio (es decir, que el sistema sea incompatible) si $t$ es un número real?

Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$mx + (m+1)y = m$

$mx + 2my = 2$

Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre exactamente sobre el eje de ordenadas ($x=0$):

$ax + 3y = 6$

$2x - ay = a$

En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo específico:

$cx + 4y = c^2$

$x + cy = 2$

Discute la compatibilidad del sistema en función de la concentración $c$.

Discute el sistema en función del parámetro $m$:

$x + y = m$

$m^2 x + y = m^2$

Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:

$ax + y = b$

$x + ay = 2$

La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).

Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$):

$\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$

$kx + (k-1)y = 2$

En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$:

$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$

$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$

Discute la existencia y unicidad de las intensidades en función del valor de la resistencia $R$.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:

$x^2 - y^2 = k$

$x + y = 2$

Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:

$mx + ny = 1$

$nx + my = 1$

Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.

Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discute el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.

Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$:

$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$

$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$

¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el sistema no sea compatible determinado? Justifica tu respuesta matemáticamente.