Exercicis: Equacions de la recta en el pla

Escriu l'equació vectorial i les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt $A(3, -2)$ i té com a vector director $\vec{v} = (-1, 4)$.

Dada la recta en equacions paramètriques $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, expressa-la en forma contínua i en forma general.

Determina el pendent i l'ordenada en l'origen de la recta que té com a equació general $4x - 2y + 8 = 0$.

Escriu l'equació punt-pendent de la recta que passa pels punts $P(-1, 5)$ i $Q(2, -1)$.

Comprova si els punts $M(4, -3)$ i $N(1, 2)$ pertanyen a la recta d'equació contínua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Troba l'equació explícita de la recta que passa per l'origen de coordenades i té un pendent $m = -\frac{3}{5}$.

Escriu les equacions implícites de la recta horitzontal que passa pel punt $H(-7, 4)$ i de la recta vertical que passa pel punt $V(3, -9)$.

Dada l'equació implícita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vector director, un vector normal i un punt per on passi la recta.

En un examen de Matemàtiques, l'Alejandro ha d'escriure l'equació contínua de la recta que passa pel punt $A(-3, 5)$ i té vector director $\vec{v} = (2, -4)$. Al seu full escriu:

En corregir-lo, la seva professora assenyala que la resposta conté un error conceptual molt estès.

1. a) Identifica amb precisió les dues errades de signe que ha comès l'Alejandro en els numeradors de l'expressió.
2. b) Explica l'origen d'aquest error deduint l'equació contínua pas a pas a partir de les equacions paramètriques: escriu primer $x = a_1 + t\cdot v_1$ i $y = a_2 + t\cdot v_2$ amb les dades de l'enunciat i aïlla el paràmetre $t$ en cadascuna per demostrar per què els signes han de ser els oposats als que ha posat l'Alejandro.
3. c) Escriu l'equació contínua correcta i, a partir d'aquesta, obtén l'equació general de la recta simplificant els coeficients enters al màxim.

Dissenya la trajectòria rectilínia d'un robot de transport en un centre logístic complint les especificacions següents:

1. a) Escriu unes equacions paramètriques d'una recta que passi pel punt $P(4, -1)$ i el pendent de la qual sigui exactament $m = -\frac{2}{3}$.
2. b) A partir de les dades anteriors, escriu directament l'equació punt-pendent de la recta prenent com a referència el punt $P$.
3. c) Una comanyera afirma que una altra resposta vàlida per a les equacions paramètriques de la mateixa recta és $x = 1 - 6k$, $y = 1 + 4k$ ($k \in \mathbb{R}$). Comprova si el punt que ella ha fet servir com a base pertany a la recta i si el seu vector director és colineal amb el teu. Conclou argumentant per què les equacions paramètriques d'una recta no són úniques i quins elements poden variar representant geomètricament la mateixa recta.

Un dron de vigilància es desplaça en línia recta i a velocitat constant des del punt $A(10, 20)$ fins al punt $B(50, 80)$, amb les coordenades mefides en metres. Escriu les equacions paramètriques de la seva trajectòria i indica quines seran les seves coordenades quan hagi recorregut exactament la meitat del trajecte.

El cost de producció d'un component electrònic segueix un model lineal. Fabricar $100$ unitats costa $450$ €, i fabricar $250$ unitats costa $825$ €. Determina l'equació explícita que relaciona el cost $y$ amb el nombre d'unitats $x$, i calcula el cost fix de producció (el cost quan es fabriquen $0$ unitats).

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $3x - ky + 5 = 0$ passi pel punt $P(-2, 1)$. Un cop trobat $k$, escriu l'equació de la recta en forma contínua.

En el disseny d'un pont penjant, un dels cables tensors d'acer ha d'unir el punt d'ancoratge $P(0, 15)$ amb la base $Q(40, 0)$ (coordenades en metres). Troba l'equació general de la recta que defineix el cable i determina a quina altura es troba quan la distància horitzontal des de l'eix $Y$ és de $16$ metres.

Troba l'equació general de la recta que passa pel punt $A(-4, 6)$ i és paral·lela a la recta que uneix els punts $B(1, 1)$ i $C(3, -5)$.

Una canonada subterrània segueix la trajectòria donada per les equacions paramètriques $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en km). Determina en quins punts exactes la canonada creua els eixos de coordenades.

Calcula l'àrea del triangle que forma la recta $2x + 5y - 20 = 0$ amb els eixos de coordenades cartesianes.

Expressa la recta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ en forma vectorial i troba tres punts diferents que hi pertanyin, on almenys un tingui abscissa negativa.

Considera la recta $r$ que passa pels punts $A(-2, 7)$ i $B(4, -5)$.

1. a) Abans de calcular cap equació analítica:

• Observa com varien les coordenades en passar d'$A$ a $B$ i estima el signe del pendent (la recta ascendeix o descendeix d'esquerra a dreta?).

• Sabent que el punt $A$ té $x = -2$ amb $y = 7$ i el punt $B$ té $x = 4$ amb $y = -5$, estima raonadament si l'ordenada a l'origen $n$ (el tall amb l'eix $Y$, on $x = 0$) serà positiva o negativa, i si el seu valor estarà més a prop de $7$ o de $-5$.

1. b) Escriu l'equació contínua de la recta $r$ i transforma-la mitjançant passos algebraics nets fins a obtenir la seva equació explícita $y = mx + n$.
2. c) A partir de l'equació explícita, calcula les coordenades exactes dels punts de tall amb l'eix d'ordenades ($x = 0$) i amb l'eix d'abscisses ($y = 0$). Comprova si el valor de l'ordenada a l'origen coincideix amb la teva estimació inicial i justifica geomètricament per què aquest valor queda a aquesta alçada.

Es vol trobar l'equació general de la recta $s$ que passa pel punt $P(-3, 2)$ i és perpendicular a la recta $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode d'en Sergio: Aïllar $y$ a la recta $r$ per trobar el seu pendent $m_r$; calcular el pendent perpendicular $m_s = -\frac{1}{m_r}$; escriure l'equació en forma punt-pendent amb $P(-3, 2)$ i, finalment, treure denominadors i transposar termes per arribar a l'equació general.

• Mètode de la Irene: Obtenir directament dels coeficients de $r$ el seu vector normal $\vec{n}_r = (2, -5)$; deduir que aquest vector és un vector director de la recta perpendicular $s$; extreure'n un vector normal per a $s$, $\vec{n}_s = (5, 2)$; i plantejar l'equació $5x + 2y + C = 0$, trobant $C$ en substituir les coordenades de $P$.

1. a) Compara els dos camins analitzant-ne els avantatges i els inconvenients: nombre de passos, aparició de fraccions intermèdies i probabilitat de cometre errors operatius amb els signes.
2. b) Justifica quin dels dos mètodes és més eficient i directe per a aquest exercici.
3. c) Aplica el mètode que has seleccionat com a preferible per determinar l'equació general de $s$.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la recta donada en forma paramètrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ representi la mateixa recta que l'equació general $4x + 3y - 10 = 0$.

Un raig làser parteix del punt $A(2, 5)$, incideix sobre un mirall pla situat al llarg de l'eix d'abscisses, es reflecteix i passa pel punt $B(8, 3)$. Sabent que l'angle d'incidència és igual a l'angle de reflexió, troba les equacions de les rectes que contenen el raig incident i el raig reflectit, i el punt exacte de rebot al mirall.

Els costats d'un triangle estan continguts en les rectes $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ i $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcula les coordenades dels seus tres vèrtexs i decideix, calculant les longituds dels seus costats, de quin tipus de triangle es tracta.

Demostra que si una recta talles els eixos de coordenades en els punts $(a, 0)$ i $(0, b)$, amb $a \neq 0$ i $b \neq 0$, la seva equació es pot escriure en la forma segmentària $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utilitza aquest resultat per a trobar l'equació d'una recta que forma amb els eixos cartesians un triangle d'àrea $12 \text{ u}^2$ sabent que $a = 2b$ i que tots dos interseptes són positius.

Dos avions es mouen en el pla d'un radar. L'avió $A$ segueix la trajectòria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, i l'avió $B$ segueix la trajectòria $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (on $t$ és el temps en minuts i les coordenades estan en km). Determina el punt exacte on es creuen les seves trajectòries i esbrina si els avions arriben a col·lisionar (és a dir, si passen per aquest punt en el mateix instant $t$).

Troba l'equació de la recta que passa pel punt d'intersecció de les rectes $r: 2x - y + 5 = 0$ i $s: x + 3y - 1 = 0$, i que forma amb els semieixos negatius de coordenades un triangle isòsceles.

Dat el punt $P(3, 4)$ i la recta $r: 2x + y - 5 = 0$, troba les coordenades d'un punt $Q$ situat sobre l'eix d'ordenades de manera que la recta que uneix $P$ i $Q$ tingui la mateixa ordenada en l'origen que la recta $r$.

Considera el feix de rectes determinat per l'equació $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Troba el centre del feix (el punt per on passen totes les rectes independentment del valor de $k$) i determina el valor de $k$ per al qual la recta del feix té un pendent de $\frac{3}{5}$.

En un estudi meteorològic de l'AEMET al Parc Nacional de Sierra Nevada (Granada), s'analitza la variació de la temperatura amb l'altitud durant una jornada hivernal anticiclònica. A l'estació de Pradollano (cota $x_1 = 2100\text{ m}$) es mesura al migdia una temperatura de $y_1 = 8,4\ ^\circ\text{C}$, mentre que a l'estació propera al cim del Veleta (cota $x_2 = 3100\text{ m}$) el termòmetre marca simultàniament $y_2 = 1,9\ ^\circ\text{C}$. S'assumeix un comportament lineal entre l'altitud $x$ (en metres) i la temperatura $y$ (en $^\circ\text{C}$).

1. a) Escriu l'equació contínua que modelitzi aquesta relació lineal prenent com a punt de referència Pradollano i un vector director les components del qual reflecteixin la variació de temperatura per cada $1000\text{ m}$ d'ascens.
2. b) Transforma aquesta equació a la forma explícita $y = mx + n$. Interpreta amb rigor físic el significat del pendent $m$ (gradient tèrmic vertical) i de l'ordenada a l'origen $n$. Té sentit físic el valor numèric de $n$ si es compara amb una temperatura versemblant al nivell del mar ($x = 0$) a la costa mediterrània andalusa?
3. c) Utilitza el model lineal per calcular l'altitud de la cota de neu (isozero tèrmic: altitud on la temperatura descendeix fins als $0\ ^\circ\text{C}$). A partir d'aquesta dada, justifica si un muntanyenc que coroni el cim del Mulhacén ($3479\text{ m}$) registrarà temperatures positives o sota zero en aquell mateix instant.

Una recta $r$ de pendent negatiu passa pel punt $A(2, 3)$ i talla la part positiva dels eixos de coordenades en els punts $P(p, 0)$ i $Q(0, q)$, determinant amb l'origen de coordenades un triangle rectangle situat al primer quadrant l'àrea del qual mesura exactament $12\text{ u}^2$.

1. a) Dedueix pas a pas que l'equació contínua de la recta que passa per $(p, 0)$ i $(0, q)$ es pot reescriure en la forma segmentària $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$.
2. b) Sabent que el punt $A(2, 3)$ pertany a la recta i que l'àrea del triangle és $\frac{p\cdot q}{2} = 12$, planteja un sistema de dues equacions algebraiques amb incògnites $p$ i $q$.
3. c) Resol el sistema i demostra que únicament existeix una parella de valors reals $(p, q)$ que compleix ambdues condicions simultàniament. Amb aquests valors, escriu l'equació general de la recta.
4. d) Analitza algebraicament per què el discriminant de l'equació de segon grau que sorgeix en resoldre el sistema resulta ser exactament zero per a una àrea de $12\text{ u}^2$, i interpreta geomètricament què passaria amb l'existència de rectes que passin per $A(2,3)$ si haguéssim exigit que l'àrea del triangle fos menor, per exemple de $10\text{ u}^2$.