Ejercicios: Ecuaciones de la recta en el plano

Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(3, -2)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (-1, 4)$.

Dada la recta en ecuaciones paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, exprésala en forma continua y en forma general.

Determina la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación general es $4x - 2y + 8 = 0$.

Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(-1, 5)$ y $Q(2, -1)$.

Comprueba si los puntos $M(4, -3)$ y $N(1, 2)$ pertenecen a la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene una pendiente $m = -\frac{3}{5}$.

Escribe las ecuaciones implícitas de la recta horizontal que pasa por el punto $H(-7, 4)$ y de la recta vertical que pasa por el punto $V(3, -9)$.

Dada la ecuación implícita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vector director, un vector normal y un punto por el que pase la recta.

Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta y a velocidad constante desde el punto $A(10, 20)$ hasta el punto $B(50, 80)$, estando las coordenadas medidas en metros. Escribe las ecuaciones paramétricas de su trayectoria e indica cuáles serán sus coordenadas cuando haya recorrido exactamente la mitad del trayecto.

El coste de producción de un componente electrónico sigue un modelo lineal. Fabricar $100$ unidades cuesta $450$ €, y fabricar $250$ unidades cuesta $825$ €. Determina la ecuación explícita que relaciona el coste $y$ con el número de unidades $x$, y calcula el coste fijo de producción (el coste cuando se fabrican $0$ unidades).

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $3x - ky + 5 = 0$ pase por el punto $P(-2, 1)$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de la recta en forma continua.

En el diseño de un puente colgante, uno de los cables tensores de acero debe unir el punto de anclaje $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordenadas en metros). Halla la ecuación general de la recta que define el cable y determina a qué altura se encuentra cuando la distancia horizontal desde el eje $Y$ es de $16$ metros.

Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto $A(-4, 6)$ y es paralela a la recta que une los puntos $B(1, 1)$ y $C(3, -5)$.

Una tubería subterránea sigue la trayectoria dada por las ecuaciones paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en km). Determina en qué puntos exactos la tubería cruza los ejes de coordenadas.

Calcula el área del triángulo que forma la recta $2x + 5y - 20 = 0$ con los ejes de coordenadas cartesianas.

Expresa la recta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ en forma vectorial y encuentra tres puntos distintos que pertenezcan a ella, donde al menos uno tenga abscisa negativa.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta dada en forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente la misma recta que la ecuación general $4x + 3y - 10 = 0$.

Un rayo láser parte del punto $A(2, 5)$, incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas, se refleja y pasa por el punto $B(8, 3)$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla las ecuaciones de las rectas que contienen al rayo incidente y al rayo reflejado, y el punto exacto de rebote en el espejo.

Los lados de un triángulo están contenidos en las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ y $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcula las coordenadas de sus tres vértices y decide, calculando las longitudes de sus lados, de qué tipo de triángulo se trata.

Demuestra que si una recta corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(a, 0)$ y $(0, b)$, con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, su ecuación se puede escribir en la forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utiliza este resultado para hallar la ecuación de una recta que forma con los ejes cartesianos un triángulo de área $12 \text{ u}^2$ sabiendo que $a = 2b$ y que ambos interceptos son positivos.

Dos aviones se mueven en el plano de un radar. El avión $A$ sigue la trayectoria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, y el avión $B$ sigue la trayectoria $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (donde $t$ es el tiempo en minutos y las coordenadas están en km). Determina el punto exacto donde se cruzan sus trayectorias y averigua si los aviones llegan a colisionar (es decir, si pasan por ese punto en el mismo instante $t$).

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas $r: 2x - y + 5 = 0$ y $s: x + 3y - 1 = 0$, y que forma con los semiejes positivos de coordenadas un triángulo isósceles.

Dado el punto $P(3, 4)$ y la recta $r: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de un punto $Q$ situado sobre el eje de ordenadas de manera que la recta que une $P$ y $Q$ tenga la misma ordenada en el origen que la recta $r$.

Considera el haz de rectas determinado por la ecuación $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Halla el centro del haz (el punto por el que pasan todas las rectas independientemente del valor de $k$) y determina el valor de $k$ para el cual la recta del haz tiene una pendiente de $\frac{3}{5}$.