Exercicis: La recta real

Expressa com a interval i com a desigualtat el conjunt de nombres reals que són majors o iguals que $-3$ i estrictament menors que $5$.

Escriu en forma d'interval el conjunt de nombres reals que compleixen la condició $|x| \le 7$.

Dats els intervals $A = [-2, 4)$ i $B = (1, 6]$, determina i expressa com un únic interval el resultat de la unió $A \cup B$ i de la intersecció $A \cap B$.

Expressa l'entorn $E(-1, 3)$ com un interval numèric i descriu-lo mitjançant una desigualtat amb valor absolut.

Calcula la distància a la recta real entre els punts $A = -4,5$ i $B = 2,3$, i expressa l'operació matemàtica utilitzant la notació de valor absolut.

Indica quins dels nombres reals següents pertanyen a l'interval $[-1, \pi)$:

$-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.

Troba els valors de $x$ que satisfan l'equació $|x - 4| = 9$.

Dat l'interval obert $(2, 8)$, expressa'l en forma d'entorn indicant explícitament quin és el seu centre $a$ i el seu radi $r$.

En Marcos està resolent una tasca sobre la recta real i ha de calcular el complementari de l'interval $I = [-3, 5)$ a $\mathbb{R}$. Al seu quadern escriu textualment:

«El complementari és el contrari de l'interval, així que canvio els claudàtors i els signes: $\mathbb{R} \setminus I = (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$».

1. a) Explica detalladament per què el raonament d'en Marcos és erroni, assenyalant què passa específicament amb els nombres $-3$ i $5$ (indica a quin conjunt pertany cadascun d'ells i per què han d'estar o no en el complementari).
2. b) Escriu la solució correcta de $\mathbb{R} \setminus I$ tant en forma d'unió d'intervals com mitjançant una desigualtat lògica que utilitzi la connectiva «o».

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) emet un avís groc per gelades intenses en una comarca de la província de Terol quan la temperatura mínima prevista, $T$ (en $^{\circ}\text{C}$), se situa a una distància no superior a $3\,^{\circ}\text{C}$ respecte a un valor de referència de $-5\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Modela matemàticament aquesta condició escrivint una desigualtat amb valor absolut de la forma $|T - a| \le r$, identificant el centre $a$ i el radi de tolerància $r$.
2. b) Expressa el conjunt de temperatures sota avís en forma d'interval tancat i mitjançant una desigualtat doble de la forma $c \le T \le d$.
3. c) Si en una estació meteorològica es registren $-8,5\,^{\circ}\text{C}$ i en una altra $-1,8\,^{\circ}\text{C}$, determina raonadament si en alguna d'elles es va complir la condició d'avís calculant la distància $d(T, -5)$ en cada cas.

En un laboratori de biologia, una incubadora ha de mantenir una temperatura $T$ en graus Celsius que no difereixi de $37^{\circ}\text{C}$ en més de $0,5^{\circ}\text{C}$. Expressa aquesta condició de tolerància mitjançant una desigualtat amb valor absolut i determina l'interval de temperatures permeses.

Una peça de motor cilíndrica té un diàmetre ideal de $50\text{ mm}$. El control de qualitat rebutja la peça si el diàmetre $d$ mesurat compleix que $|d - 50| > 0,02$. Escriu l'interval de diàmetres que són acceptats pel control de qualitat.

Explica els passos per representar de forma exacta el nombre irracional $\sqrt{13}$ a la recta real utilitzant el teorema de Pitàgores.

Dats els conjunts $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ i $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ i expressa el resultat com un únic interval numèric.

Resol la inequació $|2x - 5| \le 3$ i representa el conjunt solució en forma d'interval.

El preu d'una acció en borsa fluctua al voltant d'un valor central. Si l'interval de fluctuació durant la setmana ha estat $[112,5 , 127,5]$, expressa aquest rang utilitzant la notació d'entorn $E(a, r)$ i mitjançant una desigualtat amb valor absolut de la forma $|x - a| \le r$.

Considera l'interval $I = [-3, 4)$. Determina el conjunt complementari $\mathbb{R} \setminus I$ i expressa'l com la unió de dos intervals.

En una competició de tir amb arc, un llançament es considera "excel·lent" si la fletxa impacta a una distància $d$ del centre de la diana que compleix $|d| < 2,5\text{ cm}$. Si la diana està situada de manera que el seu centre és l'origen de coordenades d'un eix unidimensional, indica l'interval de posicions "excel·lents".

Considera el conjunt de nombres reals que verifiquen la inequació quadràtica $x^2 - 4x - 5 < 0$.

1. a) Estima: Sense aplicar la fórmula quadràtica, observa que el vèrtex de la paràbola associada se situa a $x = 2$ i que per a aquest valor el trinomi és negatiu ($2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = -9$). Sabent que per a $x = 0$ pren el valor $-5$ i per a $x = 6$ pren el valor positiu $7$, estima de manera raonada entre quins dos nombres enters s'ha de trobar l'interval de solucions i quin hauria de ser el seu punt mitjà.
2. b) Calcula: Resol formalment la inequació trobant les arrels de l'equació quadràtica i deduint el signe de la paràbola a cada tram de la recta real.
3. c) Comprova i formalitza: Expressa la solució exacta com un interval obert i com un entorn $E(a, r)$, identificant el seu centre $a$ i el seu radi $r$. Comprova si la teva estimació prèvia era coherent i reflexiona sobre com la simetria de la paràbola respecte al seu vèrtex determina el centre de l'entorn.

Un conjunt fitat $S \subset \mathbb{R}$ compleix dues condicions geomètriques a la recta real:

1. El seu complementari és la unió de dues semirectes disjuntes: $\mathbb{R} \setminus S = (-\infty, -2] \cup [8, +\infty)$.

2. Tots els seus punts disten d'un punt central $c$ menys d'una distància $r$.

1. a) Reconstrueix el conjunt $S$ escrivint-lo com un interval fitat. Determina de manera raonada el centre $c$ i el radi $r$ per expressar $S$ sota la notació d'entorn $E(c, r)$ i com una desigualtat amb valor absolut.
2. b) Un company afirma: «Podem expressar directament el complementari $\mathbb{R} \setminus S$ mitjançant una inequació de la forma $x^2 + bx + d \le 0$ triant adequadament els valors de $b$ i $d$». Justifica per què l'afirmació del teu company és falsa analitzant el signe de qualsevol paràbola amb coeficient quadràtic positiu ($a > 0$), i escriu la inequació quadràtica correcta (amb coeficient principal $1$) el conjunt de solucions de la qual sigui exactament $\mathbb{R} \setminus S$.

Determina els valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ per als quals la intersecció dels intervals $A = (-\infty, 2k]$ i $B = (k + 3, +\infty)$ és un interval de longitud exactament igual a $5$.

Troba el conjunt de nombres reals $x$ que satisfan la inequació $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expressa el resultat en forma d'interval.

La figura mostra la gràfica de la funció $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$ i la recta $y = 7$, perquè puguis contrastar el teu resultat.

En el disseny de la façana d'un edifici, s'utilitza la proporció àuria $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basant-te en la figura adjunta, justifica analíticament per què la construcció mostrada determina exactament el valor de $\phi$ a la recta real.

Expressa com a unió d'intervals el conjunt de tots els nombres reals que compleixen la inequació quadràtica $x^2 - 4x - 5 > 0$.

Demostra, trobant un exemple explícit, que entre els nombres racionals $\frac{10}{7}$ i $\frac{143}{100}$ existeix almenys un nombre irracional.

Resol la inequació amb valors absoluts niats $||x - 1| - 2| \le 1$ i expressa la solució final com la unió de dos intervals tancats.

En un experiment d'òptica, la posició $x$ d'una lent al llarg d'un riell unidimensional ha de satisfer simultàniament dues condicions perquè la imatge estigui enfocada: la distància a la font de llum $A$ (situada a $x=10$) ha de ser major de $5\text{ cm}$, i la distància a la pantalla $B$ (situada a $x=30$) ha de ser menor de $12\text{ cm}$. Expressa aquestes condicions mitjançant un sistema d'inequacions amb valor absolut i determina l'interval vàlid per a la posició $x$.

La mesura del radi d'una esfera és $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilitzant les propietats de les desigualtats i els intervals a la recta real, determina l'interval estricte en què es troba el volum exacte de l'esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sense aproximar en els extrems de l'interval resultant.

Per resoldre la inequació $|x + 3| + |x - 5| \le 12$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode A (Geomètric, proposat per la Lucía): Interpretar l'expressió com la suma de distàncies a la recta real des d'un punt $x$ fins als punts $A = -3$ i $B = 5$, és a dir, $d(x, -3) + d(x, 5) \le 12$. Raona quant val la suma de distàncies si $x$ està dins del segment $[-3, 5]$ i dedueix quant es pot allunyar $x$ cap als costats abans de superar el límit de $12$.

• Mètode B (Analític per trams, proposat pel Darío): Descompondre la recta real en tres trams delimitats per $x = -3$ i $x = 5$, retirar les barres de valor absolut segons el signe de cada binomi a cada zona i resoldre les inequacions resultants.

1. a) Resol la inequació aplicant el Mètode A, detallant el raonament geomètric sobre la recta.
2. b) Resol la inequació aplicant el Mètode B, mostrant el desglossament analític en els tres casos.
3. c) Compara ambdós procediments: quin resulta més eficient en aquest cas particular i per què? En què canviaria l'aplicabilitat del mètode geomètric si la inequació fos $|2x + 3| + |x - 5| \le 12$?

Considera l'interval tancat dependent d'un paràmetre real $k$, $A_k = [k - 1, 2k + 3]$, i el conjunt $B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 2| < 5\}$.

1. a) Caracteritza el conjunt $B$ com un interval obert i calcula el seu complementari $\mathbb{R} \setminus B$, expressant-lo com a unió de dues semirectes disjuntes i indicant amb precisió la pertinença dels extrems.
2. b) Determina la condició algebraica sobre $k$ perquè $A_k$ sigui un interval no degenerat (amb més d'un punt) i obtén l'expressió de la longitud de l'interval $A_k$ en funció de $k$.
3. c) Es vol ajustar el paràmetre $k$ de manera que la intersecció entre l'interval $A_k$ i el complementari de $B$ estigui formada per un únic nombre real, és a dir, $A_k \cap (\mathbb{R} \setminus B) = \{p\}$. Dedueix raonadament tots els valors possibles de $k$ que compleixen aquesta condició i determina el valor del punt de contacte $p$ en cada cas.