Exercicis: Càlcul de límits de funcions

La temperatura d'un component electrònic (en graus Celsius) en funció del temps $t$ (en hores) ve donada per l'expressió $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$. Calcula el límit de la temperatura quan $t$ s'aproxima a $3$ hores.

Calcula el límit algebraic següent resolent la indeterminació mitjançant factorització:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$

Estudia els límits laterals de la funció $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ quan $x$ tendeix a $4$ i determina si existeix el límit global en aquest punt.

La velocitat d'un vehicle de prova (en m/s) en funció del temps $t$ (en segons) està definida a trossos com a $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, i $v(t) = t^2 - 2$ si $t \ge 4$. Determina mitjançant límits laterals si la funció velocitat és contínua en l'instant $t = 4$.

Resol la indeterminació següent factoritzant els polinomis:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$

Dada la funció definida a trossos següent, calcula els límits laterals a $x = 2$ i determina si existeix $\lim_{x \to 2} f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Per resoldre el límit $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{3}{x}}$, en Marcos afirma el següent: «En substituir $x = 0$, la base val $1 + 2 \cdot 0 = 1$. Com que el nombre $1$ elevat a qualsevol exponent sempre dóna $1$, no cal fer cap transformació: el límit és igual a $1$».

1. Explica raonadament l'error conceptual d'en Marcos, distingint entre la potència aritmètica de base constant $1$ i la indeterminació de tipus $1^\infty$.

2. Aplica la regla per a indeterminacions del tipus $1^\infty$ recomanada en els apunts (escrivint el límit com a $e^L$ amb $L = \lim_{x \to a} h(x) \cdot (g(x) - 1)$) i calcula el valor correcte del límit.

Es vol analitzar el comportament de la funció $f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ quan $x$ s'aproxima a $2$.

1. Estima el resultat abans d'operar: avalua la funció en els punts propers a $2$ per l'esquerra ($x = 1,9$ i $x = 1,99$) i per la dreta ($x = 2,01$ i $x = 2,1$). A partir d'aquests càlculs numèrics, conjectura quin hauria de ser el valor del límit $\lim_{x \to 2} f(x)$.

2. Comprova analíticament la teva estimació: comprova quina indeterminació s'obté en substituir directament $x = 2$, factoritza el numerador i calcula el valor exacte del límit.

3. Justifica per què és matemàticament lícit simplificar el factor $(x - 2)$ en el càlcul del límit, tot i que la divisió per zero no està permesa en $x = 2$.

Resol el límit següent multiplicant el numerador i el denominador per l'expressió conjugada corresponent:

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$

Calcula el valor del límit que presenta una indeterminació del tipus resta de fraccions algebraiques:

$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$

Determina el valor del límit següent resolent la indeterminació associada al nombre $e$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$

Una companyia elèctrica estableix la seva tarifa $T(x)$ en euros en funció del consum $x$ en kWh. Per a consums menors de $100$ kWh, la tarifa és $T(x) = 0,15x + 5$. Per a consums majors o iguals a $100$ kWh, la tarifa canvia a $T(x) = \frac{ax^2 + 200}{x}$. Troba el valor del paràmetre $a$ perquè el límit de la tarifa existeixi quan el consum s'acosta a $100$ kWh.

Calcula el límit a l'infinit de la funció següent que conté radicals, analitzant els graus del numerador i del denominador:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x} - 2x}{5x + 1}$

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè es compleixi la igualtat següent en el límit:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$

Estudia l'existència del límit a $x = 0$ de la funció $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculant prèviament els seus límits laterals.

El nombre d'usuaris registrats en una nova plataforma de streaming, expressat en milers, es modelitza mitjançant la funció logística $U(t) = \frac{500}{1 + 49 e^{-0,2t}}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. Cap a quin valor tendeix el nombre d'usuaris amb el pas del temps?

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ que representa el perfil de temperatura d'un procés químic en funció del temps $x$. Determina gràficament els límits següents: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Considera el límit $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$, que presenta una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$. Per resoldre'l, dos estudiants proposen camins algebraics diferents:

• Mètode A (Lucía): Multiplicar i dividir la fracció pel conjugat del numerador, $(\sqrt{x} + 2)$.

• Mètode B (David): Factoritzar el denominador considerant-lo una diferència de quadrats mitjançant la identitat $x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$, i després simplificar.

• Desenvolupa pas a pas el càlcul mitjançant tots dos mètodes i comprova que tots dos condueixen al mateix resultat numèric.

• Si haguessis de calcular en el seu lloc el límit $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x + 1} - 3}{x - 4}$, justifica quin dels dos mètodes anteriors resulta més avantatjós i directe, explicant les limitacions que trobaries en intentar aplicar l'altre mètode.

En un tram regulat de l'autovia A-3 gestionat per la Dirección General de Tráfico (DGT), la velocitat mitjana del flux vehicular $v(d)$ (en $\text{km/h}$) es modelitza en funció de la densitat de trànsit $d$ (en vehicles per quilòmetre) segons la funció a trossos:

on $k$ és una constant real d'ajust.

1. Perquè no es produeixin frenades brusques en la circulació en assolir-se els $50\text{ vehicles/km}$, la velocitat ha de variar de forma contínua; és a dir, ha d'existir $\lim_{d \to 50} v(d)$. Planteja els límits laterals corresponents i iguala les seves expressions per trobar el valor del paràmetre $k$.

2. Amb el valor de $k$ obtingut, calcula $\lim_{d \to +\infty} v(d)$ i interpreta el resultat en el context del trànsit. Raona si el valor obtingut reflecteix fidelment una situació de col·lapse o retenció total, o si evidencia que el model matemàtic té un rang de validesa limitat.

Calcula el límit següent que presenta una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ involucrant arrels quadrades:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$

Resol el límit següent amb indeterminació $\frac{0}{0}$ que conté dos radicals al numerador:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$

Considera un rectangle inscrit en una circumferència de radi $R = 10$ cm. Si $x$ és la longitud de la base del rectangle, la seva àrea ve donada per la funció $A(x) = x \sqrt{400 - x^2}$. Un arquitecte necessita saber com es comporta la proporció entre l'àrea del rectangle i el quadrat de la seva base quan la base es fa molt petita. Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{x^2}$.

La massa relativista d'una partícula en moviment ve donada per $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, on $m_0$ és la massa en repòs, $v$ és la velocitat de la partícula i $c$ és la velocitat de la llum. Calcula el límit de la massa quan la velocitat $v$ tendeix a la velocitat de la llum $c$ per l'esquerra ($v \to c^-$) i interpreta el resultat matemàtic en el context físic.

Calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat següent a l'infinit:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{ax^2 + bx - 1}{x + 2} - 3x \right) = 5$

Resol la indeterminació següent $\infty - \infty$ amb radicals de diferent índex. Para especial atenció a l'estratègia algebraica necessària per unificar o tractar per separat els termes:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - \sqrt{x^2 + 2x} \right)$

Sabent que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el límit trigonomètric següent fent les transformacions algebraiques necessàries (pista: multiplica numerador i denominador pel conjugat del numerador):

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

En un experiment d'òptica, un raig làser travessa un medi amb índex de refracció variable. La desviació del raig defineix un triangle rectangle que té una base de $x$ i una altura donada per la corba $h(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{x}$. Observa el diagrama i calcula el límit de l'àrea del triangle ombritzat $A(x)$ quan $x \to 0^+$.

1. Es considera la funció $f(x) = \left( \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + 2} \right)^{3x}$. Determina de manera raonada el valor del paràmetre real no nul $a$ perquè es verifiqui que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^9$.

2. Amb el valor del paràmetre $a$ trobat, construeix un polinomi de segon grau $P(x) = c x^2 + d x + e$ que compleixi simultàniament dues condicions:

3. La seva ordenada a l'origen coincideix amb aquest paràmetre: $P(0) = a$.

4. El límit quan $x \to 1$ del quocient $\frac{P(x)}{x - 1}$ existeix i és igual a $4$: $\lim_{x \to 1} \frac{P(x)}{x - 1} = 4$.

Explica per què perquè el segon límit existeixi i sigui finit és indispensable que es generi una indeterminació $\frac{0}{0}$ (és a dir, que $P(1) = 0$), i calcula a partir d'això els coeficients $c$ i $d$.

L'Elena ha de resoldre el límit $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$. El seu lliurament conté el desenvolupament següent:

«En tendir $x$ a $+\infty$, dins de l'arrel el terme $6x$ es pot menysprear enfront de $x^2$. Per tant, $\sqrt{x^2 + 6x} \approx \sqrt{x^2} = x$. Substituint això en l'expressió obtenim:

1. Explica l'error conceptual que comet l'Elena en truncar o aproximar sumands de manera aïllada dins d'una indeterminació del tipus $\infty - \infty$.

2. Corregeix l'exercici calculant el valor exacte del límit mitjançant la tècnica del conjugat.

3. Generalitza el problema: analitza i discuteix raonadament el valor del límit $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - ax \right)$ en funció dels possibles valors del paràmetre real $a$ (distingint els casos $a \le 0$, $0 < a < 1$, $a = 1$ i $a > 1$).