Ejercicios: Cálculo de límites de funciones

La temperatura de un componente electrónico (en grados Celsius) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$. Calcula el límite de la temperatura cuando $t$ se aproxima a $3$ horas.

Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$

Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.

La velocidad de un vehículo de prueba (en m/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$ si $t \ge 4$. Determina mediante límites laterales si la función velocidad es continua en el instante $t = 4$.

Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$

Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente:

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$

Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas:

$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$

Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$

Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en euros en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 0,15x + 5$. Para consumos mayores o iguales a $100$ kWh, la tarifa cambia a $T(x) = \frac{ax^2 + 200}{x}$. Halla el valor del parámetro $a$ para que el límite de la tarifa exista cuando el consumo se acerca a $100$ kWh.

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x} - 2x}{5x + 1}$

Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$

Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.

El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística $U(t) = \frac{500}{1 + 49 e^{-0,2t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. ¿Hacia qué valor tiende el número de usuarios con el paso del tiempo?

Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes límites: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$

Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$

Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función $A(x) = x \sqrt{400 - x^2}$. Un arquitecto necesita saber cómo se comporta la proporción entre el área del rectángulo y el cuadrado de su base cuando la base se hace muy pequeña. Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{x^2}$.

La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de la masa cuando la velocidad $v$ tiende a la velocidad de la luz $c$ por la izquierda ($v \to c^-$) e interpreta el resultado matemático en el contexto físico.

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{ax^2 + bx - 1}{x + 2} - 3x \right) = 5$

Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o tratar por separado los términos:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - \sqrt{x^2 + 2x} \right)$

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador):

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$ y cuya altura viene dada por la curva $h(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{x}$. Observa el diagrama y calcula el límite del área del triángulo sombreado $A(x)$ cuando $x \to 0^+$.