Exercicis: Inequacions racionals

Resol la inequació racional següent expressant la seva solució en forma d'interval:

$\frac{x-4}{x+3} > 0$

Troba el conjunt de solucions de la inequació:

$\frac{2x+6}{x-1} \le 0$

Determina per a quins valors de $x$ es compleix la desigualtat següent:

$\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$

Resol la inequació:

$\frac{x}{x-5} < 0$

Troba l'interval solució de la inequació racional:

$\frac{3x-9}{-x+4} \ge 0$

Resol la inequació següent:

$\frac{x^2-9}{x+1} > 0$

Determina els valors de $x$ que verifiquen:

$\frac{4}{x-6} \le 0$

Resol la inequació:

$\frac{-5}{2x+3} > 0$

En Marcos intenta resoldre a la pissarra la inequació racional $\frac{x - 3}{x + 2} \le 0$ i fa el procediment següent:

«Multiplico els dos membres per $(x + 2)$ per eliminar el denominador: $(x - 3) \le 0 \cdot (x + 2) \implies x - 3 \le 0 \implies x \le 3$. Per tant, el conjunt solució és $(-\infty, 3]$».

1. a) Identifica i explica de manera raonada l'error conceptual que comet en Marcos en multiplicar per $(x + 2)$. Per què aquesta operació no és vàlida en una inequació si no coneixem el signe de l'expressió?
2. b) Corregeix l'exercici resolent la inequació pas a pas mitjançant l'estudi de signes en els intervals corresponents i escriu la solució correcta en forma d'interval, justificant per què un extrem és obert i l'altre tancat.

Donada la inequació racional $\frac{x + 5}{x - 1} > 0$:

1. a) Abans de fer cap càlcul formal, estima el comportament de la fracció: quin signe tindrà si avaluem valors de $x$ positius molt grans (per exemple, $x = 100$)? I si prenem valors negatius amb valor absolut molt gran (per exemple, $x = -100$)? A partir d'aquesta observació, conjectura si la solució estarà formada per la unió de dues semirectes infinites o per un únic interval fitat central.
2. b) Resol la inequació trobant les arrels del numerador i del denominador i elaborant la taula de signes.
3. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació inicial i explica per què els dos extrems han de ser oberts malgrat que el numerador s'anul·li en $x = -5$.

Resol la inequació racional següent i expressa la solució mitjançant intervals:

$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$

Troba el conjunt solució de la inequació:

$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$

El cost mitjà diari (en euros) de produir $x$ components electrònics en una fàbrica ve donat per l'expressió $C(x) = \frac{800+15x}{x}$. Determina per a quins nivells de producció el cost mitjà serà estrictament inferior a $25$ euros per component.

El temps $T$ (en hores) que triga una embarcació a recórrer una distància de $120$ km a favor del corrent es modelitza mitjançant $T(v) = \frac{120}{v+4}$, on $v$ és la velocitat pròpia del vaixell en km/h. Per a quines velocitats $v > 0$ el trajecte es realitzarà en menys de $5$ hores?

Resol la inequació racional, parant especial atenció a les arrels múltiples del numerador:

$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$

La taxa de creixement d'una població bacteriana (en milers de bacteris per hora) en funció del temps $t$ (en hores) ve donada per la funció $R(t) = \frac{t^2-16}{t+2}$. En quins intervals de temps $t \ge 0$ la taxa de creixement és estrictament positiva?

Determina el conjunt de valors que satisfan la desigualtat següent entre fraccions algebraiques:

$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$

La concentració d'un fàrmac en el torrent sanguini, mesurada en mg/L, $t$ hores després de la seva administració ve donada per la funció $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. Durant quin interval de temps $t \ge 0$ la concentració del fàrmac és major o igual a $1$ mg/L?

Construeix una inequació racional de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$, on tant $P(x)$ com $Q(x)$ siguin polinomis de grau 1 o 2 descompostos en factors lineals, de manera que el seu conjunt solució sigui exactament $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Per justificar la teva construcció:

1. Explica en quina posició (numerador o denominador) has de col·locar cada arrel per garantir quins extrems s'inclouen i quins s'exclouen obligatòriament del conjunt solució.

2. Determina el signe global de la fracció (o del coeficient principal) perquè els trams positius coincideixin amb els intervals demanats.

3. Comprova el resultat elaborant la taula de signes completa de la inequació que has proposat.

Per resoldre la inequació racional $\frac{2x - 5}{x - 1} \le 1$, tres estudiants proposen estratègies diferents:

• La Lucía passa l'$1$ restant al primer membre, redueix a comú denominador per obtenir una única fracció irreductible $\frac{P(x)}{Q(x)} \le 0$ i construeix la taula de signes.

• En Sergio multiplica els dos membres per $(x - 1)^2$, afirmant que en ser un quadrat és estrictament positiu per a tot $x \ne 1$, cosa que evita invertir el sentit de la desigualtat i elimina els denominadors.

• La Paula divideix el problema en dos casos segons el signe del denominador: Cas 1 ($x - 1 > 0$) on multiplica directament mantenint el sentit, i Cas 2 ($x - 1 < 0$) on inverteix el sentit de la desigualtat, unint les solucions al final.

1. a) Analitza la validesa matemàtica dels tres procediments: són tots correctes des del punt de vista algebraic?
2. b) Compara els tres mètodes i justifica quin consideres més eficient i segur per minimitzar errors de càlcul a 1r de Batxillerat.
3. c) Resol la inequació aplicant el mètode que has seleccionat com a preferible.

Resol la inequació racional següent en la qual el numerador és un polinomi de tercer grau:

$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$

Determina el domini de definició de la funció de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.

Troba el conjunt solució de la inequació racional següent:

$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$

Determina per a quins valors del paràmetre real $k$ la inequació següent es compleix per a tot $x \in \mathbb{R}$:

$\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$

En òptica, l'equació de les lents primes relaciona la distància focal $f$, la distància de l'objecte $p$ i la distància de la imatge $q$ mitjançant la fórmula $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$. Si s'utilitza una lent amb una distància focal $f = 12$ cm, determina per a quines distàncies de l'objecte $p > 0$ la distància de la imatge $q$ serà major de $24$ cm.

Resol la inequació racional, factoritzant prèviament els polinomis del numerador i del denominador:

$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$

L'índex d'eficiència tèrmica $E(r)$ d'un sistema de refrigeració cilíndric depèn del radi $r$ (en metres) dels conductes segons la funció $E(r) = \frac{r^2-4r+3}{r^2-6r+8}$. Els enginyers necessiten que aquest índex sigui estrictament negatiu perquè el sistema no es sobreescalfi. Per a quins valors del radi $r > 0$ el sistema és segur? Recolza't en la representació gràfica de la funció per justificar la teva resposta.

Resol el sistema d'inequacions racionals següent i expressa el resultat com a unió d'intervals:

$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$

Un grup d'estudiants de 1r de Batxillerat d'Osca organitza una sortida als Pirineus. L'empresa d'autocars cobra una tarifa fixa de $540$ € pel lloguer del vehicle més $12$ € individuals per plaça ocupada en concepte d'assegurança de viatge i gestió. L'autocar té una capacitat màxima de $55$ places i, per política de l'empresa, no fa el trajecte si viatgen menys de $15$ persones.

Perquè l'activitat sigui aprovada pel centre, el cost mitjà per alumne participant, $C_m(x)$, no ha de superar els $25$ €.

1. a) Escriu l'expressió analítica del cost mitjà $C_m(x)$ en funció del nombre d'alumnes $x$ i planteja la inequació racional corresponent, indicant les restriccions de la variable $x$ imposades pel context real.
2. b) Resol algebricament la inequació racional passant tots els termes a un membre, reduint a una sola fracció i estudiant els signes dels factors.
3. c) Determina quin és el nombre mínim d'estudiants que s'han d'inscriure perquè l'excursió sigui econòmicament viable.
4. d) Si per un increment en el preu del carburant l'empresa eleva el cost fix a $630$ €, calcula quants alumnes addicionals farien falta com a mínim respecte al cas anterior per no superar el límit de $25$ € per persona.

Es considera la família d'inequacions racionals dependents del paràmetre real $k$:

1. a) Fes una anàlisi prèvia: estudia el discriminant del numerador, $\Delta = k^2 - 64$. Raona com influeix el signe de $\Delta$ en la quantitat d'arrels reals del numerador i en els possibles canvis de signe a la recta real.
2. b) Determina raonadament el valor positiu de $k$ per al qual el conjunt solució de la inequació és exactament $(-\infty, 2) \cup \{4\}$. Justifica per què apareix un punt aïllat ($x = 4$) com a part de la solució en lloc d'un interval continu.
3. c) Amb el valor de $k$ obtingut a l'apartat anterior, comprova la validesa del resultat construint la taula de signes en cadascun dels trams que determinen les arrels.
4. d) Sense fer càlculs addicionals, dedueix quin seria el conjunt solució si la inequació original hagués estat estricta: $\frac{x^2 - kx + 16}{x - 2} < 0$.