Ejercicios: Inecuaciones racionales

Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo:

$\frac{x-4}{x+3} > 0$

Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:

$\frac{2x+6}{x-1} \le 0$

Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:

$\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$

Resuelve la inecuación:

$\frac{x}{x-5} < 0$

Halla el intervalo solución de la inecuación racional:

$\frac{3x-9}{-x+4} \ge 0$

Resuelve la siguiente inecuación:

$\frac{x^2-9}{x+1} > 0$

Determina los valores de $x$ que verifican:

$\frac{4}{x-6} \le 0$

Resuelve la inecuación:

$\frac{-5}{2x+3} > 0$

Resuelve la siguiente inecuación racional y expresa la solución mediante intervalos:

$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$

Encuentra el conjunto solución de la inecuación:

$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$

El coste medio diario (en euros) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{800+15x}{x}$. Determina para qué niveles de producción el coste medio será estrictamente inferior a $25$ euros por componente.

El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$ es la velocidad propia del barco en km/h. ¿Para qué velocidades $v > 0$ el trayecto se realizará en menos de $5$ horas?

Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador:

$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$

La tasa de crecimiento de una población bacteriana (en miles de bacterias por hora) en función del tiempo $t$ (en horas) está dada por la función $R(t) = \frac{t^2-16}{t+2}$. ¿En qué intervalos de tiempo $t \ge 0$ la tasa de crecimiento es estrictamente positiva?

Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas:

$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$

La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. ¿Durante qué intervalo de tiempo $t \ge 0$ la concentración del fármaco es mayor o igual a $1$ mg/L?

Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado:

$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$

Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.

Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional:

$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$

Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$:

$\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$

En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$. Si se utiliza una lente con una distancia focal $f = 12$ cm, determina para qué distancias del objeto $p > 0$ la distancia de la imagen $q$ será mayor de $24$ cm.

Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador:

$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$

El índice de eficiencia térmica $E(r)$ de un sistema de refrigeración cilíndrico depende del radio $r$ (en metros) de los conductos según la función $E(r) = \frac{r^2-4r+3}{r^2-6r+8}$. Los ingenieros necesitan que este índice sea estrictamente negativo para que el sistema no se sobrecaliente. ¿Para qué valores del radio $r > 0$ el sistema es seguro? Apóyate en la representación gráfica de la función para justificar tu respuesta.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:

$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$