Exercicis: Inequacions lineals amb una incògnita

Resol la inequació de primer grau següent:

$3x - 5 < 2x + 4$

Troba el conjunt de solucions de la inequació eliminant primer els parèntesis:

$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$

Resol la inequació amb denominadors següent:

$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$

Tradueix al llenguatge algebraic i resol: "El doble d'un nombre menys tres unitats és estrictament menor que el mateix nombre més cinc unitats."

Donada la inequació $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprova quins dels valors següents pertanyen al seu conjunt solució: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.

Lucía ha resolt a la pissarra la inequació $5 - 2x \le 11$ seguint aquests passos:

1) Resta $5$ a ambdós membres: $-2x \le 6$.

2) Passa el $-2$ dividint: $x \le \frac{6}{-2}$.

3) Conclou que la solució és $x \le -3$, és a dir, l'interval $(-\infty, -3]$.

Tanmateix, en comprovar amb el valor $x = 0$ (que no pertany al seu conjunt solució), observa que $5 - 2\cdot 0 = 5 \le 11$, la qual cosa és una desigualtat indubtablement certa.

1. a) Localitza i explica de manera raonada l'error conceptual comès per Lucía en el seu desenvolupament algebraic.
2. b) Recolzant-te en la recta real i en la inversió de l'ordre entre nombres oposats, justifica per què s'ha d'invertir el sentit de la desigualtat en dividir entre una quantitat negativa.
3. c) Determina el conjunt solució correcte tant en forma de desigualtat com en notació d'interval.

Per resoldre la inequació $3 - 5x < 18$, dos companys de classe plantegen dues estratègies diferents:

• Mètode A (Marcos): Treballa deixant la incògnita al membre esquerre. Resta $3$ a ambdós membres i després divideix entre $-5$, recordant invertir el sentit de la desigualtat per obtenir $x > -3$.

• Mètode B (Sara): Prefereix evitar dividir entre nombres negatius. Suma $5x$ a ambdós membres per obtenir $3 < 18 + 5x$ i aïlla la incògnita cap al membre dret sense alterar el sentit de la desigualtat en cap moment.

1. a) Desenvolupa completament el procediment de Sara (Mètode B) i comprova que s'arriba exactament a la mateixa solució que amb el Mètode A.
2. b) Compara críticament ambdós mètodes: quin avantatge ofereix el mètode de Sara per evitar errors típics de signe i quina precaució especial exigeix en redactar l'interval solució final a partir de l'expressió obtinguda?

Una petita empresa fabrica fundes per a mòbils. Els costos fixos mensuals són de $500$ euros i produir cada funda costa $2$ euros. Si cada funda es ven a $5$ euros, planteja una inequació i determina quantes fundes s'han de vendre com a mínim al mes per obtenir un benefici d'almenys $1000$ euros.

La relació entre la temperatura en graus Fahrenheit ($F$) i graus Celsius ($C$) ve donada per la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Planteja una inequació i resol-la per determinar a partir de quina temperatura en graus Celsius es superen els $86$ graus Fahrenheit.

Un estudiant de 1r de Batxillerat ha obtingut les notes següents en els seus tres primers exàmens de matemàtiques: $6,5$, $7,0$ i $8,2$. Quina nota mínima ha de treure en el quart examen perquè la seva nota mitjana sigui igual o superior a $7,5$?

Considera la inequació $3x - a > 2x + 5$, on $a$ és un paràmetre real. Calcula el valor de $a$ sabent que el conjunt solució de la inequació és l'interval $(8, \infty)$.

Una empresa de lloguer de cotxes (Cia. A) cobra una tarifa fixa de $30$ euros més $0,15$ euros per quilòmetre recorregut. Una altra empresa competidora (Cia. B) cobra $15$ euros fixos més $0,20$ euros per quilòmetre. Planteja una inequació per esbrinar a partir de quants quilòmetres resulta més barat llogar el cotxe a la Cia. A i interpreta el resultat recolzant-te en el gràfic següent.

Una persona que resideix a Ávila viatja periòdicament a Madrid per motius d'estudi en tren de Mitjana Distància. El bitllet senzill d'anada costa $8,40\text{ \euro}$. Renfe ofereix una targeta mensual amb un cost fix d'abonament de $45\text{ \euro}$, amb la qual cada bitllet individual passa a costar una tarifa reduïda de $2,60\text{ \euro}$.

1. a) Modela la situació plantejant una inequació lineal que permeti determinar a partir de quin nombre de viatges mensuals, $x$, resulta més econòmic adquirir l'abonament mensual que comprar bitllets senzills solts.
2. b) Resol algebraicament la inequació plantejada.
3. c) Tenint en compte la naturalesa de la variable (nombre enter de viatges), interpreta el resultat i indica amb precisió quin és el nombre mínim de viatges mensuals que justifiquen la conveniència econòmica de comprar l'abonament.

Donada la inequació amb denominadors:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \ge \frac{x}{2} - 1$

1. a) Abans d'operar algebraicament, fes una estimació raonada: avalua el valor numèric del membre esquerre i del membre dret per als valors enters de prova $x = 0$ i $x = 10$. A partir d'aquestes dues comprovacions, dedueix si esperes que les solucions de la inequació corresponguin a valors petits (menors que una cota) o a valors grans (majors que una cota).
2. b) Resol la inequació de manera exacta multiplicant ambdós membres pel mínim comú múltiple dels denominadors i expressa el conjunt solució obtingut en forma d'interval.
3. c) Comprova si el resultat trobat és coherent amb la teva estimació inicial de l'apartat a) i verifica explícitament si l'extrem de l'interval compleix la igualtat corresponent.

Discuteix i resol la inequació $kx - 3 \le 2x + k$ en funció dels possibles valors del paràmetre real $k$.

Resol la inequació literal següent per a la incògnita $x$, assumint que els paràmetres compleixen la condició $a > b > 0$:

$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} \ge \frac{a^2 - b^2}{ab}$

Una companyia de telecomunicacions ofereix dues tarifes de dades. La Tarifa Plana costa $10$ euros al mes i inclou $2$ GB de dades, cobrant $2$ euros per cada GB addicional. La Tarifa Plus costa $20$ euros al mes i inclou $5$ GB de dades, cobrant $1,5$ euros per cada GB addicional. Si un usuari sap que sempre consumeix més de $5$ GB al mes, quants gigabytes ha de consumir com a mínim perquè la Tarifa Plus li resulti estrictament més econòmica que la Tarifa Plana?

Un ascensor de càrrega té una capacitat màxima de $800$ kg. Un operari que pesa $75$ kg ha de pujar caixes de material de construcció que pesen $22$ kg cadascuna. Si l'operari sempre ha d'acompanyar la càrrega a l'ascensor, planteja i resol una inequació per determinar el nombre màxim de caixes senceres que pot transportar en un sol viatge.

Es volen determinar els paràmetres enters $a$ i $b$ que defineixen la inequació lineal:

$\frac{ax + 5}{3} - b < x + 1$

sabent que es verifiquen simultàniament dues condicions:

1) El seu conjunt de solucions és exactament la semirecta oberta $(-\infty, 4)$.

2) Si s'avalua el primer membre de la inequació a $x = 1$, l'expressió $\frac{ax + 5}{3} - b$ pren exactament el valor $1$.

1. a) Dedueix algebraicament el valor dels coeficients $a$ i $b$ plantejant les equacions o relacions necessàries a partir de la informació disponible.
2. b) Explica quin paper fonamental té el signe del coeficient $(a - 3)$ en aïllar $x$ i justifica rigorosament per què, amb els valors obtinguts, el conjunt solució és $(-\infty, 4)$ i no $(4, +\infty)$.

Considera la inequació lineal en la incògnita $x$ dependent del paràmetre real $m$:

$m(x - 2) + 3x \le 2m + 5(x - 1)$

1. a) Agrupa termes semblants i transforma la inequació a la forma reduïda $(m - 2)x \le k(m)$, on $k(m)$ és un polinomi de grau 1 en $m$.
2. b) Discuteix raonadament el conjunt de solucions de la inequació segons els diferents valors reals de $m$. Especifica per a quins valors de $m$ la solució és una semirecta cap a $-\infty$, per a quins és cap a $+\infty$, i si existeix algun valor per al qual la inequació sigui satisfeta per a tot nombre real ($S = \mathbb{R}$) o per cap ($S = \emptyset$).
3. c) Un estudiant de Batxillerat afirma: «Com que per a $m = 2$ el coeficient de $x$ esdevé $0$, la inequació deixa de tenir sentit i no té cap solució». Analitza de manera crítica aquesta afirmació substituint directament $m = 2$ en l'expressió reduïda i determina si és vertadera o falsa.