Exercicis: Estadística bàsica

Un enginyer agrònom està calibrant un sensor d'humitat del sòl. Les últimes 5 lectures, en percentatges, són: $22, 24, 23, 25, 21$. Calcula la mitjana aritmètica i la desviació típica poblacional d'aquestes mesures.

En un estudi sociològic sobre hàbits de lectura, s'ha enquestat 50 persones sobre el seu sexe ($X$: $1$ per a Home, $2$ per a Dona) i si llegeixen més d'un llibre al mes ($Y$: $1$ per a Sí, $2$ per a No). La taula de freqüències absolutes conjuntes $n_{ij}$ és la següent: $n_{11} = 10$, $n_{12} = 15$, $n_{21} = 20$, $n_{22} = 5$. Construeix la taula de distribució marginal de la variable $Y$ i calcula les seves freqüències relatives.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa el diagrama de dispersió següent que relaciona les hores d'entrenament setmanals ($X$) i el temps en segons en una prova de 100 metres llisos ($Y$) d'un grup d'atletes. Indica si la correlació entre totes dues variables és directa (positiva) o inversa (negativa), i raona visualment si la dependència lineal sembla forta o feble.

El departament de recursos humans d'una empresa d'enginyeria ha recollit dades sobre els anys d'experiència ($X$) i el salari mensual en milers d'euros ($Y$) dels seus empleats. Sabent que la mitjana d'experiència és de $\bar{x} = 5$ anys, el salari mitjà és de $\bar{y} = 2,5$ milers d'euros, la mida de la mostra és $N = 20$ i la suma dels productes creuats és $\sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 280$, calcula la covariància $\sigma_{xy}$.

En una maternitat s'ha mesurat el pes en kg ($X$) i la longitud en cm ($Y$) de 6 nadons, obtenint els parells de valors següents $(x_i, y_i)$: $(3,2; 50)$, $(3,5; 52)$, $(3,2; 51)$, $(3,8; 52)$, $(3,5; 50)$ i $(3,2; 50)$. Construeix la taula de doble entrada (freqüències absolutes conjuntes) per a aquestes dues variables.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir d'una taula de freqüències conjuntes de dues variables $X$ (nombre de germans) i $Y$ (nombre de mascotes domèstiques), es sap que la freqüència marginal absoluta de $X=1$ és $n_{1\bullet} = 40$. D'aquestes 40 persones, 15 tenen $Y=0$ mascotes, 20 tenen $Y=1$ mascota i 5 tenen $Y=2$ mascotes. Calcula la distribució de freqüències relatives de la variable $Y$ condicionada a $X=1$.

Un biòleg marí compara la longitud de dues espècies de peixos. L'espècie Alpha té una longitud mitjana de $40$ cm amb una desviació típica de $4$ cm. L'espècie Beta té una longitud mitjana de $150$ cm amb una desviació típica de $12$ cm. Calcula el coeficient de variació per a totes dues espècies i indica quina presenta més dispersió relativa.

Les puntuacions obtingudes pels 9 membres d'un equip de gimnàstica rítmica en una prova de flexibilitat són: $16, 17, 16, 18, 16, 17, 19, 16, 17$. Determina la moda, la mediana i el primer quartil ($Q_1$) d'aquest conjunt de dades.

En un estudi sobre el rendiment en la matèria de Matemàtiques d'1r de Batxillerat, s'analitza la relació entre l'ús habitual de calculadora gràfica ($X$: Sí, No) i el resultat en l'avaluació final ($Y$: Aprovat, Suspès) sobre una mostra de $50$ estudiants d'un institut. Les dades conjuntes són:

• Estudiants que fan servir calculadora i aproven: $18$

• Estudiants que fan servir calculadora i suspenen: $2$

• Estudiants que no fan servir calculadora i aproven: $15$

• Estudiants que no fan servir calculadora i suspenen: $15$

Carlos, un alumne de la classe, afirma: «El percentatge d'alumnes que aproven per fer servir calculadora és del $36\,\%$, ja que $18/50 = 0{,}36$».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual d'en Carlos en interpretar una freqüència relativa conjunta $f_{11}$ com si fos una freqüència condicionada.
2. b) Planteja i calcula la freqüència relativa condicionada que respon de manera rigorosa a la pregunta: «Entre els alumnes que fan servir calculadora gràfica, quin és el percentatge d'aprovats?». Compara aquest valor amb el percentatge global d'aprovats a la mostra i interpreta la diferència.

En una estació meteorològica de l'AEMET situada a la serra s'han registrat les temperatures màximes següents (en ºC) durant cinc dies consecutius d'hivern: $-2, 1, 3, 4, 9$.

1. a) Sense fer encara operacions formals, estima de manera justificada entre quins dos nombres enters s'ha de situar la mitjana aritmètica $\bar{x}$ i raona si esperes que la desviació típica sigui menor o major que $5$ ºC a la vista del rang de les dades.
2. b) Comprova la teva estimació calculant el valor exacte de la mitjana aritmètica $\bar{x}$, la variància $\sigma^2$ i la desviació típica $\sigma$.
3. c) Avalua la funció d'error quadràtic $f(c) = \sum_{i=1}^5 (x_i - c)^2$ per als valors $c = 2$, $c = \bar{x}$ i $c = 4$. Comprova numèricament si es compleix la propietat teòrica que aquesta funció assoleix el seu valor mínim estrictament en la mitjana aritmètica.

Una clínica veterinària classifica els gossos atesos en un mes segons la seva mida ($X$: $1$ = Petit, $2$ = Mitjà, $3$ = Gran) i el nombre de visites al veterinari en l'últim any ($Y$: $1, 2, 3$). La taula de freqüències conjuntes $n_{ij}$ és:

• Per a $X=1$: $n_{11}=12$, $n_{12}=8$, $n_{13}=5$

• Per a $X=2$: $n_{21}=10$, $n_{22}=15$, $n_{23}=10$

• Per a $X=3$: $n_{31}=4$, $n_{32}=6$, $n_{33}=10$

Calcula la mitjana aritmètica i la variància de la distribució marginal del nombre de visites ($Y$).

El diagrama de dispersió següent representa el preu en milers d'euros ($Y$) enfront de l'antiguitat en anys ($X$) d'un model específic de furgoneta de segona mà. A partir dels punts mostrats exactament sobre les interseccions de la quadrícula en la gràfica, construeix la taula de dades bidimensional i calcula la mitjana marginal de l'antiguitat $\bar{x}$ i la mitjana marginal del preu $\bar{y}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi d'agronomia, s'analitza la quantitat de fertilitzant aplicat en kg/ha ($X$) i el rendiment de la collita en tones/ha ($Y$). Es disposa de la taula de doble entrada següent per a les freqüències conjuntes $n_{ij}$:

Calcula la mitjana i la desviació típica del rendiment de la collita condicionada al fet que s'hagin aplicat $20$ kg/ha de fertilitzant (és a dir, de la distribució $Y | X=20$).

Dues fàbriques de components aeronàutics produeixen peces el temps de vida útil de les quals és una variable estadística. La fàbrica Alpha produeix components amb una vida útil mitjana de $1200$ hores i una variància de $14400$ hores$^2$. La fàbrica Beta produeix components amb una vida útil mitjana de $800$ hores i una variància de $10000$ hores$^2$. Justifica, calculant una mesura de dispersió relativa adequada, quina fàbrica té una producció més homogènia.

S'analitzen dues variables qualitatives en una mostra de $200$ turistes: continent d'origen ($X$: Europeu, Americà, Asiàtic) i tipus d'allotjament ($Y$: Hotel, Apartament). Les freqüències relatives marginals són: Europeus $50\%$, Americans $30\%$, Asiàtics $20\%$. Per a l'allotjament: Hotel $60\%$, Apartament $40\%$. Si s'assumeix que totes dues variables són estadísticament independents, quants turistes de la mostra s'espera que siguin americans i s'allotgin en un apartament simultàniament?

En una estació meteorològica s'ha agrupat la velocitat màxima diària del vent ($X$, en km/h) en els intervals següents: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, amb freqüències absolutes $5, 12, 8, 5$ respectivament. Fent servir les marques de classe de cada interval, calcula la mitjana aritmètica i la variància de la velocitat del vent.

Un equip de ciclistes ha registrat les distàncies recorregudes en els seus últims 4 entrenaments: $45, 50, x, 60$ quilòmetres. Sabent que la distància mitjana dels 4 entrenaments és exactament de $52,5$ km, determina primer el valor de l'entrenament que falta ($x$) i, a continuació, calcula la desviació típica poblacional dels 4 entrenaments.

El diagrama de dispersió següent mostra la relació entre la força aplicada a una molla en Newtons ($X$) i la seva longitud en centímetres ($Y$). Sabent que els parells de valors exactes són $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$ i $(4, 9)$, calcula la covariància $\sigma_{xy}$ i comprova analíticament si existeix una relació funcional exacta entre totes dues variables.

A partir de dades inspirades en l'Enquesta sobre Equipament i Ús de Tecnologies de la Informació a les Llars de l'INE, s'analitza la relació entre l'edat dels usuaris ($X$, amb tres trams representats per la seva marca de classe: $20$ anys per a joves de 16 a 24, $40$ anys per a adults de 25 a 54, i $65$ anys per a majors de 55) i el nombre mitjà d'hores diàries dedicades a l'oci digital amb pantalles ($Y \in \{1, 3, 5\}$ hores). La distribució de freqüències absolutes conjuntes en una mostra representativa de $N = 200$ residents és:

1. a) Obtén les taules de les distribucions marginals de $X$ i de $Y$, i calcula l'edat mitjana de la mostra i la mitjana global d'hores diàries de pantalla.
2. b) Modela la distribució condicionada del temps d'oci digital per al grup de joves ($Y \,|\, X = 20$ anys) i calcula la seva mitjana condicionada i la seva desviació típica condicionada.
3. c) Comprova si l'ús intensiu de pantalles ($Y = 5$ hores) és estadísticament independent de pertànyer al col·lectiu jove ($X = 20$ anys) comparant formalment la freqüència relativa conjunta amb el producte de les freqüències relatives marginals corresponents.

Una cooperativa de transport urbà disposa d'una flota de $50$ furgonetes elèctriques i monitora el consum d'energia en kWh cada $100$ km. Els vehicles operen en dos torns independents: Matí ($30$ furgonetes) i Tarda ($20$ furgonetes). Per una fallada en el bolcat de dades, s'han perdut els registres individuals, però el sistema conserva els següents indicadors agregats:

• El consum mitjà global de la flota completa va ser de $8{,}2$ kWh/100 km amb una variància global $\sigma^2 = 0{,}96$.

• En el torn de Matí, el consum mitjà va ser de $8{,}0$ kWh/100 km amb una desviació típica de $0{,}8$ kWh/100 km.

1. a) Planteja l'equació de la mitjana ponderada i determina el consum mitjà registrat en el torn de Tarda.
2. b) Utilitzant la relació entre variància mostral, suma de quadrats i mitjana (propietat $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$), reconstrueix la suma total de quadrats de cada torn i dedueix la variància i la desviació típica del consum en el torn de Tarda.
3. c) Calcula el coeficient de variació ($CV$) de cada torn i raona quin dels dos grups va presentar un patró de consum relativament més homogeni.

En una investigació sobre la relació entre el nombre d'hores setmanals dedicades a l'esport ($X$) i el nivell d'estrès laboral ($Y$), s'obté la taula de freqüències absolutes conjuntes següent, on $k$ és un valor desconegut:

Determina matemàticament el valor de $k$ perquè les variables $X$ i $Y$ siguin estrictament independents des del punt de vista estadístic.

Siguin $X$ i $Y$ dues variables estadístiques bidimensionals amb mitjanes $\bar{x}, \bar{y}$, desviacions típiques $\sigma_x, \sigma_y$ i covariància $\sigma_{xy}$. Si es realitza una transformació lineal a totes dues variables de la forma $U = 3X - 2$ i $V = -2Y + 5$, demostra analíticament quin serà el valor de la nova covariància $\sigma_{uv}$ expressada en funció de $\sigma_{xy}$.

En una empresa tecnològica, el salari base mensual ($X$, en euros) té una mitjana de $1500$ i una desviació típica de $200$. Les comissions per projectes lliurats ($Y$, en euros) tenen una mitjana de $300$ i una desviació típica de $100$. Sabent que la covariància entre el salari base i les comissions és $\sigma_{xy} = 15000$, calcula la mitjana i la variància del salari total mensual $Z = X + Y$.

(Nota: Recorda la propietat de la variància de la suma de dues variables correlacionades: $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$).

Es disposa d'una taula bidimensional de dues variables $X$ i $Y$ que prenen els valors $X \in \{1, 2\}$ i $Y \in \{0, 1\}$. Es coneixen les dades estadístiques globals següents: la mida de la mostra és $N=100$, la mitjana marginal de $X$ és $\bar{x} = 1,4$, la mitjana marginal de $Y$ és $\bar{y} = 0,6$, i la covariància és $\sigma_{xy} = 0,06$. Fent servir les definicions d'aquests paràmetres, reconstrueix completament la taula de freqüències absolutes conjuntes $n_{ij}$.

Un analista de control de qualitat observa els errors de fabricació de 10 lots de producció. La mitjana d'errors és $6,5$ i la variància és $2,25$. Posteriorment, en una auditoria, s'adona que un error tipogràfic va registrar $2$ errors en lloc de $8$ per a un dels lots. Calcula la nova mitjana i la nova variància corregides sense necessitat de conèixer les dades individuals dels altres 9 lots.

El diagrama de dispersió següent mostra la relació entre els anys d'experiència ($X$) i els ingressos anuals en milers d'euros ($Y$) d'un grup de professionals, dividits en dos departaments diferents (Departament A en blau i Departament B en verd). Explica el concepte de la paradoxa de Simpson basant-te en el que observaries si calculessis la correlació global de tots els punts junts, enfront de les correlacions locals de cada departament per separat.

S'han realitzat dos estudis epidemiològics independents sobre l'índex de massa corporal (IMC) en una regió. El primer estudi, amb una mostra de $40$ persones, va obtenir una mitjana de $22$ i una variància de $4$. El segon estudi, amb una mostra de $60$ persones, va obtenir una mitjana de $25$ i una variància de $5$. Si es combinen tots dos estudis en una sola mostra agregada de $100$ persones, calcula la mitjana i la variància d'aquesta mostra conjunta.

Atès un conjunt de dades unidimensional $x_1, x_2, \dots, x_n$, es defineix la funció d'error quadràtic $f(c) = \sum_{i=1}^n (x_i - c)^2$, que mesura la suma de les distàncies al quadrat des de cada dada fins a un valor constant $c$. Demostra analíticament (fent servir derivades o completant quadrats) que el valor de $c$ que minimitza aquesta funció és exactament la mitjana aritmètica $\bar{x}$.

Per contrastar si hi ha relació de dependència entre dues variables estadístiques $X$ i $Y$ tabulades en una taula de doble entrada, dos membres d'un equip d'analistes discuteixen quin mètode emprar:

• Mètode A: Comprovar si les mitjanes condicionades de $Y$ per a cada valor de $X$ coincideixen entre si i amb la mitjana marginal de $Y$ (és a dir, verificar si $\bar{y}_{X=x_1} = \bar{y}_{X=x_2} = \dots = \bar{y}$).

• Mètode B: Comprovar si les distribucions de freqüències relatives condicionades de cada fila coincideixen amb la distribució marginal de $Y$ (és a dir, verificar si $n_{ij}/n_{i\bullet} = n_{\bullet j}/N$ per a tot $i, j$).

Considera la taula de freqüències conjuntes següent que resumeix una prova pilot sobre dos mètodes de formació ($X \in \{1, 2\}$) i el nivell assolit en una escala discreta ($Y \in \{1, 2, 3\}$):

1. a) Aplica el Mètode A calculant la mitjana condicionada de $Y$ per a $X=1$, la mitjana condicionada de $Y$ per a $X=2$ i la mitjana marginal $\bar{y}$. A quina conclusió sobre la relació entre $X$ i $Y$ conduiria erròniament aquest mètode?
2. b) Aplica el Mètode B sobre la casella $(X=1, Y=1)$ i justifica rigorosament per què el Mètode B és l'únic vàlid per diagnosticar independència estadística en general.
3. c) Demostra formalment que la condició del Mètode B ($n_{ij}/n_{i\bullet} = n_{\bullet j}/N$ per a tot $i, j$) és algebraicament equivalent a la definició simètrica $f_{ij} = f_{i\bullet} \cdot f_{\bullet j}$. Explica per què n'hi ha prou de trobar una única cel·la que incompleixi la igualtat per descartar la independència sense necessitat de verificar tota la taula.

Un consorci comarcal de transports projecta ubicar una estació central de transbord al llarg d'una carretera comarcal rectilínia, les posicions de la qual es mesuren en quilòmetres ($x$) respecte d'un node d'origen. Quatre municipis amb diferents demandes de viatgers diaris se situen en els punts quilomètrics $x_1 = 10$, $x_2 = 20$, $x_3 = 35$ i $x_4 = 40$, amb demandes de $f_1 = 40$, $f_2 = 60$, $f_3 = 120$ i $f_4 = 80$ viatgers diaris, respectivament ($N = 300$).

Es plantegen dos criteris per determinar la posició quilomètrica $c$ on construir l'estació:

• Criteri quadràtic: Minimitzar la funció de cost $E(c) = \sum_{i=1}^4 f_i(x_i - c)^2$, que penalitza fortament els municipis més allunyats.

• Criteri lineal: Minimitzar el trajecte total absolut dels viatgers $L(c) = \sum_{i=1}^4 f_i|x_i - c|$.

1. a) Demostra mitjançant derivació respecte de $c$ que el valor òptim $c^*$ que minimitza $E(c)$ és exactament la mitjana aritmètica ponderada de les posicions. Calcula el valor exacte d'aquest punt quilomètric $c^*$ i la variància de les distàncies respecte d'ell.
2. b) Determina la mediana de la distribució de viatgers a partir de les freqüències acumulades i comprova si coincideix amb la mitjana aritmètica obtinguda.
3. c) Avalua i compara el cost lineal $L(c)$ situant l'estació en la mitjana aritmètica ($c = c^*$) enfront de situar-la en la mediana ($c = M$). Interpreta el resultat obtingut explicant per què la mitjana minimitza la suma ponderada de desviacions al quadrat però no la suma de distàncies en valor absolut.