Ejercicios: Estadística básica

Un ingeniero agrónomo está calibrando un sensor de humedad del suelo. Las últimas 5 lecturas, en porcentajes, son: $22, 24, 23, 25, 21$. Calcula la media aritmética y la desviación típica poblacional de estas mediciones.

En un estudio sociológico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a 50 personas sobre su sexo ($X$: $1$ para Hombre, $2$ para Mujer) y si leen más de un libro al mes ($Y$: $1$ para Sí, $2$ para No). La tabla de frecuencias absolutas conjuntas $n_{ij}$ es la siguiente: $n_{11} = 10$, $n_{12} = 15$, $n_{21} = 20$, $n_{22} = 5$. Construye la tabla de distribución marginal de la variable $Y$ y calcula sus frecuencias relativas.

Observa el siguiente diagrama de dispersión que relaciona las horas de entrenamiento semanales ($X$) y el tiempo en segundos en una prueba de 100 metros lisos ($Y$) de un grupo de atletas. Indica si la correlación entre ambas variables es directa (positiva) o inversa (negativa), y razona visualmente si la dependencia lineal parece fuerte o débil.

El departamento de recursos humanos de una empresa de ingeniería ha recogido datos sobre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual en miles de euros ($Y$) de sus empleados. Sabiendo que la media de experiencia es $\bar{x} = 5$ años, el salario medio es $\bar{y} = 2,5$ miles de euros, el tamaño de la muestra es $N = 20$ y la suma de los productos cruzados es $\sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 280$, calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.

En una maternidad se ha medido el peso en kg ($X$) y la longitud en cm ($Y$) de 6 recién nacidos, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(3,2; 50)$, $(3,5; 52)$, $(3,2; 51)$, $(3,8; 52)$, $(3,5; 50)$ y $(3,2; 50)$. Construye la tabla de doble entrada (frecuencias absolutas conjuntas) para estas dos variables.

A partir de una tabla de frecuencias conjuntas de dos variables $X$ (número de hermanos) e $Y$ (número de mascotas domésticas), se sabe que la frecuencia marginal absoluta de $X=1$ es $n_{1\bullet} = 40$. De esas 40 personas, 15 tienen $Y=0$ mascotas, 20 tienen $Y=1$ mascota y 5 tienen $Y=2$ mascotas. Calcula la distribución de frecuencias relativas de la variable $Y$ condicionada a $X=1$.

Un biólogo marino compara la longitud de dos especies de peces. La especie Alpha tiene una longitud media de $40$ cm con una desviación típica de $4$ cm. La especie Beta tiene una longitud media de $150$ cm con una desviación típica de $12$ cm. Calcula el coeficiente de variación para ambas especies e indica cuál presenta mayor dispersión relativa.

Las puntuaciones obtenidas por los 9 miembros de un equipo de gimnasia rítmica en una prueba de flexibilidad son: $16, 17, 16, 18, 16, 17, 19, 16, 17$. Determina la moda, la mediana y el primer cuartil ($Q_1$) de este conjunto de datos.

Una clínica veterinaria clasifica a los perros atendidos en un mes según su tamaño ($X$: $1$ = Pequeño, $2$ = Mediano, $3$ = Grande) y el número de visitas al veterinario en el último año ($Y$: $1, 2, 3$). La tabla de frecuencias conjuntas $n_{ij}$ es:

• Para $X=1$: $n_{11}=12$, $n_{12}=8$, $n_{13}=5$

• Para $X=2$: $n_{21}=10$, $n_{22}=15$, $n_{23}=10$

• Para $X=3$: $n_{31}=4$, $n_{32}=6$, $n_{33}=10$

Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución marginal del número de visitas ($Y$).

El siguiente diagrama de dispersión representa el precio en miles de euros ($Y$) frente a la antigüedad en años ($X$) de un modelo específico de furgoneta de segunda mano. A partir de los puntos mostrados exactamente sobre las intersecciones de la cuadrícula en la gráfica, construye la tabla de datos bidimensional y calcula la media marginal de la antigüedad $\bar{x}$ y la media marginal del precio $\bar{y}$.

En un estudio de agronomía, se analiza la cantidad de fertilizante aplicado en kg/ha ($X$) y el rendimiento de la cosecha en toneladas/ha ($Y$). Se dispone de la siguiente tabla de doble entrada para las frecuencias conjuntas $n_{ij}$:

Calcula la media y la desviación típica del rendimiento de la cosecha condicionada a que se hayan aplicado $20$ kg/ha de fertilizante (es decir, de la distribución $Y | X=20$).

Dos fábricas de componentes aeronáuticos producen piezas cuyo tiempo de vida útil es una variable estadística. La fábrica Alpha produce componentes con una vida útil media de $1200$ horas y una varianza de $14400$ horas$^2$. La fábrica Beta produce componentes con una vida útil media de $800$ horas y una varianza de $10000$ horas$^2$. Justifica, calculando una medida de dispersión relativa adecuada, qué fábrica tiene una producción más homogénea.

Se analizan dos variables cualitativas en una muestra de $200$ turistas: continente de origen ($X$: Europeo, Americano, Asiático) y tipo de alojamiento ($Y$: Hotel, Apartamento). Las frecuencias relativas marginales son: Europeos $50\%$, Americanos $30\%$, Asiáticos $20\%$. Para el alojamiento: Hotel $60\%$, Apartamento $40\%$. Si se asume que ambas variables son estadísticamente independientes, ¿cuántos turistas de la muestra se espera que sean americanos y se alojen en un apartamento simultáneamente?

En una estación meteorológica se ha agrupado la velocidad máxima diaria del viento ($X$, en km/h) en los siguientes intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, con frecuencias absolutas $5, 12, 8, 5$ respectivamente. Utilizando las marcas de clase de cada intervalo, calcula la media aritmética y la varianza de la velocidad del viento.

Un equipo de ciclistas ha registrado las distancias recorridas en sus últimos 4 entrenamientos: $45, 50, x, 60$ kilómetros. Sabiendo que la distancia media de los 4 entrenamientos es exactamente de $52,5$ km, determina primero el valor del entrenamiento que falta ($x$) y, a continuación, calcula la desviación típica poblacional de los 4 entrenamientos.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la fuerza aplicada a un muelle en Newtons ($X$) y su longitud en centímetros ($Y$). Sabiendo que los pares de valores exactos son $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$ y $(4, 9)$, calcula la covarianza $\sigma_{xy}$ y comprueba analíticamente si existe una relación funcional exacta entre ambas variables.

En una investigación sobre la relación entre el número de horas semanales dedicadas al deporte ($X$) y el nivel de estrés laboral ($Y$), se obtiene la siguiente tabla de frecuencias absolutas conjuntas, donde $k$ es un valor desconocido:

Determina matemáticamente el valor de $k$ para que las variables $X$ e $Y$ sean estrictamente independientes desde el punto de vista estadístico.

Sean $X$ e $Y$ dos variables estadísticas bidimensionales con medias $\bar{x}, \bar{y}$, desviaciones típicas $\sigma_x, \sigma_y$ y covarianza $\sigma_{xy}$. Si se realiza una transformación lineal a ambas variables de la forma $U = 3X - 2$ y $V = -2Y + 5$, demuestra analíticamente cuál será el valor de la nueva covarianza $\sigma_{uv}$ expresada en función de $\sigma_{xy}$.

En una empresa tecnológica, el salario base mensual ($X$, en euros) tiene una media de $1500$ y una desviación típica de $200$. Las comisiones por proyectos entregados ($Y$, en euros) tienen una media de $300$ y una desviación típica de $100$. Sabiendo que la covarianza entre el salario base y las comisiones es $\sigma_{xy} = 15000$, calcula la media y la varianza del salario total mensual $Z = X + Y$.

(Nota: Recuerda la propiedad de la varianza de la suma de dos variables correlacionadas: $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$).

Se dispone de una tabla bidimensional de dos variables $X$ e $Y$ que toman los valores $X \in \{1, 2\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Se conocen los siguientes datos estadísticos globales: el tamaño de la muestra es $N=100$, la media marginal de $X$ es $\bar{x} = 1,4$, la media marginal de $Y$ es $\bar{y} = 0,6$, y la covarianza es $\sigma_{xy} = 0,06$. Utilizando las definiciones de estos parámetros, reconstruye completamente la tabla de frecuencias absolutas conjuntas $n_{ij}$.

Un analista de control de calidad observa los errores de fabricación de 10 lotes de producción. La media de errores es $6,5$ y la varianza es $2,25$. Posteriormente, en una auditoría, se da cuenta de que un error tipográfico registró $2$ errores en lugar de $8$ para uno de los lotes. Calcula la nueva media y la nueva varianza corregidas sin necesidad de conocer los datos individuales de los otros 9 lotes.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia ($X$) y los ingresos anuales en miles de euros ($Y$) de un grupo de profesionales, divididos en dos departamentos distintos (Departamento A en azul y Departamento B en verde). Explica el concepto de la paradoja de Simpson basándote en lo que observarías si calcularas la correlación global de todos los puntos juntos, frente a las correlaciones locales de cada departamento por separado.

Se han realizado dos estudios epidemiológicos independientes sobre el índice de masa corporal (IMC) en una región. El primer estudio, con una muestra de $40$ personas, obtuvo una media de $22$ y una varianza de $4$. El segundo estudio, con una muestra de $60$ personas, obtuvo una media de $25$ y una varianza de $5$. Si se combinan ambos estudios en una sola muestra agregada de $100$ personas, calcula la media y la varianza de esta muestra conjunta.

Dado un conjunto de datos unidimensional $x_1, x_2, \dots, x_n$, se define la función de error cuadrático $f(c) = \sum_{i=1}^n (x_i - c)^2$, que mide la suma de las distancias al cuadrado desde cada dato hasta un valor constante $c$. Demuestra analíticamente (utilizando derivadas o completando cuadrados) que el valor de $c$ que minimiza esta función es exactamente la media aritmética $\bar{x}$.