Exercicis: Funció derivada

Aplica la definició de derivada mitjançant el càlcul del límit $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ per trobar la funció derivada de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.

Calcula la funció derivada de la funció polinòmica i exponencial següent, aplicant les regles bàsiques de derivació:

$f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{x^2} - 3e^x$

Obtén la funció derivada de $f(x)$ aplicant la regla de la derivada d'un producte. Simplifica el resultat tant com sigui possible.

$f(x) = (2x^3 - x + 4) \cdot \ln(x)$

Troba la funció derivada aplicant la regla del quocient. Expressa el resultat final amb el numerador simplificat.

$f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$

Utilitza la regla de la cadena per determinar la funció derivada de la funció trigonomètrica composta següent:

$f(x) = \cos(5x^3 - 2x^2 + 1)$

Calcula el valor exacte de la derivada de la funció $f(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ avaluada en el punt d'abscissa $x = 2$.

Determina la segona derivada, $f''(x)$, de la funció $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ que representa la trajectòria d'un projectil en funció del temps.

A partir de la representació visual, determina el signe de la funció derivada $f'(x)$ en les abscisses $x = 1$, $x = 2$ i $x = 3$. Justifica la teva resposta basant-te en el concepte geomètric de la derivada.

La Marta està estudiant els extrems relatius de la funció $f(x) = (x-2)^3 + 1$. Per a fer-ho, calcula la seva funció derivada i obté $f'(x) = 3(x-2)^2$. Tot seguit, planteja l'equació $f'(x) = 0$, troba com a única solució $x = 2$ i conclou en el seu examen: «Com que la derivada a $x = 2$ val zero, la funció $f$ assoleix obligatòriament un mínim relatiu en el punt $(2, 1)$».

1. a) Explica raonadament l'error conceptual de la Marta: garanteix la condició $f'(a) = 0$ per si sola que a $x = a$ hi hagi un extrem relatiu?
2. b) Estudia el signe de la funció derivada $f'(x)$ en els intervals $(-\infty, 2)$ i $(2, +\infty)$. A partir d'aquesta anàlisi, descriu què fa realment la corba a l'esquerra i a la dreta de $x = 2$ i dedueix quin tipus de punt té la funció a $(2, 1)$.

Considera la funció polinòmica $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Abans de calcular cap derivada, fes una estimació qualitativa raonada: quin signe esperes que tingui el pendent de la recta tangent a la corba a $x = 1$ i a $x = -2$? En quin dels dos punts preveus que la inclinació sigui més pronunciada en valor absolut? Justifica les teves respostes a partir del creixement i la forma simètrica de la paràbola.
2. b) Obtén la funció derivada general $f'(x)$ aplicant rigorosament la definició de derivada mitjançant el límit del quocient incremental: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. c) Avalua $f'(1)$ i $f'(-2)$ substituint en la funció derivada que has obtingut i comprova si els resultats numèrics confirmen les estimacions que has formulat a l'apartat a).

L'equació de moviment d'un vehicle autònom en proves ve donada per la funció $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$, on $s$ és la posició en metres i $t$ el temps en segons ($t \ge 0$).

Troba la funció velocitat $v(t)$ i la funció acceleració $a(t)$. Determina en quins instants de temps el vehicle s'atura momentàniament.

El cost total de producció, en euros, de $x$ unitats d'un component electrònic d'alta precisió es modelitza mitjançant la funció $C(x) = 0,02x^3 - 0,6x^2 + 40x + 500$.

Calcula la funció de cost marginal $C'(x)$ i avalua el seu valor quan es produeixen exactament $x = 15$ unitats. Interpreta el resultat obtingut en el context del problema.

En un experiment de cinètica química, la concentració d'un reactiu en funció del temps $t$ (en minuts) s'ajusta a l'expressió $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ en mols per litre.

Troba la funció derivada $C'(t)$ que representa la velocitat de reacció. En quin instant $t > 0$ la velocitat de reacció és nul·la?

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció definida a trossos següent sigui derivable en $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ bx^3 - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Aplica les propietats dels logaritmes per simplificar l'expressió de $f(x)$ abans de derivar i, a continuació, calcula la seva funció derivada simplificada:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}} \right)$

Troba les abscisses dels punts de la corba $f(x) = e^{3x}(x^2 - 4x + 2)$ en els quals la recta tangent és horitzontal.

El nombre de reproduccions acumulades d'un vídeo viral després de $t$ hores de la seva publicació segueix una llei de creixement exponencial donada per $R(t) = 1500 \cdot 3^{0,4t}$.

Obtén la funció que descriu la taxa de creixement instantani de les reproduccions, $R'(t)$, i calcula aquesta taxa a les $5$ hores.

La gràfica següent representa la funció derivada $f'(x)$ d'una certa funció $f(x)$ contínua en tot $\mathbb{R}$.

Observant exclusivament el comportament de $f'(x)$, determina els intervals on la funció original $f(x)$ és creixent i on és decreixent. En quines abscisses presentarà $f(x)$ extrems relatius?

Determina els coeficients $a$, $b$ i $c$ d'una funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que satisfà simultàniament les tres condicions següents:

1. La seva funció derivada segona és constant i igual a $-4$ a tot el seu domini: $f''(x) = -4$.

2. La seva funció derivada s'anul·la a l'abscissa $x = 1,5$, i és estrictament positiva per a $x < 1,5$ i estrictament negativa per a $x > 1,5$.

3. La gràfica de $f$ passa pel punt $(1,5; 6)$.

Un cop calculades les expressions de $f(x)$, $f'(x)$ i $f''(x)$:

1. a) Justifica raonadament, basant-te en la variació de signe de $f'(x)$, si el punt $(1,5; 6)$ és un màxim relatiu o un mínim relatiu.
2. b) Explica quin significat té el valor i el signe de la derivada segona $f''(x)$ en relació amb la rapidesa amb què canvia el pendent de la funció al voltant d'aquest extrem.

Durant una jornada d'onada de calor registrada per l'AEMET en una estació meteorològica del sud d'Espanya, la temperatura exterior $T$ (en graus Celsius) entre les 08:00 h ($t = 0$) i les 20:00 h ($t = 12$) es modelitza mitjançant la funció:

on $t$ és el temps mesurat en hores transcorregudes des de les 08:00.

1. a) Obtén la funció derivada $T'(t)$ i interpreta quina magnitud física representa en aquest context, indicant les seves unitats de mesura corresponents.
2. b) Calcula la taxa de variació instantània de la temperatura a les 10:00 h ($t = 2$) i a les 18:00 h ($t = 10$). Interpreta el significat físic del signe i del valor obtingut en cada cas.
3. c) Resol l'equació $T'(t) = 0$ per trobar l'hora exacta en què la temperatura assoleix el seu valor màxim diari i calcula aquesta temperatura màxima.
4. d) Determina la funció derivada segona $T''(t)$. Què mesura aquesta segona derivada sobre l'evolució de la calor al llarg de la jornada i què ens indica que el seu signe sigui negatiu en tot l'interval?

Troba l'expressió general de la derivada enèsima, $f^n(x)$, per a la funció $f(x) = \ln(3x - 2)$. Suggeriment: calcula les quatre primeres derivades successives i dedueix-ne el patró.

Considera la funció definida mitjançant un valor absolut $f(x) = |x^2 - 4|$.

Expressa $f(x)$ com una funció definida a trossos i calcula la seva funció derivada $f'(x)$. Demostra analíticament per què la funció no és derivable en els punts angulosos assenyalats en la gràfica.

Demostra que la funció $y = e^{-2x} \cdot \sin(3x)$ és una solució particular de l'equació diferencial lineal de segon ordre:

$y'' + 4y' + 13y = 0$

Donada la funció racional $f(x) = \frac{ax^2 + b}{cx + 1}$, determina els valors dels paràmetres reals $a, b, c$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $(0, 3)$, té una asímptota vertical a $x = -2$ i presenta una recta tangent horitzontal en el punt d'abscissa $x = 1$.

En el disseny d'un pont penjant, el perfil del cable principal adopta la forma d'una catenària l'equació de la qual en un sistema de referència és $f(x) = \frac{e^{x/10} + e^{-x/10}}{2}$ (amb $x$ i $y$ en metres).

Calcula l'angle d'inclinació $\alpha$ que forma la recta tangent al cable amb l'horitzontal en el punt d'ancoratge situat a $x = 10$ metres.

Es considera la funció $f(x) = \begin{cases} e^{ax} - 1 & \text{si } x \le 0 \\ b \sin(x) + c x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$.

Determina la relació matemàtica que hi ha d'haver entre els paràmetres $a, b, c$ perquè existeixi la segona derivada a l'origen, és a dir, perquè $f''(0)$ sigui un valor real ben definit.

En el panell següent es mostren dues corbes, A (blava) i B (verda). Es sap que una d'elles correspon a una funció polinòmica $f(x)$ i l'altra a la seva funció derivada $f'(x)$.

Identifica raonadament quina corba representa $f(x)$ i quina $f'(x)$ basant-te en la relació geomètrica entre els punts de tall, els extrems relatius i el creixement. A continuació, dedueix el signe de la segona derivada $f''(x)$ en l'abscissa $x = 0$.

Es vol determinar la funció derivada i els intervals de creixement i decreixement de la funció racional $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$, el domini de la qual és $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Per calcular $f'(x)$ mitjançant la definició per límit, dos estudiants plantegen dos mètodes de treball diferents:

• Estratègia A (Quocient incremental directe): Calcular $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2(x+h)+1}{x+h-3} - \frac{2x+1}{x-3}}{h}$ reduint directament a comú denominador en el numerador.

• Estratègia B (Descomposició prèvia): Efectuar la divisió polinòmica per escriure $f(x) = 2 + \frac{7}{x-3}$ i aplicar la definició de límit a aquesta nova expressió: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\left(2 + \frac{7}{x+h-3}\right) - \left(2 + \frac{7}{x-3}\right)}{h}$.

1. a) Compara totes dues estratègies i raona quina resulta més eficient algebraicament i menys susceptible a errors de simplificació en el càlcul del límit.
2. b) Desenvolupa completament el càlcul de $f'(x)$ seguint l'estratègia que has seleccionat com a més avantatjosa.
3. c) A partir de l'expressió de $f'(x)$, precisa el domini de derivabilitat de $f$, analitza el signe de $f'(x)$ en els intervals $(-\infty, 3)$ i $(3, +\infty)$ i raona per què la funció no té cap extrem relatiu tot i no estar fitada.

Per estudiar la derivabilitat i els extrems relatius de la funció $f(x) = |x^2 - 4|$, en Marcos escriu en el seu examen:

«Escric la funció a trossos: $f(x) = x^2 - 4$ si $x \le -2$ o $x \ge 2$, i $f(x) = 4 - x^2$ si $-2 < x < 2$. Derivo cada tram de manera directa: $f'(x) = 2x$ a l'exterior i $f'(x) = -2x$ a l'interior. Com que en avaluar en la primera fórmula es té $f'(2) = 4$ i $f'(-2) = -4$, la funció és derivable a tot $\mathbb{R}$. Després resolc $f'(x) = 0$: l'única solució vàlida en el seu tram és $-2x = 0 \implies x = 0$. En conclusió, l'únic extrem relatiu de $f$ és el màxim relatiu a $x = 0$».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per en Marcos: un de relatiu a com es determina l'existència de la funció derivada en els punts d'unió ($x = -2$ i $x = 2$) i un altre de relatiu a la cerca completa d'extrems relatius.
2. b) Aplica la definició de derivades laterals (mitjançant límits laterals del quocient incremental) a $x = 2$ per demostrar si existeix o no $f'(2)$. Quin tret geomètric presenta la corba a $x = 2$ i a $x = -2$?
3. c) Corregeix l'exercici determinant el domini exacte de derivabilitat de $f(x)$ i assenyalant TOTS els seus extrems relatius (classificant-los en màxims o mínims). Raona com és possible que existeixin extrems relatius en punts on la funció no és derivable.