Ejercicios: Función derivada

Aplica la definición de derivada mediante el cálculo del límite $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ para encontrar la función derivada de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.

Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica y exponencial, aplicando las reglas básicas de derivación:

$f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{x^2} - 3e^x$

Obtén la función derivada de $f(x)$ aplicando la regla de la derivada de un producto. Simplifica el resultado en la medida de lo posible.

$f(x) = (2x^3 - x + 4) \cdot \ln(x)$

Halla la función derivada aplicando la regla del cociente. Expresa el resultado final con el numerador simplificado.

$f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$

Utiliza la regla de la cadena para determinar la función derivada de la siguiente función trigonométrica compuesta:

$f(x) = \cos(5x^3 - 2x^2 + 1)$

Calcula el valor exacto de la derivada de la función $f(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ evaluada en el punto de abscisa $x = 2$.

Determina la segunda derivada, $f''(x)$, de la función $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa la trayectoria de un proyectil en función del tiempo.

A partir de la representación visual, determina el signo de la función derivada $f'(x)$ en las abscisas $x = 1$, $x = 2$ y $x = 3$. Justifica tu respuesta basándote en el concepto geométrico de la derivada.

La ecuación de movimiento de un vehículo autónimo en pruebas viene dada por la función $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$, donde $s$ es la posición en metros y $t$ el tiempo en segundos ($t \ge 0$).

Halla la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$. Determina en qué instantes de tiempo el vehículo se detiene momentáneamente.

El coste total de producción, en euros, de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión se modeliza mediante la función $C(x) = 0,02x^3 - 0,6x^2 + 40x + 500$.

Calcula la función de coste marginal $C'(x)$ y evalúa su valor cuando se producen exactamente $x = 15$ unidades. Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema.

En un experimento de cinética química, la concentración de un reactivo en función del tiempo $t$ (en minutos) se ajusta a la expresión $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ en moles por litro.

Encuentra la función derivada $C'(t)$ que representa la velocidad de reacción. ¿En qué instante $t > 0$ la velocidad de reacción es nula?

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ bx^3 - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Aplica las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión de $f(x)$ antes de derivar y, a continuación, calcula su función derivada simplificada:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}} \right)$

Halla las abscisas de los puntos de la curva $f(x) = e^{3x}(x^2 - 4x + 2)$ en los que la recta tangente es horizontal.

El número de reproducciones acumuladas de un vídeo viral tras $t$ horas de su publicación sigue una ley de crecimiento exponencial dada por $R(t) = 1500 \cdot 3^{0,4t}$.

Obtén la función que describe la tasa de crecimiento instantáneo de las reproducciones, $R'(t)$, y calcula dicha tasa a las $5$ horas.

La siguiente gráfica representa la función derivada $f'(x)$ de una cierta función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$.

Observando exclusivamente el comportamiento de $f'(x)$, determina los intervalos donde la función original $f(x)$ es creciente y donde es decreciente. ¿En qué abscisas presentará $f(x)$ extremos relativos?

Halla la expresión general de la derivada enésima, $f^n(x)$, para la función $f(x) = \ln(3x - 2)$. Sugerencia: calcula las cuatro primeras derivadas sucesivas y deduce el patrón.

Considera la función definida mediante un valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$.

Expresa $f(x)$ como una función definida a trozos y calcula su función derivada $f'(x)$. Demuestra analíticamente por qué la función no es derivable en los puntos angulosos señalados en la gráfica.

Demuestra que la función $y = e^{-2x} \cdot \sin(3x)$ es una solución particular de la ecuación diferencial lineal de segundo orden:

$y'' + 4y' + 13y = 0$

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + b}{cx + 1}$, determina los valores de los parámetros reales $a, b, c$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(0, 3)$, tiene una asíntota vertical en $x = -2$ y presenta una recta tangente horizontal en el punto de abscisa $x = 1$.

En el diseño de un puente colgante, el perfil del cable principal adopta la forma de una catenaria cuya ecuación en un sistema de referencia es $f(x) = \frac{e^{x/10} + e^{-x/10}}{2}$ (con $x$ e $y$ en metros).

Calcula el ángulo de inclinación $\alpha$ que forma la recta tangente al cable con la horizontal en el punto de anclaje situado en $x = 10$ metros.

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} e^{ax} - 1 & \text{si } x \le 0 \\ b \sin(x) + c x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$.

Determina la relación matemática que debe existir entre los parámetros $a, b, c$ para que exista la segunda derivada en el origen, es decir, para que $f''(0)$ sea un valor real bien definido.

En el siguiente panel se muestran dos curvas, A (azul) y B (verde). Se sabe que una de ellas corresponde a una función polinómica $f(x)$ y la otra a su función derivada $f'(x)$.

Identifica razonadamente cuál curva representa a $f(x)$ y cuál a $f'(x)$ basándote en la relación geométrica entre los puntos de corte, los extremos relativos y el crecimiento. A continuación, deduce el signo de la segunda derivada $f''(x)$ en la abscisa $x = 0$.