Ejercicios: Hipérbola

Escribe la ecuación reducida de la hipérbola cuyos focos son $F(5, 0)$ y $F'(-5, 0)$ y cuyo eje real mide $8$.

Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina las coordenadas de sus vértices, de sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.

Comprueba analíticamente si los puntos $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(6, -3)$ son interiores, exteriores o si pertenecen a la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

Determina la ecuación de una hipérbola equilátera centrada en el origen sabiendo que pasa por el punto $P(4, 2)$ y que sus focos están situados sobre el eje de abscisas.

Calcula la excentricidad de la hipérbola cuya ecuación general viene dada por la expresión $16x^2 - 9y^2 = 144$.

Halla la ecuación reducida de la hipérbola que tiene sus vértices en los puntos $V(3, 0)$ y $V'(-3, 0)$ y que pasa por el punto $P(5, 4)$.

Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos $F(0, 10)$ y $F'(0, -10)$ es, en valor absoluto, igual a $12$. Escribe su ecuación reducida.

Halla las coordenadas del centro, las longitudes de los semiejes y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.

En el diseño de una torre de refrigeración para una central térmica, la estructura tiene forma de hiperboloide de revolución. La sección transversal vertical es una hipérbola con el centro en el origen de coordenadas. La torre tiene una altura total de $160\text{ m}$. La parte más estrecha (la garganta) tiene un diámetro de $60\text{ m}$ y se encuentra a una altura de $120\text{ m}$ sobre la base. Además, el diámetro en la parte más alta de la torre es de $100\text{ m}$. Determina la ecuación de la hipérbola que perfila la torre y calcula el diámetro de la base circular.

El sistema de navegación LORAN determina la posición de un barco midiendo la diferencia de tiempo en la recepción de señales de dos estaciones de radio. Las estaciones $A$ y $B$ están situadas en un sistema de coordenadas cartesianas en los puntos $(-60, 0)$ y $(60, 0)$, con las distancias expresadas en kilómetros. Un barco $P$ recibe la señal de $A$ un tiempo después que la de $B$, lo que indica que el barco está $100\text{ km}$ más cerca de $B$ que de $A$. Determina la ecuación de la hipérbola sobre la que navega el barco y calcula la distancia del barco a la estación $B$ si se sabe que su ordenada es $y = 45\text{ km}$.

Halla la ecuación de la hipérbola centrada en el origen que tiene un foco en el punto $F(0, \sqrt{13})$ y en la que una de sus asíntotas es la recta de ecuación $2x - 3y = 0$.

Calcula los puntos de intersección de la recta $x - y - 2 = 0$ y la hipérbola $x^2 - 2y^2 = 2$. A continuación, determina la longitud exacta de la cuerda que delimita la recta al cortar la cónica.

Encuentra la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la hipérbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ en el punto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.

Una lámpara de mesa proyecta luz hacia arriba y hacia abajo formando un cono luminoso. Al colocarla cerca de una pared vertical, el borde de la zona iluminada forma una hipérbola. Midiendo sobre la pared y tomando el suelo como eje de abscisas, se observa que el centro de la hipérbola está a $80\text{ cm}$ de altura. El vértice de la rama superior está a $100\text{ cm}$ del suelo. Si a una altura de $180\text{ cm}$ del suelo la anchura total de la zona iluminada es de $96\text{ cm}$, determina la excentricidad de la hipérbola proyectada.

Dada la ecuación general de una cónica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrúpala completando cuadrados para demostrar que se trata de una hipérbola. Calcula las coordenadas de su centro, de sus focos y de sus vértices.

Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales la recta $y = x + k$ es tangente, secante o exterior a la hipérbola $x^2 - 2y^2 = 4$.

Un cometa interestelar se aproxima al sistema solar siguiendo una trayectoria hiperbólica, con el Sol situado en uno de sus focos. En su aproximación máxima (perihelio), el cometa pasa a $2\text{ UA}$ (unidades astronómicas) del Sol. Las observaciones astronómicas indican que el ángulo que forman las dos asíntotas de la trayectoria del cometa es de $60^\circ$. Tomando el Sol en el foco de abscisa positiva y el eje focal sobre el eje $X$ (con el vértice a la izquierda del Sol), determina la ecuación de la trayectoria del cometa y la distancia a la que se encontrará del Sol cuando cruce el eje de ordenadas.

Encuentra el lugar geométrico de los puntos $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(4, 0)$ y $B(-4, 0)$ es igual a $\frac{9}{16}$. Demuestra analíticamente que se trata de una hipérbola, halla su ecuación reducida, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola $x^2 - 4y^2 = 4$ trazadas desde el punto exterior $P(1, 1)$.

Demuestra de forma analítica que el área del triángulo formado por cualquier recta tangente a la hipérbola equilátera de ecuación $xy = k$ (con $k > 0$) y los dos ejes de coordenadas es independiente del punto de tangencia. Calcula dicho valor constante en función del parámetro $k$.

En el diseño de un telescopio reflector tipo Cassegrain, el espejo principal es parabólico y el espejo secundario tiene la forma de una rama de hipérbola. El foco del espejo parabólico coincide con uno de los focos de la hipérbola, situado a $120\text{ cm}$ por delante del vértice del espejo secundario. La imagen final se forma en el otro foco de la hipérbola, situado a $30\text{ cm}$ por detrás de dicho vértice (es decir, la distancia total entre los dos focos es $150\text{ cm}$). Calcula la ecuación de la hipérbola que define el espejo secundario y su excentricidad, situando el centro de la hipérbola en el origen de coordenadas y el eje focal en el eje de abscisas.

Estudia, en función del parámetro $m$, la posición relativa de la familia de rectas $y = mx - 1$ respecto a la hipérbola equilátera $x^2 - y^2 = 1$. Especifica para qué valores de $m$ la recta corta a una sola rama, a ambas ramas, es tangente o no corta a la curva.

Determina la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes de coordenadas, sabiendo que pasa por los puntos $A(4, \sqrt{3})$ y $B(2\sqrt{3}, 1)$. A partir de la ecuación obtenida, calcula la distancia exacta entre sus focos.

Sea la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Encuentra, en función de $a$, $b$ y $c$, las coordenadas de los puntos $P$ pertenecientes a la curva desde los cuales el segmento que une los dos focos $F$ y $F'$ se ve bajo un ángulo recto (es decir, los radios vectores $PF$ y $PF'$ son perpendiculares). Demuestra analíticamente que siempre existen dichos puntos para cualquier hipérbola, independientemente de su excentricidad.