Exercicis: Energia cinètica i energia potencial

L'energia cinètica es calcula com a $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$. Un porter d'handbol llança la pilota, de $0,4\ \text{kg}$, a $25\ \text{m/s}$. Calcula la seva energia cinètica.

L'energia potencial gravitatòria es calcula com a $E_p = m \cdot g \cdot h$. Un test de $6\ \text{kg}$ està a l'ampit d'una finestra, a $4\ \text{m}$ de terra (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). Calcula la seva energia potencial respecte a terra.

L'energia potencial elàstica d'una molla es calcula com a $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, on $k$ és la constant elàstica i $x$ la deformació. Una molla de $k = 300\ \text{N/m}$ s'estira $0,1\ \text{m}$. L'esquema es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'energia potencial elàstica que emmagatzema.
2. b) Si en comptes d'estirar-la es comprimeix $0,1\ \text{m}$, l'energia emmagatzemada és més gran, més petita o igual? Justifica-ho fixant-te en com apareix $x$ a la fórmula.

Indica quines energies mecàniques té cada cos (cinètica, potencial gravitatòria o potencial elàstica; en pot tenir més d'una):

1. a) Un arc tensat amb la fletxa preparada, abans de deixar-la anar.
2. b) Un avió en vol de creuer.
3. c) Un cotxe aparcat dalt d'un port de muntanya.
4. d) La molla d'un rellotge de corda acabat de carregar.

Un dron de repartiment de $2\ \text{kg}$ vola a $3\ \text{m/s}$ a $30\ \text{m}$ d'alçada (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la seva energia cinètica.
2. b) Calcula la seva energia potencial.
3. c) Quina és la seva energia mecànica, $E_m = E_c + E_p$?

Una bombeta penjada del sostre, a $2,5\ \text{m}$ de terra, té una energia potencial de $98\ \text{J}$ (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Aïlla la massa de la fórmula $E_p = m \cdot g \cdot h$ i calcula-la.

Dues molles idèntiques s'estiren al laboratori: la primera $5\ \text{cm}$ i la segona $10\ \text{cm}$. Sense fer càlculs numèrics, raona amb la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ quina emmagatzema més energia elàstica i quantes vegades més.

Una motocicleta amb el seu pilot suma $250\ \text{kg}$ i circula a $72\ \text{km/h}$.

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la seva energia cinètica.

Una pilota de golf de $0,045\ \text{kg}$ surt del tee amb una energia cinètica de $81\ \text{J}$. Aïlla la velocitat de la fórmula $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ i calcula amb quina velocitat surt.

Una persona en patinet elèctric circula a $10\ \text{m/s}$ i la seva energia cinètica és de $3600\ \text{J}$. Aïlla la massa de la fórmula de l'energia cinètica i calcula la massa total del conjunt persona-patinet.

Un dipòsit de reg conté $200\ \text{kg}$ d'aigua i la seva energia potencial respecte a terra és de $5880\ \text{J}$ (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Aïlla l'alçada de la fórmula $E_p = m \cdot g \cdot h$ i calcula a quina alçada està l'aigua.
2. b) Si es buida la meitat del dipòsit, quant valdrà l'energia potencial de l'aigua restant?

La molla d'un amortidor de joguina es comprimeix $0,15\ \text{m}$ i emmagatzema una energia potencial elàstica de $2,25\ \text{J}$.

1. a) Aïlla la constant elàstica de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ i calcula-la.
2. b) Quina energia emmagatzemaria si es comprimís $0,3\ \text{m}$?

Calcula l'energia cinètica de cada vehicle:

1. a) Un turisme de $1200\ \text{kg}$ que circula a $30\ \text{m/s}$.
2. b) Un camió de $9000\ \text{kg}$ que circula a $12\ \text{m/s}$.

Quin té més energia cinètica? Comenta què pesa més en el resultat: la massa o la velocitat.

Un dron de repartiment de $3\ \text{kg}$ descendeix des de $50\ \text{m}$ fins a $20\ \text{m}$ d'alçada mantenint una velocitat constant de $8\ \text{m/s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La situació es mostra a la figura.

1. a) Calcula la seva energia cinètica: canvia durant el descens?
2. b) Calcula l'energia potencial que perd.
3. c) Com canvia la seva energia mecànica? Explica què ha passat amb aquesta energia.

Una molla de constant $k = 300\ \text{N/m}$ es va estirant per etapes al laboratori.

1. a) Calcula l'energia potencial elàstica quan $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcula l'energia quan $x = 0,2\ \text{m}$.
3. c) Quantes vegades més gran és la segona que la primera? Explica el resultat a partir de la fórmula i prediu, sense calcular-ho amb la calculadora, l'energia per a $x = 0,4\ \text{m}$.

Un tren d'alta velocitat de $400\ \text{t}$ circula a $180\ \text{km/h}$.

1. a) Expressa la seva massa en quilograms, amb notació científica, i la seva velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la seva energia cinètica i expressa-la en notació científica.
3. c) Calcula l'energia cinètica que tindria circulant a $90\ \text{km/h}$ i determina quina relació guarda amb l'anterior.

Un cotxe de $900\ \text{kg}$ circula primer a $10\ \text{m/s}$ i després a $30\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la seva energia cinètica en cada cas.
2. b) Quantes vegades més gran és la segona que la primera? Relaciona aquest factor amb el factor pel qual s'ha multiplicat la velocitat.
3. c) Prediu, fent servir la proporcionalitat, l'energia cinètica a $40\ \text{m/s}$ i comprova-ho amb la fórmula.
4. d) Extreu una conseqüència per a la seguretat viària del fet que l'energia cinètica creixi amb el quadrat de la velocitat.

Un ciclista i la seva bicicleta sumen $80\ \text{kg}$ i baixen un port a $15\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la seva energia cinètica.
2. b) Una patinadora de $45\ \text{kg}$ porta exactament la mateixa energia cinètica: aïlla la velocitat i calcula a quant circula.
3. c) La relació de masses és $80/45 = 16/9$. Explica, fent servir la fórmula de l'energia cinètica, per què la relació de velocitats és l'arrel quadrada de la relació de masses invertida, és a dir, $4/3$.

Vols comprovar al laboratori que l'energia potencial elàstica és proporcional al quadrat de la deformació, fent servir una molla de $k = 200\ \text{N/m}$, un regle i un joc de peses.

1. a) Explica què mesuraries i com obtindries l'energia emmagatzemada en cada mesura.
2. b) Prediu els resultats: calcula l'energia potencial per a deformacions de $0,05\ \text{m}$, $0,10\ \text{m}$ i $0,15\ \text{m}$.
3. c) Si representessis l'energia enfront de la deformació $x$, quina forma tindria la gràfica? I si la representessis enfront de $x^2$? Justifica-ho.

El teu company calcula l'energia potencial elàstica d'una molla de $k = 500\ \text{N/m}$ comprimida $0,2\ \text{m}$ i obté $20\ \text{J}$, perquè ha fet servir l'expressió $E_p = k \cdot x^2$. La figura mostra com creix la força necessària en comprimir la molla.

1. a) Quin error ha comès?
2. b) Calcula tu correctament l'energia potencial elàstica.
3. c) El factor $\frac{1}{2}$ apareix perquè, en estirar o comprimir la molla, la força necessària creix des de $0$ fins a $k \cdot x$, i el treball realitzat es calcula amb la força mitjana. Calcula la força mitjana en aquest cas i comprova que força mitjana per deformació dóna el resultat correcte.

Un llibre de $0,5\ \text{kg}$ està sobre una taula de $80\ \text{cm}$ d'alçària, en una aula d'una segona planta situada $8\ \text{m}$ per sobre del carrer (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra els tres nivells.

1. a) Calcula la seva energia potencial prenent com a origen la superfície de la taula.
2. b) Calcula-la prenent com a origen el terra de l'aula.
3. c) Calcula-la prenent com a origen el carrer.
4. d) Explica què significa triar un nivell de referència i raona per què, en els problemes de conservació de l'energia, el resultat no depèn de l'origen triat (pensa en quina magnitud apareix realment: l'alçària o la diferència d'alçàries).

Una molla de $k = 800\ \text{N/m}$ emmagatzema $16\ \text{J}$ d'energia potencial elàstica.

1. a) Aïlla la deformació de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ i calcula-la.
2. b) Quina força fa la molla en aquesta situació? Utilitza la llei de Hooke, $F = k \cdot x$.
3. c) Quina força mitjana ha calgut aplicar per portar-la des de la posició natural fins a aquesta deformació? Comprova que el treball d'aquesta força mitjana coincideix amb l'energia emmagatzemada.

Calcula les energies mecàniques d'aquests dos vehicles i compara-les (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$):

1. a) Un avió comercial de $80000\ \text{kg}$ que vola a $10000\ \text{m}$ d'alçària a $250\ \text{m/s}$: calcula la seva energia cinètica, la seva energia potencial i la seva energia mecànica, en notació científica.
2. b) Un monoplaça de Fórmula 1 de $800\ \text{kg}$ que corre a $80\ \text{m/s}$ en un circuit al nivell del mar: calcula la seva energia cinètica i explica per què la seva energia potencial es pot prendre com a nul·la.
3. c) Comenta quin terme de l'energia mecànica domina en cada cas i a què es deu.

Un coet sonda de $500\ \text{kg}$ ascendeix accelerant. Quan està a $1000\ \text{m}$ d'alçària porta una velocitat de $100\ \text{m/s}$, i uns segons després passa per $3000\ \text{m}$ d'alçària a $200\ \text{m/s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra els dos punts de l'ascens.

1. a) Calcula la seva energia mecànica en el primer punt.
2. b) Calcula la seva energia mecànica en el segon punt.
3. c) Quant ha augmentat la seva energia mecànica? D'on ha sortit aquesta energia?
4. d) Es conserva l'energia mecànica durant l'ascens del coet? Justifica-ho.