Ejercicios: Energía cinética y energía potencial

La energía cinética se calcula como $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$. Un portero de balonmano lanza la pelota, de $0,4\ \text{kg}$, a $25\ \text{m/s}$. Calcula su energía cinética.

La energía potencial gravitatoria se calcula como $E_p = m \cdot g \cdot h$. Un macetero de $6\ \text{kg}$ está en el alfeizar de una ventana, a $4\ \text{m}$ del suelo (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). Calcula su energía potencial respecto al suelo.

La energía potencial elástica de un muelle se calcula como $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, donde $k$ es la constante elástica y $x$ la deformación. Un muelle de $k = 300\ \text{N/m}$ se estira $0,1\ \text{m}$. El esquema se muestra en la figura.

1. a) Calcula la energía potencial elástica que almacena.
2. b) Si en vez de estirarlo se comprime $0,1\ \text{m}$, ¿la energía almacenada es mayor, menor o igual? Justifícalo fijándote en cómo aparece $x$ en la fórmula.

Indica qué energías mecánicas tiene cada cuerpo (cinética, potencial gravitatoria o potencial elástica; puede tener más de una):

1. a) Un arco tensado con la flecha preparada, antes de soltarla.
2. b) Un avión en vuelo de crucero.
3. c) Un coche aparcado en lo alto de un puerto de montaña.
4. d) El muelle de un reloj de cuerda recién armado.

Un dron de reparto de $2\ \text{kg}$ vuela a $3\ \text{m/s}$ a $30\ \text{m}$ de altura (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula su energía cinética.
2. b) Calcula su energía potencial.
3. c) ¿Cuál es su energía mecánica, $E_m = E_c + E_p$?

Una bombilla colgada del techo, a $2,5\ \text{m}$ del suelo, tiene una energía potencial de $98\ \text{J}$ (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Despeja la masa de la fórmula $E_p = m \cdot g \cdot h$ y calcúlala.

Dos muelles idénticos se estiran en el laboratorio: el primero $5\ \text{cm}$ y el segundo $10\ \text{cm}$. Sin hacer cálculos numéricos, razona con la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ cuál almacena más energía elástica y cuántas veces más.

Una motocicleta con su piloto suma $250\ \text{kg}$ y circula a $72\ \text{km/h}$.

1. a) Expresa la velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula su energía cinética.

Una pelota de golf de $0,045\ \text{kg}$ sale del tee con una energía cinética de $81\ \text{J}$. Despeja la velocidad de la fórmula $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ y calcula con qué velocidad sale.

Una persona en patinete eléctrico circula a $10\ \text{m/s}$ y su energía cinética es de $3600\ \text{J}$. Despeja la masa de la fórmula de la energía cinética y calcula la masa total del conjunto persona-patinete.

Un depósito de riego contiene $200\ \text{kg}$ de agua y su energía potencial respecto al suelo es de $5880\ \text{J}$ (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Despeja la altura de la fórmula $E_p = m \cdot g \cdot h$ y calcula a qué altura está el agua.
2. b) Si se vacía la mitad del depósito, ¿cuánto valdrá la energía potencial del agua restante?

El muelle de un amortiguador de juguete se comprime $0,15\ \text{m}$ y almacena una energía potencial elástica de $2,25\ \text{J}$.

1. a) Despeja la constante elástica de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ y calcúlala.
2. b) ¿Qué energía almacenaría si se comprimiera $0,3\ \text{m}$?

Calcula la energía cinética de cada vehículo:

1. a) Un turismo de $1200\ \text{kg}$ que circula a $30\ \text{m/s}$.
2. b) Un camión de $9000\ \text{kg}$ que circula a $12\ \text{m/s}$.

¿Cuál tiene más energía cinética? Comenta qué pesa más en el resultado: la masa o la velocidad.

Un dron de reparto de $3\ \text{kg}$ desciende desde $50\ \text{m}$ hasta $20\ \text{m}$ de altura manteniendo una velocidad constante de $8\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La situación se muestra en la figura.

1. a) Calcula su energía cinética: ¿cambia durante el descenso?
2. b) Calcula la energía potencial que pierde.
3. c) ¿Cómo cambia su energía mecánica? Explica qué ha pasado con esa energía.

Un muelle de constante $k = 300\ \text{N/m}$ se va estirando por etapas en el laboratorio.

1. a) Calcula la energía potencial elástica cuando $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcula la energía cuando $x = 0,2\ \text{m}$.
3. c) ¿Cuántas veces mayor es la segunda que la primera? Explica el resultado a partir de la fórmula y predice, sin calcularlo con la calculadora, la energía para $x = 0,4\ \text{m}$.

Un tren de alta velocidad de $400\ \text{t}$ circula a $180\ \text{km/h}$.

1. a) Expresa su masa en kilogramos, con notación científica, y su velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula su energía cinética y exprésala en notación científica.
3. c) Calcula la energía cinética que tendría circulando a $90\ \text{km/h}$ y determina qué relación guarda con la anterior.

Un coche de $900\ \text{kg}$ circula primero a $10\ \text{m/s}$ y después a $30\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula su energía cinética en cada caso.
2. b) ¿Cuántas veces mayor es la segunda que la primera? Relaciona ese factor con el factor en que se ha multiplicado la velocidad.
3. c) Predice, usando la proporcionalidad, la energía cinética a $40\ \text{m/s}$ y compruébalo con la fórmula.
4. d) Extrae una consecuencia para la seguridad vial del hecho de que la energía cinética crezca con el cuadrado de la velocidad.

Un ciclista y su bicicleta suman $80\ \text{kg}$ y descienden un puerto a $15\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula su energía cinética.
2. b) Una patinadora de $45\ \text{kg}$ lleva exactamente la misma energía cinética: despeja la velocidad y calcula a cuánto circula.
3. c) La relación de masas es $80/45 = 16/9$. Explica, usando la fórmula de la energía cinética, por qué la relación de velocidades es la raíz cuadrada de la relación de masas invertida, es decir, $4/3$.

Quieres comprobar en el laboratorio que la energía potencial elástica es proporcional al cuadrado de la deformación, usando un muelle de $k = 200\ \text{N/m}$, una regla y un juego de pesas.

1. a) Explica qué medirías y cómo obtendrías la energía almacenada en cada medida.
2. b) Predice los resultados: calcula la energía potencial para deformaciones de $0,05\ \text{m}$, $0,10\ \text{m}$ y $0,15\ \text{m}$.
3. c) Si representaras la energía frente a la deformación $x$, ¿qué forma tendría la gráfica? ¿Y si la representaras frente a $x^2$? Justifícalo.

Tu compañero calcula la energía potencial elástica de un muelle de $k = 500\ \text{N/m}$ comprimido $0,2\ \text{m}$ y obtiene $20\ \text{J}$, porque ha usado la expresión $E_p = k \cdot x^2$. La figura muestra cómo crece la fuerza necesaria al comprimir el muelle.

1. a) ¿Qué error ha cometido?
2. b) Calcula tú correctamente la energía potencial elástica.
3. c) El factor $\frac{1}{2}$ aparece porque, al estirar o comprimir el muelle, la fuerza necesaria crece desde $0$ hasta $k \cdot x$, y el trabajo realizado se calcula con la fuerza media. Calcula la fuerza media en este caso y comprueba que fuerza media por deformación da el resultado correcto.

Un libro de $0,5\ \text{kg}$ está sobre una mesa de $80\ \text{cm}$ de altura, en un aula de una segunda planta situada $8\ \text{m}$ por encima de la calle (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra los tres niveles.

1. a) Calcula su energía potencial tomando como origen la superficie de la mesa.
2. b) Calcúlala tomando como origen el suelo del aula.
3. c) Calcúlala tomando como origen la calle.
4. d) Explica qué significa elegir un nivel de referencia y razona por qué, en los problemas de conservación de la energía, el resultado no depende del origen elegido (piensa en qué magnitud aparece realmente: la altura o la diferencia de alturas).

Un muelle de $k = 800\ \text{N/m}$ almacena $16\ \text{J}$ de energía potencial elástica.

1. a) Despeja la deformación de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ y calcúlala.
2. b) ¿Qué fuerza ejerce el muelle en esa situación? Usa la ley de Hooke, $F = k \cdot x$.
3. c) ¿Qué fuerza media ha sido necesario aplicar para llevarlo desde la posición natural hasta esa deformación? Comprueba que el trabajo de esa fuerza media coincide con la energía almacenada.

Calcula las energías mecánicas de estos dos vehículos y compáralas (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$):

1. a) Un avión comercial de $80000\ \text{kg}$ que vuela a $10000\ \text{m}$ de altura a $250\ \text{m/s}$: calcula su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica, en notación científica.
2. b) Un monoplaza de Fórmula 1 de $800\ \text{kg}$ que corre a $80\ \text{m/s}$ en un circuito al nivel del mar: calcula su energía cinética y explica por qué su energía potencial puede tomarse como nula.
3. c) Comenta qué término de la energía mecánica domina en cada caso y a qué se debe.

Un cohete sonda de $500\ \text{kg}$ asciende acelerando. Cuando está a $1000\ \text{m}$ de altura lleva una velocidad de $100\ \text{m/s}$, y unos segundos después pasa por $3000\ \text{m}$ de altura a $200\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra los dos puntos del ascenso.

1. a) Calcula su energía mecánica en el primer punto.
2. b) Calcula su energía mecánica en el segundo punto.
3. c) ¿Cuánto ha aumentado su energía mecánica? ¿De dónde ha salido esa energía?
4. d) ¿Se conserva la energía mecánica durante el ascenso del cohete? Justifícalo.