Exercicis: Conservació en sistemes conservatius i no conservatius

Un gronxador es balanceja lliurement després d'un impuls inicial, com es mostra a la figura.

1. a) En quins punts del recorregut és màxima la seva energia potencial? I màxima la seva energia cinètica?
2. b) Descriu la transformació d'energia que té lloc en la baixada des d'un extrem fins al punt més baix.
3. c) Si ningú torna a empènyer, l'amplitud disminueix a poc a poc: quines forces en són les responsables i què li passa a l'energia mecànica?

Una pedra de $2\ \text{kg}$ cau des d'un penya-segat de $20\ \text{m}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament amb l'aire). La situació es mostra a la figura.

1. a) Quina energia potencial té en començar a caure?
2. b) Si l'energia mecànica es conserva, quina energia cinètica tindrà en arribar a baix?
3. c) Amb quina velocitat arribarà?

Indica en quines d'aquestes situacions es conserva l'energia mecànica i en quines no, justificant-ho en una frase en cada cas:

1. a) Un satèl·lit en òrbita circular al voltant de la Terra.
2. b) Un cotxe que frena en sec fins a aturar-se.
3. c) Una poma que es desprèn de la branca i cau (menysprea el fregament).
4. d) Un ascensor que puja amb velocitat constant.

Llançes verticalment cap amunt una bola de $0,5\ \text{kg}$ amb una velocitat de $10\ \text{m/s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament), com es mostra a la figura.

1. a) Quina energia cinètica té en sortir de la teva mà?
2. b) Planteja la conservació de l'energia mecànica entre el punt de llançament i el punt més alt (on la velocitat és nul·la) i calcula l'alçària màxima que assoleix.

En totes les muntanyes russes, el primer cim del recorregut és el més alt de tot el circuit. Observa l'esquema:

Explica, utilitzant la conservació de l'energia mecànica, per què cap cim posterior pot superar l'alçària del primer si el vagonet surt d'aquest gairebé des del repòs, i quin paper juga el fregament en aquesta conclusió.

Un saltador de molla (pogo) té una molla que es comprimeix en aterrar i s'estira en enlairar-se.

1. a) Descriu la cadena de transformacions d'energia en un salt complet, des que la molla està comprimida al màxim fins que el saltador assoleix l'alçària màxima.
2. b) Es conserva l'energia mecànica mentre la molla empeny? I durant el vol? Raona les dues respostes.

Un esquiador baixa per una pista, sense impulsar-se, des d'un cim fins a la base (menysprea els fregaments), com es mostra a la figura.

1. a) En quin punt del descens és màxima la seva velocitat? On és màxima la seva energia potencial?
2. b) Canvia la seva energia mecànica durant la baixada?
3. c) Si una altra pista amb un perfil completament diferent unís el mateix cim amb la mateixa base, arribaria a baix amb més, menys o igual velocitat? Justifica-ho amb la conservació de l'energia.

Explica amb les teves paraules què és una força conservativa, posant com a exemples el pes i la força elàstica d'una molla, i què li passa a l'energia mecànica d'un sistema quan només actuen forces d'aquest tipus. Posa després un exemple de força no conservativa, indica el signe del treball que fa sobre un cos en moviment i explica el seu efecte sobre l'energia mecànica del cos.

Un vagonet de muntanya russa passa pel cim més alt del recorregut, a $40\ \text{m}$, amb una velocitat de $5\ \text{m/s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament). La situació es mostra a la figura.

1. a) Calcula la seva energia mecànica per cada quilogram de massa.
2. b) Amb quina velocitat passarà per un punt situat a $10\ \text{m}$ d'alçària?
3. c) Cal conèixer la massa del vagonet per respondre? Justifica-ho a partir de l'equació de conservació.

Al laboratori, la bola de $0,1\ \text{kg}$ d'un pèndol es deixa anar des del repòs en una posició $45\ \text{cm}$ més alta que el punt més baix de la seva oscil·lació (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la seva energia potencial inicial respecte al punt més baix.
2. b) Planteja la conservació de l'energia i calcula amb quina velocitat passa pel punt més baix.
3. c) Quina alçària assolirà a l'altre costat de l'oscil·lació? Justifica-ho sense tornar a calcular.

Un paquet de $2\ \text{kg}$ baixa lliscant per una rampa metàl·lica des de $5\ \text{m}$ d'alçària i arriba a baix amb una velocitat de $8\ \text{m/s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). L'esquema es mostra a la figura.

1. a) Quina energia potencial tenia a dalt?
2. b) Quina energia cinètica té en arribar a baix?
3. c) S'ha conservat l'energia mecànica? Calcula l'energia dissipada, que coincideix en valor absolut amb el treball de la força de fregament, $W_{roz} = \Delta E_m$.
4. d) Si la rampa fa $10\ \text{m}$, calcula la força de fregament mitjana que ha actuat sobre el paquet.

Una molla de $k = 200\ \text{N/m}$, comprimida $0,1\ \text{m}$, empeny sobre una taula horitzontal sense fregament un bloc de $0,5\ \text{kg}$ que estava en repòs. L'esquema es mostra a la figura.

1. a) Quina energia potencial elàstica té la molla comprimida?
2. b) Planteja la conservació de l'energia entre la molla comprimida i el bloc ja separat de la molla, i calcula la velocitat amb què surt disparat.
3. c) Explica quines forces actuen sobre el bloc a cada moment i per què l'energia mecànica es conserva.

Un carret de laboratori entra per la base d'una pista corba amb una velocitat de $4\ \text{m/s}$ i puja per ella sense impulsar-se (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament).

1. a) Quina alçària màxima assoleix?
2. b) Si entrés al doble de velocitat, $8\ \text{m/s}$, pujaria el doble d'alt? Calcula-ho i comenta el resultat.
3. c) Escriu la relació de proporcionalitat entre l'alçària assolida i la velocitat d'entrada.

Una caixa de $4\ \text{kg}$ llisca per un terra horitzontal amb una velocitat inicial de $6\ \text{m/s}$ i s'atura pel fregament. El coeficient de fregament és $\mu = 0,3$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quina energia cinètica tenia en començar a lliscar?
2. b) Calcula la força de fregament, $F_{roz} = \mu \cdot m \cdot g$.
3. c) El treball del fregament consumeix tota l'energia cinètica: calcula la distància que recorre abans d'aturar-se.

Una pilota de $0,1\ \text{kg}$ es deixa caure des de $2\ \text{m}$ i, després de rebotar a terra, només puja fins a $1,5\ \text{m}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la seva energia potencial abans de caure i al punt més alt després del rebot.
2. b) Quanta energia ha perdut en el bot? Quin percentatge de la inicial representa?
3. c) En què s'ha transformat aquesta energia?
4. d) Si la pilota continués rebotant de la mateixa manera, què passaria a la llarga amb la seva energia mecànica?

La bola de $0,2\ \text{kg}$ d'un pèndol passa pel punt més baix amb una velocitat de $4\ \text{m/s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quina energia cinètica porta en aquest punt?
2. b) Si no hi hagués fregament, quina alçària màxima assoliria a l'altre costat?
3. c) En la realitat només puja $0,6\ \text{m}$: calcula l'energia dissipada en aquesta mitja oscil·lació, $W_{roz} = \Delta E_m$.
4. d) Explica, a partir d'aquests nombres, per què el pèndol s'acabarà aturant i en què s'ha convertit la seva energia.

Un vagonet de muntanya russa parteix des del repòs d'un cim de $45\ \text{m}$ d'alçària, baixa a una vall situada a $25\ \text{m}$ i després afronta un segon cim de $40\ \text{m}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament). El perfil del recorregut es mostra a la figura.

1. a) Amb quina velocitat passa per la vall?
2. b) Amb quina velocitat passa pel segon cim?
3. c) Si hi hagués un tercer cim de $50\ \text{m}$, aconseguiria superar-lo? Justifica-ho amb energies i indica des de quina alçària mínima hauria de partir per aconseguir-ho (en el límit, arribant amb velocitat nul·la).
4. d) Tenint en compte que en la realitat sempre hi ha fregament, raona si l'alçària de partida hauria de ser més gran o més petita que la calculada en l'apartat anterior.

Una molla de $k = 500\ \text{N/m}$, comprimida $0,2\ \text{m}$, llança un bloc de $1\ \text{kg}$ sobre un terra horitzontal el coeficient de fregament del qual és $\mu = 0,25$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). El bloc recorre una certa distància i s'atura.

1. a) Calcula l'energia potencial elàstica inicial de la molla.
2. b) Calcula la força de fregament que actua sobre el bloc un cop es mou.
3. c) Raona per què tota l'energia elàstica s'acaba dissipant i calcula la distància que recorre el bloc fins a aturar-se.
4. d) Si la molla es comprimís $0,4\ \text{m}$ (el doble), quina distància recorreria? Comenta la relació que trobes.

Un paquet de $2\ \text{kg}$ es desprèn d'un dron de repartiment que està quiet a $45\ \text{m}$ d'alçària (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament amb l'aire).

1. a) Quina és la seva energia mecànica en començar a caure?
2. b) Quan passa per $25\ \text{m}$ d'alçària, quanta energia potencial i quanta energia cinètica té? Amb quina velocitat passa per allà?
3. c) Amb quina velocitat arriba a terra?
4. d) Depenen les velocitats calculades de la massa del paquet? Justifica-ho a partir de l'equació de conservació.

Un cotxe de $1200\ \text{kg}$ frena fins a aturar-se sobre asfalt sec, amb un coeficient de fregament $\mu = 0,6$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la força de fregament durant la frenada.
2. b) Si circulava a $30\ \text{m/s}$, calcula la seva energia cinètica i la distància de frenada (el treball del fregament consumeix tota l'energia cinètica).
3. c) Repeteix el càlcul per a una velocitat inicial de $15\ \text{m/s}$.
4. d) Quina relació hi ha entre les dues distàncies de frenada? Explica quina conseqüència té aquest resultat per als límits de velocitat a la ciutat.

Un bloc de $2\ \text{kg}$ baixa lliscant des del repòs per un pla inclinat de $3\ \text{m}$ d'alçària. L'angle del pla compleix $\sen \theta = 0,6$ i $\cos \theta = 0,8$, i el coeficient de fregament és $\mu = 0,3$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). L'esquema es mostra a la figura.

1. a) Calcula la longitud del pla que recorre el bloc i la força normal sobre ell, $N = m \cdot g \cdot \cos \theta$.
2. b) Calcula la força de fregament i el seu treball, $W_{roz} = -F_{roz} \cdot L$.
3. c) Aplica $W_{roz} = \Delta E_m$ per calcular l'energia cinètica del bloc en arribar a baix i la seva velocitat.
4. d) Quin percentatge de l'energia potencial inicial s'ha dissipat per fregament?

Un vagonet de muntanya russa parteix des del repòs d'un cim de $45\ \text{m}$ i afronta un bucle (loop) de $12,5\ \text{m}$ de radi, el punt més alt del qual està per tant a $25\ \text{m}$ de terra (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament). L'esquema es mostra a la figura.

1. a) Amb quina velocitat passa pel punt més baix del circuit?
2. b) Amb quina velocitat passa pel punt més alt del bucle?
3. c) Per seguretat, la velocitat en el punt més alt del bucle ha de ser com a mínim de $15\ \text{m/s}$ (dada). La supera el vagonet? Calcula des de quina alçària mínima podria partir el vagonet per complir just aquest requisit.
4. d) Raona per què en el disseny real el cim de sortida està força per sobre d'aquesta alçària mínima teòrica.

Una massa de $1\ \text{kg}$ penja d'una molla vertical de $k = 100\ \text{N/m}$. Es deixa anar des del repòs en el punt en què la molla està sense deformar i cau estirant-la (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el fregament). L'esquema es mostra a la figura.

1. a) Explica per què, tant en deixar-la anar com en el punt més baix de la caiguda, la seva energia cinètica és nul·la, i planteja la conservació de l'energia entre aquests dos punts: $m \cdot g \cdot x = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, on $x$ és l'estirament màxim.
2. b) Calcula l'estirament màxim $x$.
3. c) La posició d'equilibri estàtic (on la massa penjada quedaria en repòs) compleix $k \cdot x_e = m \cdot g$: calcula-la i compara amb $x$. Explica el factor $2$ que apareix: on és l'«energia de més» quan la massa passa per la posició d'equilibri?

Una persona i el seu equip, $80\ \text{kg}$ en total, es llancen per una tirolina de $100\ \text{m}$ de cable que salva un desnivell de $45\ \text{m}$. El fregament mitjà (politja, aire) és de $200\ \text{N}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). L'esquema es mostra a la figura.

1. a) Quina energia potencial té a l'inici del recorregut?
2. b) Calcula el treball del fregament durant tot el descens, $W_{roz} = -F_{roz} \cdot d$.
3. c) Calcula l'energia cinètica i la velocitat amb què arriba al final del cable.
4. d) Amb quina velocitat arribaria si no hi hagués fregament? Comenta el resultat i explica per què les tirolines necessiten un sistema de frenada a l'arribada.

Repte del tema. Quanta energia mecànica es dissipa en un bot? Investiga experimentalment la degradació energètica a casa teva.

1. Presa de dades: Pesa una pilota en una balança de cuina ($\pm 1\text{ g}$) i deixa-la caure verticalment des de quatre alçàries ($h_1$: $0,40$; $0,60$; $0,80$; $1,00\text{ m}$). Amb una cinta mètrica ($\pm 0,005\text{ m}$), mesura l'alçària màxima de rebot ($h_2$). Grava en vídeo contra una paret de referència i repeteix $3$ vegades per alçària per calcular la mitjana i la seva incertesa.

2. Tractament de dades: Elabora una taula amb l'energia potencial inicial ($E_{p1} = m \cdot g \cdot h_1$), la final ($E_{p2} = m \cdot g \cdot h_2$, prenent $g = 9,8\text{ m/s}^2$) i el treball dissipat per forces no conservatives ($W_{nc} = \Delta E_m$). Representa gràficament $E_{p2}$ enfront de $E_{p1}$ i ajusta la recta.

3. Informe de conclusions: Redacta un breu informe justificant la transformació d'energia potencial en cinètica, com actua la deformació inelàstica durant el xoc i el percentatge mitjà d'energia degradada en so i calor.

Es valorarà:

• Rigor metrològic en la presa de mesures casolanes i el tractament d'incerteses.

• Correcció analítica en la taula i en la gràfica de dispersió amb la seva línia de tendència.

• Qualitat de la justificació teòrica sobre la conservació de l'energia mecànica i el càlcul de $W_{nc}$.