Ejercicios: Conservación en sistemas conservativos y no conservativos

Un columpio se balancea libremente después de un impulso inicial, como se muestra en la figura.

1. a) ¿En qué puntos del recorrido es máxima su energía potencial? ¿Y máxima su energía cinética?
2. b) Describe la transformación de energía que ocurre en la bajada desde un extremo hasta el punto más bajo.
3. c) Si nadie vuelve a empujar, la amplitud disminuye poco a poco: ¿qué fuerzas son las responsables y qué le ocurre a la energía mecánica?

Una piedra de $2\ \text{kg}$ cae desde un acantilado de $20\ \text{m}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento con el aire). La situación se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué energía potencial tiene al empezar a caer?
2. b) Si la energía mecánica se conserva, ¿qué energía cinética tendrá al llegar abajo?
3. c) ¿Con qué velocidad llegará?

Indica en cuáles de estas situaciones se conserva la energía mecánica y en cuáles no, justificándolo en una frase en cada caso:

1. a) Un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra.
2. b) Un coche que frena en seco hasta detenerse.
3. c) Una manzana que se desprende de la rama y cae (desprecia el rozamiento).
4. d) Un ascensor que sube con velocidad constante.

Lanzas verticalmente hacia arriba una bola de $0,5\ \text{kg}$ con una velocidad de $10\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento), como se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué energía cinética tiene al salir de tu mano?
2. b) Plantea la conservación de la energía mecánica entre el punto de lanzamiento y el punto más alto (donde la velocidad es nula) y calcula la altura máxima que alcanza.

En todas las montañas rusas, la primera cima del recorrido es la más alta de todo el circuito. Observa el esquema:

Explica, usando la conservación de la energía mecánica, por qué ninguna cima posterior puede superar la altura de la primera si el vagón parte de ella casi desde el reposo, y qué papel juega el rozamiento en esa conclusión.

Un palo saltarín (pogo) tiene un muelle que se comprime al aterrizar y se estira al despegar.

1. a) Describe la cadena de transformaciones de energía en un salto completo, desde que el muelle está comprimido al máximo hasta que el saltador alcanza la altura máxima.
2. b) ¿Se conserva la energía mecánica mientras el muelle empuja? ¿Y durante el vuelo? Razona ambas respuestas.

Un esquiador baja por una pista, sin impulsarse, desde una cima hasta la base (desprecia los rozamientos), como se muestra en la figura.

1. a) ¿En qué punto del descenso es máxima su velocidad? ¿Dónde es máxima su energía potencial?
2. b) ¿Cambia su energía mecánica durante la bajada?
3. c) Si otra pista con un perfil completamente distinto uniera la misma cima con la misma base, ¿llegaría abajo con más, menos o igual velocidad? Justifícalo con la conservación de la energía.

Explica con tus palabras qué es una fuerza conservativa, poniendo como ejemplos el peso y la fuerza elástica de un muelle, y qué le ocurre a la energía mecánica de un sistema cuando solo actúan fuerzas de ese tipo. Pon después un ejemplo de fuerza no conservativa, indica el signo del trabajo que realiza sobre un cuerpo en movimiento y explica su efecto sobre la energía mecánica del cuerpo.

Un vagón de montaña rusa pasa por la cima más alta del recorrido, a $40\ \text{m}$, con una velocidad de $5\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento). La situación se muestra en la figura.

1. a) Calcula su energía mecánica por cada kilogramo de masa.
2. b) ¿Con qué velocidad pasará por un punto situado a $10\ \text{m}$ de altura?
3. c) ¿Hace falta conocer la masa del vagón para responder? Justifícalo a partir de la ecuación de conservación.

En el laboratorio, la bola de $0,1\ \text{kg}$ de un péndulo se suelta desde el reposo en una posición $45\ \text{cm}$ más alta que el punto más bajo de su oscilación (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento), como se muestra en la figura.

1. a) Calcula su energía potencial inicial respecto al punto más bajo.
2. b) Plantea la conservación de la energía y calcula con qué velocidad pasa por el punto más bajo.
3. c) ¿Qué altura alcanzará al otro lado de la oscilación? Justifícalo sin volver a calcular.

Un paquete de $2\ \text{kg}$ baja deslizando por una rampa metálica desde $5\ \text{m}$ de altura y llega abajo con una velocidad de $8\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). El esquema se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué energía potencial tenía arriba?
2. b) ¿Qué energía cinética tiene al llegar abajo?
3. c) ¿Se ha conservado la energía mecánica? Calcula la energía disipada, que coincide con el trabajo de la fuerza de rozamiento, $W_{roz} = \Delta E_m$.
4. d) Si la rampa mide $10\ \text{m}$, calcula la fuerza de rozamiento media que ha actuado sobre el paquete.

Un muelle de $k = 200\ \text{N/m}$, comprimido $0,1\ \text{m}$, empuja sobre una mesa horizontal sin rozamiento a un bloque de $0,5\ \text{kg}$ que estaba en reposo. El esquema se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué energía potencial elástica tiene el muelle comprimido?
2. b) Plantea la conservación de la energía entre el muelle comprimido y el bloque ya separado del muelle, y calcula la velocidad con que sale despedido.
3. c) Explica qué fuerzas actúan sobre el bloque en cada momento y por qué la energía mecánica se conserva.

Un carrito de laboratorio entra por la base de una pista curva con una velocidad de $4\ \text{m/s}$ y sube por ella sin impulsarse (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento).

1. a) ¿Qué altura máxima alcanza?
2. b) Si entrara al doble de velocidad, $8\ \text{m/s}$, ¿subiría el doble de alto? Calcúlalo y comenta el resultado.
3. c) Escribe la relación de proporcionalidad entre la altura alcanzada y la velocidad de entrada.

Una caja de $4\ \text{kg}$ se desliza por un suelo horizontal con una velocidad inicial de $6\ \text{m/s}$ y se para por el rozamiento. El coeficiente de rozamiento es $\mu = 0,3$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Qué energía cinética tenía al empezar a deslizar?
2. b) Calcula la fuerza de rozamiento, $F_{roz} = \mu \cdot m \cdot g$.
3. c) El trabajo del rozamiento consume toda la energía cinética: calcula la distancia que recorre antes de pararse.

Una pelota de $0,1\ \text{kg}$ se deja caer desde $2\ \text{m}$ y, tras rebotar en el suelo, solo sube hasta $1,5\ \text{m}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$), como se muestra en la figura.

1. a) Calcula su energía potencial antes de caer y justo después del rebote.
2. b) ¿Cuánta energía ha perdido en el bote? ¿Qué porcentaje de la inicial representa?
3. c) ¿En qué se ha transformado esa energía?
4. d) Si la pelota siguiera rebotando del mismo modo, ¿qué ocurriría a la larga con su energía mecánica?

La bola de $0,2\ \text{kg}$ de un péndulo pasa por el punto más bajo con una velocidad de $4\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Qué energía cinética lleva en ese punto?
2. b) Si no hubiera rozamiento, ¿qué altura máxima alcanzaría al otro lado?
3. c) En la realidad solo sube $0,6\ \text{m}$: calcula la energía disipada en esa media oscilación, $W_{roz} = \Delta E_m$.
4. d) Explica, a partir de estos números, por qué el péndulo acabará parándose y en qué se ha convertido su energía.

Un vagón de montaña rusa parte desde el reposo de una cima de $45\ \text{m}$ de altura, baja a un valle situado a $25\ \text{m}$ y después afronta una segunda cima de $40\ \text{m}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento). El perfil del recorrido se muestra en la figura.

1. a) ¿Con qué velocidad pasa por el valle?
2. b) ¿Con qué velocidad pasa por la segunda cima?
3. c) Si hubiera una tercera cima de $50\ \text{m}$, ¿conseguiría superarla? Justifícalo con energías e indica desde qué altura mínima debería partir para lograrlo (en el límite, llegando con velocidad nula).
4. d) Teniendo en cuenta que en la realidad siempre hay rozamiento, razona si la altura de partida debería ser mayor o menor que la calculada en el apartado anterior.

Un muelle de $k = 500\ \text{N/m}$, comprimido $0,2\ \text{m}$, lanza a un bloque de $1\ \text{kg}$ sobre un suelo horizontal cuyo coeficiente de rozamiento es $\mu = 0,25$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). El bloque recorre una cierta distancia y se para.

1. a) Calcula la energía potencial elástica inicial del muelle.
2. b) Calcula la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque una vez se mueve.
3. c) Razona por qué toda la energía elástica acaba disipándose y calcula la distancia que recorre el bloque hasta pararse.
4. d) Si el muelle se comprimiera $0,4\ \text{m}$ (el doble), ¿qué distancia recorrería? Comenta la relación que encuentras.

Un paquete de $2\ \text{kg}$ se desprende de un dron de reparto que está quieto a $45\ \text{m}$ de altura (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento con el aire).

1. a) ¿Cuál es su energía mecánica al empezar a caer?
2. b) Cuando pasa por $25\ \text{m}$ de altura, ¿cuánta energía potencial y cuánta energía cinética tiene? ¿Con qué velocidad pasa por ahí?
3. c) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
4. d) ¿Dependen las velocidades calculadas de la masa del paquete? Justifícalo a partir de la ecuación de conservación.

Un coche de $1200\ \text{kg}$ frena hasta detenerse sobre asfalto seco, con un coeficiente de rozamiento $\mu = 0,6$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la fuerza de rozamiento durante la frenada.
2. b) Si circulaba a $30\ \text{m/s}$, calcula su energía cinética y la distancia de frenado (el trabajo del rozamiento consume toda la energía cinética).
3. c) Repite el cálculo para una velocidad inicial de $15\ \text{m/s}$.
4. d) ¿Qué relación hay entre las dos distancias de frenado? Explica qué consecuencia tiene este resultado para los límites de velocidad en ciudad.

Un bloque de $2\ \text{kg}$ baja deslizando desde el reposo por un plano inclinado de $3\ \text{m}$ de altura. El ángulo del plano cumple $\sen \theta = 0,6$ y $\cos \theta = 0,8$, y el coeficiente de rozamiento es $\mu = 0,3$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). El esquema se muestra en la figura.

1. a) Calcula la longitud del plano que recorre el bloque y la fuerza normal sobre él, $N = m \cdot g \cdot \cos \theta$.
2. b) Calcula la fuerza de rozamiento y su trabajo, $W_{roz} = -F_{roz} \cdot L$.
3. c) Aplica $W_{roz} = \Delta E_m$ para calcular la energía cinética del bloque al llegar abajo y su velocidad.
4. d) ¿Qué porcentaje de la energía potencial inicial se ha disipado por rozamiento?

Un vagón de montaña rusa parte desde el reposo de una cima de $45\ \text{m}$ y afronta un rizo (loop) de $12,5\ \text{m}$ de radio, cuyo punto más alto está por tanto a $25\ \text{m}$ del suelo (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento). El esquema se muestra en la figura.

1. a) ¿Con qué velocidad pasa por el punto más bajo del circuito?
2. b) ¿Con qué velocidad pasa por el punto más alto del rizo?
3. c) Por seguridad, la velocidad en el punto más alto del rizo debe ser al menos de $15\ \text{m/s}$ (dato). ¿La supera el vagón? Calcula desde qué altura mínima podría partir el vagón para cumplir justo ese requisito.
4. d) Razona por qué en el diseño real la cima de partida está bastante por encima de esa altura mínima teórica.

Una masa de $1\ \text{kg}$ cuelga de un muelle vertical de $k = 100\ \text{N/m}$. Se suelta desde el reposo en el punto en que el muelle está sin deformar y cae estirándolo (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento). El esquema se muestra en la figura.

1. a) Explica por qué, tanto al soltarla como en el punto más bajo de la caída, su energía cinética es nula, y plantea la conservación de la energía entre esos dos puntos: $m \cdot g \cdot x = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, donde $x$ es el estiramiento máximo.
2. b) Calcula el estiramiento máximo $x$.
3. c) La posición de equilibrio estático (donde la masa colgada quedaría en reposo) cumple $k \cdot x_e = m \cdot g$: calcúlala y compara con $x$. Explica el factor $2$ que aparece: ¿dónde está la «energía de más» cuando la masa pasa por la posición de equilibrio?

Una persona y su equipo, $80\ \text{kg}$ en total, se lanzan por una tirolina de $100\ \text{m}$ de cable que salva un desnivel de $45\ \text{m}$. El rozamiento medio (polea, aire) es de $200\ \text{N}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). El esquema se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué energía potencial tiene al inicio del recorrido?
2. b) Calcula el trabajo del rozamiento durante todo el descenso, $W_{roz} = -F_{roz} \cdot d$.
3. c) Calcula la energía cinética y la velocidad con que llega al final del cable.
4. d) ¿Con qué velocidad llegaría si no hubiera rozamiento? Comenta el resultado y explica por qué las tirolinas necesitan un sistema de frenado en la llegada.