Ejercicios: Notación científica

El vídeo de un conocido streamer español ha alcanzado la cifra de $45.200.000$ reproducciones en apenas una semana. Expresa este número de visualizaciones utilizando la notación científica e indica cuál es su mantisa y cuál es su orden de magnitud.

En el laboratorio de Biología, un grupo de alumnos observa que el diámetro de un glóbulo rojo es de aproximadamente $7,5 \cdot 10^{-6}$ metros. Expresa esta medida en forma decimal (notación estándar) y explica hacia qué lado se desplaza la coma y cuántas posiciones.

Indica cuáles de los siguientes números están escritos correctamente en notación científica. En caso de que alguno no lo esté, explica brevemente por qué:

1. a) $0,45 \cdot 10^{8}$
2. b) $1,02 \cdot 10^{-5}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{3}$
4. d) $9,99 \cdot 10^{12}$

Una empresa de tecnología está comparando el tamaño de tres componentes electrónicos. Los tamaños son: $A = 3,2 \cdot 10^{-4}$ mm, $B = 1,5 \cdot 10^{-3}$ mm y $C = 8,9 \cdot 10^{-4}$ mm. Ordena los componentes de menor a mayor tamaño basándote en sus exponentes y mantisas.

La distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente $1,5 \cdot 10^{8}$ km. Si la luz viaja a una velocidad de $3 \cdot 10^{5}$ km/s, calcula el tiempo que tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra realizando la operación directamente en notación científica (recuerda que $t = \frac{d}{v}$).

Un servidor de datos almacena archivos de música. Cada canción ocupa una media de $4,5 \cdot 10^{6}$ bytes. Si el servidor tiene almacenadas $2 \cdot 10^{4}$ canciones, ¿cuántos bytes totales de música hay en el servidor? Expresa el resultado final en notación científica.

Determina el valor de $x$ en cada una de las siguientes igualdades para que se mantenga la equivalencia en notación científica:

1. a) $345.000 = 3,45 \cdot 10^{x}$
2. b) $0,00007 = 7 \cdot 10^{x}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{4} = 1,25 \cdot 10^{x}$

Visualiza el siguiente esquema que representa el movimiento de la coma decimal para convertir el número $0,000042$ a notación científica. Completa los recuadros con el valor del coeficiente (mantisa) y el exponente correspondiente.

En un centro de procesamiento de datos de una conocida red social, se estima que cada segundo se generan $2,5 \cdot 10^6$ megabytes (MB) de información nueva.

1. a) Expresa en notación científica cuántos gigabytes (GB) se generan en un día completo (considera que $1 \text{ GB} = 10^3 \text{ MB}$).

1. b) Si cada disco duro de almacenamiento tiene una capacidad de $1,2 \cdot 10^{13}$ bytes, ¿cuántos discos duros serían necesarios para almacenar la información de un año bisiesto? (considera que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Indica el resultado con tres cifras significativas.

La masa de una partícula de polvo en suspensión es de aproximadamente $7,25 \cdot 10^{-10}$ kg. Un purificador de aire ha capturado, tras una semana de funcionamiento, un total de $4,35 \cdot 10^{-2}$ gramos de estas partículas.

1. a) Calcula el número total de partículas capturadas por el purificador.

1. b) Si el filtro del purificador debe cambiarse cuando alcanza una masa acumulada de $1,5 \text{ decigramos}$, ¿cuántas semanas más podrá funcionar antes de requerir mantenimiento? Expresa los cálculos y el resultado final en notación científica.

Un grupo de investigadores analiza la inversión en I+D de tres potencias mundiales. La primera invierte $4,2 \cdot 10^{11} €$, la segunda $1,85 \cdot 10^{12} €$ y la tercera $9,7 \cdot 10^{10} €$.

1. a) Calcula la inversión total de las tres potencias juntas, expresando el resultado en notación científica.

1. b) ¿Qué porcentaje del total representa la inversión de la potencia que menos dinero aporta? Redondea el porcentaje a dos cifras decimales.

En microelectrónica, el grosor de una capa aislante en un procesador es de $4,5$ nanómetros ($1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$). Si el procesador tiene una superficie total de $1,2 \text{ cm}^2$:

1. a) Expresa el grosor de la capa en metros usando notación científica.

1. b) Calcula el volumen total de material aislante utilizado en dicho procesador en metros cúbicos ($m^3$). Ten en cuenta que el volumen es el producto de la superficie por el grosor.

Realiza las siguientes operaciones combinadas y expresa el resultado en notación científica, redondeando a tres cifras significativas:

Un glóbulo rojo tiene una forma aproximadamente circular con un diámetro de $7,5 \cdot 10^{-4} \text{ cm}$.

1. a) Calcula la longitud de su circunferencia en metros. (Usa $\pi \approx 3,1416$).

1. b) Si pudiéramos colocar en fila todos los glóbulos rojos de un adulto (aproximadamente $2,5 \cdot 10^{13}$ glóbulos), ¿qué distancia en kilómetros alcanzarían? Expresa el resultado en notación científica.

La distancia media de la Tierra al Sol es de $1,496 \cdot 10^8 \text{ km}$. La velocidad de la luz es de $3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$.

1. a) Calcula cuánto tiempo, en minutos y segundos, tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra.

1. b) Si una nave espacial viaja a una velocidad constante de $5,5 \cdot 10^4 \text{ km/h}$, ¿cuántos días tardaría en completar el viaje de ida y vuelta?

Se ha medido la masa de un objeto de laboratorio obteniendo un valor de $3,45 \cdot 10^{-3}$ gramos, aunque el valor real es de $3,458 \cdot 10^{-3}$ gramos.

1. a) Calcula el error absoluto cometido en la medición.

1. b) Calcula el error relativo y exprésalo en porcentaje. ¿Se considera una medida precisa si el margen de error aceptable es del $0,5\%$? Justifica tu respuesta.

En un laboratorio de nanotecnología, se está analizando la masa de una nueva partícula sintética estimada en $m = 4,25 \cdot 10^{-22}$ gramos. Sin embargo, el instrumento de medición tiene una cota de error absoluto de $5 \cdot 10^{-25}$ gramos. Por otro lado, un astrónomo mide la masa de un asteroide cercano como $M = 7,8 \cdot 10^{15}$ kilogramos con un error relativo del $0,01\%$.

Realiza las siguientes tareas expresando todos los resultados en notación científica:

1. a) Determina el intervalo de valores posibles para la masa de la partícula $m$ utilizando la notación de entornos $E(a, r)$.

1. b) Calcula la cota de error relativo cometido en la medición de la partícula y compárala con el error relativo del asteroide. Justifica razonadamente qué medición es más precisa.

1. c) Si se unieran $1,5 \cdot 10^{24}$ partículas iguales, ¿cuál sería la masa total resultante? Considera tanto el valor estimado como el error absoluto acumulado.

Calcula el valor de la siguiente expresión simplificando el resultado al máximo y exprésalo en notación científica con tres cifras significativas:

A continuación, acota el error absoluto cometido al redondear el valor de $L$ a la primera cifra decimal de su mantissa.

Un centro de datos de una red social procesa aproximadamente $2,5 \cdot 10^6$ consultas por segundo. Cada consulta requiere el movimiento de $1,2 \cdot 10^4$ bytes de información.

1. a) Calcula cuántos terabytes ($1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ bytes}$) de información procesa el centro en un año bisiesto.

1. b) Si el centro planea aumentar su capacidad de procesamiento un $15\%$ anual de forma compuesta, ¿cuánta información (en bytes) procesará por segundo dentro de una década? Expresa el resultado en notación científica.

El número áureo, $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, está presente en el diseño de muchas interfaces de aplicaciones móviles actuales para lograr armonía visual. Considera una pantalla de smartphone que sigue esta proporción, donde el ancho mide $w = 6,8 \cdot 10^{-2}$ metros.

1. a) Calcula el área de la pantalla en milímetros cuadrados ($mm^2$) sabiendo que la relación entre el alto ($h$) y el ancho ($w$) es exactamente $\phi$. Utiliza la expresión radical de $\phi$ para el cálculo y aproxima el resultado final en notación científica con dos cifras decimales.

1. b) Si al fabricar el cristal se produce un error de $1 \cdot 10^{-4}$ metros en el ancho, ¿cómo afecta esto al error relativo del área?

En una campaña de reforestación global, se estima que cada árbol plantado absorbe una media de $2,2 \cdot 10^1$ kg de $CO_2$ al año. La plataforma organizadora afirma que han compensado $4,5 \cdot 10^8$ toneladas de $CO_2$ en los últimos 5 años ($1 \text{ tonelada} = 10^3 \text{ kg}$).

1. a) Suponiendo que el número de árboles plantados ha sido constante y que la absorción es acumulativa (los árboles plantados el primer año absorben durante los cinco años, los del segundo durante cuatro, etc.), calcula cuántos árboles se plantaron cada año.

1. b) Si existe un error en la medición de absorción de $\pm 5\%$ por árbol, calcula el intervalo de error absoluto de la cifra total de toneladas compensadas.

Representa en la recta real el conjunto de números que satisfacen la siguiente condición de "tolerancia industrial" para una pieza de precisión:

1. a) Expresa el conjunto en forma de intervalo y como una desigualdad sin valor absoluto.

1. b) ¿Es el número $0,00435$ un valor aceptable para esta pieza? Justifica tu respuesta comprobando si pertenece al conjunto.

Se proyecta que la población mundial alcance los $9,7 \cdot 10^9$ personas en el año 2050. Si la superficie terrestre total es de aproximadamente $1,48 \cdot 10^8 \text{ km}^2$, de la cual solo el $25\%$ es habitable:

1. a) Calcula la densidad de población (habitantes por $km^2$) en las zonas habitables para el año 2050.

1. b) Si cada persona consume de media $1,3 \cdot 10^6$ kilocalorías al año, ¿cuánta energía alimentaria total (en kcal) necesitará la humanidad en una década (10 años), asumiendo que la población se mantiene constante en la cifra de 2050? Da el resultado en notación científica.

Dada la siguiente figura que representa un esquema de cables de fibra óptica soterrados, la distancia entre los puntos de registro $A$ y $B$ viene dada por la expresión $d = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} + \sqrt{2 \cdot 10^{-5}}$ kilómetros.

1. a) Simplifica la expresión de la distancia $d$ extrayendo factores de los radicales y operando para dejar un único radical (o la suma más simplificada posible).

1. b) Si para realizar una reparación se necesita un cable cuya longitud sea exactamente el triple de $d$, calcula dicha longitud y exprésala en metros utilizando notación científica con cuatro cifras significativas.