Exercicis: Valor absolut

Calcula el valor numèric de les expressions següents utilitzant la definició de valor absolut:

1. a) $|-12,5|$

1. b) $|7 - 15|$

1. c) $|\pi - 4|$

1. d) $|1 - \sqrt{2}|$

La temperatura en una ciutat de la meseta espanyola a les 6:00 del matí era de $-3\,^\circ C$, mentre que a les 15:00 hores va pujar fins als $14\,^\circ C$. Utilitza el concepte de valor absolut per expressar i calcular la distància tèrmica (la diferència de graus) entre ambdues mesures.

A la figura pots veure les dues temperatures situades sobre la recta dels graus.

1. a) Escriu, utilitzant el valor absolut, l'expressió que dona la distància entre les dues temperatures.

1. b) Calcula'n el valor i interpreta'l en el context del problema.

Troba els valors de $x$ que compleixen les igualtats següents:

1. a) $|x| = 8$

1. b) $|x - 3| = 5$

1. c) $|x + 2| = 0$

Expressa mitjançant la notació de valor absolut els conjunts de nombres reals següents representats a la recta:

1. a) Els nombres la distància dels quals a l'origen és menor que $4$.

1. b) Els nombres la distància dels quals al punt $2$ és exactament igual a $3$.

Representa a la recta real i escriu en forma d'interval els valors de $x$ que verifiquen la desigualtat següent:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Associa cadascuna de les expressions de valor absolut següents amb el seu interval corresponent:

1. $|x| < 3$

2. $|x - 1| \le 2$

3. $|x + 2| < 1$

Intervals: $A = [-1, 3] \quad B = (-3, 3) \quad C = (-3, -1)$

Resol la desigualtat $|x| > 5$ i representa la solució gràficament. Recorda que aquest tipus d'expressions donen lloc a una unió de dues semirrectes infinites.

En una fàbrica de components electrònics, una resistència ha de tenir un valor nominal de $220\ \Omega$. Per control de qualitat, s'accepta que el valor real $x$ de la resistència variï respecte al nominal com a màxim $5\ \Omega$.

En la recta de la figura es marca el valor nominal i un valor real qualsevol $x$, juntament amb la seva distància al valor nominal.

1. a) Escriu aquesta condició utilitzant una desigualtat amb valor absolut.

1. b) Resol la desigualtat i determina l'interval de valors òhmics acceptables per a aquestes resistències.

En Marcos està resolent l'equació $|2x - 8| = -6$ al seu examen i escriu el raonament següent:

«Per les propietats del valor absolut, desdoblo en dos casos:

• Cas 1: $2x - 8 = -6 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$

• Cas 2: $2x - 8 = 6 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$

Per tant, l'equació té dues solucions: $x = 1$ i $x = 7$».

1. a) Explica quin és l'error conceptual fonamental que ha comès en Marcos sense necessitat de fer cap operació intermèdia.
2. b) Substitueix els valors $x = 1$ i $x = 7$ a l'equació original per demostrar numèricament per què fallen.
3. c) Indica quin és el conjunt real de solucions de l'equació donada i enuncia la condició general que ha de complir $k$ perquè l'equació $|A| = k$ tingui solució.

En un laboratori de components electrònics s'estableix que una peça funciona amb normalitat únicament si la seva temperatura de treball $x$, mesurada en graus Celsius, pertany a l'interval obert $(-1,5;\, 6,5)$.

1. a) Calcula el punt mitjà (valor nominal) $a$ i el radi (tolerància màxima admissible) $r$ d'aquest interval.
2. b) Escriu una inequació amb valor absolut de la forma $|x - a| < r$ que tingui com a conjunt de solucions exactament aquest interval de temperatures.
3. c) Expressa el resultat mitjançant la notació d'entorn $E(a, r)$ i raona, utilitzant la interpretació del valor absolut com a distància sobre la recta real, si un component que arribi a $x = 7^\circ\text{C}$ es troba dins o fora del marge permès.

Resol la inequació amb valor absolut següent i representa la solució a la recta real. Expressa el resultat final utilitzant la notació d'intervals:

Una empresa de fabricació de components electrònics produeix resistències que han de tenir un valor nominal de $220 \Omega$. Per raons de control de qualitat, s'accepta un marge d'error (tolerància) de $5 \Omega$.

1. a) Escriu una inequació utilitzant el valor absolut que descrigui els valors de resistència $x$ acceptables.
2. b) Determina l'interval de valors permesos perquè el component no sigui rebutjat.

Calcula els valors de $x$ que satisfan l'equació següent:

Expressa mitjançant una desigualtat amb valor absolut el conjunt de nombres reals representats en el gràfic següent:

Troba l'interval resultant de la condició combinada següent i representa'l gràficament:

En un estudi estadístic sobre la despesa mensual en oci dels joves d'una ciutat, s'ha determinat que la mitjana és de $45$ € amb un error màxim de $12$ €.

1. a) Expressa aquesta situació mitjançant un entorn $E(a, r)$.
2. b) Escriu la desigualtat amb valor absolut corresponent.
3. c) Podria un jove que gasta $32$ € mensuals estar inclòs en aquest grup d'estudi? Justifica la teva resposta.

Defineix la funció de valor absolut següent com una funció definida a trossos:

Indica l'expressió de cadascuna de les branques i l'interval en què és vàlida cadascuna.

Determina tots els nombres reals $x$ que es troben a una distància major de $5$ unitats del punt $-1$. Expressa la solució de tres formes diferents:

1. Com una inequació amb valor absolut.

2. Mitjançant la unió de dos intervals.

3. Gràficament a la recta real.

Una cooperativa de Jaén envasa oli d'oliva verge extra en garrafes amb un volum nominal de $5\text{ l}$. La normativa de control de qualitat admet una garrafa com a apta si l'error absolut respecte al valor nominal no supera el $0,8\,\%$ d'aquest volum.

1. a) Calcula el marge de tolerància $r$ en litres i planteja una inequació amb valor absolut de la forma $|V - 5| \le r$ que modeli la condició d'acceptació per al volum real $V$.
2. b) Resol la inequació anterior i determina l'interval de volums admissibles en litres.
3. c) En una inspecció s'agafen dues garrafes amb volums mesurats de $4,955\text{ l}$ i $5,038\text{ l}$. Sense resoldre de nou la inequació, utilitza exclusivament el concepte de distància en la recta real per justificar raonadament si cadascuna de les dues garrafes passa el control de qualitat o és rebutjada.

Considera la inequació amb valor absolut $|x - \sqrt{5}| \le 3$.

1. a) Abans d'operar analíticament, fes una estimació raonada: sabent que $2 < \sqrt{5} < 3$ (aproximadament $\sqrt{5} \approx 2,2$), estima mentalment entre quins dos nombres enters s'ha de trobar el conjunt de solucions. Esperes que aquest conjunt contingui el valor $x = 0$? I el valor $x = 5,5$? Justifica les teves estimacions a partir de la distància a $\sqrt{5}$ en la recta real.
2. b) Resol formalment la inequació treballant amb el valor exacte $\sqrt{5}$ i escriu el conjunt solució en forma d'interval tancat.
3. c) Utilitza una aproximació decimal dels extrems de l'interval per comprovar si les teves estimacions sobre el $0$ i el $5,5$ eren correctes.

Determina el conjunt de nombres reals $x$ que compleixen simultàniament les dues condicions de distància següents a la recta real. Expressa el resultat final utilitzant únicament la notació d'intervals:

1. La distància entre $x$ i $2$ és menor o igual que $5$.

2. La distància entre $x$ i $-1$ és estrictament major que $2$.

A la recta de la figura s'han marcat els dos punts de referència, $-1$ i $2$.

En un control de qualitat d'una empresa de components electrònics, s'accepta que una resistència de $1500 \Omega$ sigui vàlida si el seu valor real $R$ no difereix del nominal en més d'un $2\%$.

1. a) Escriu una desigualtat utilitzant el valor absolut que representi els valors de $R$ acceptables.
2. b) Determina l'interval de valors de $R$ que farien que el component fos rebutjat per excés.

Resol la següent equació amb valors absoluts imbricats i representa les solucions a la recta real:

Pots fer servir com a suport la següent recta numèrica, en la qual has de marcar tu les solucions que obtinguis:

Expressa mitjançant una única desigualtat amb valor absolut el conjunt de punts representats per la unió dels dos intervals següents:

Un analista financer observa que el preu d'una criptomoneda ha fluctuat seguint la regla $|P - 450| < 75$, on $P$ és el preu en euros. Al mateix temps, una altra font indica que per raons de seguretat, la inversió només és recomanable si $|P - 500| > 50$.

Determina l'interval de preus en què es compleixen totes dues condicions per realitzar una inversió segura segons aquestes dades.

Donades les desigualtats següents, identifica quina d'elles defineix un entorn de centre $a = -2$ i radi $r = 3$:

1. a) $|x - 2| < 3$

1. b) $|x + 2| < 3$

1. c) $|x - 3| < 2$

Un cop identificada, escriu el conjunt complementari d'aquest entorn a la recta real com a unió d'intervals. Explica també com el representaries sobre la recta: quins extrems van tancats o oberts i cap on s'estén cada part.

Resol la inequació següent i expressa la solució en forma de unió d'intervals:

Calcula també quins nombres naturals menors que 10 no pertanyen a aquest conjunt solució.

Considera els punts $A$ i $B$ a la recta real tals que les seves coordenades són les solucions de l'equació $|x + 4| = 6$.

Sigui $P$ un punt qualsevol de la recta real amb coordenada $x$. Escriu una expressió amb valor absolut que representi la condició: "La distància de $P$ al punt mitjà del segment $AB$ és inferior a 2 unitats". Resol aquesta inequació.

Determina el conjunt de nombres reals $x$ que satisfan la condició de valor absolut niuat següent:

1. a) Resol la desigualtat i expressa el resultat amb notació d'intervals.

1. b) Representa el conjunt solució a la recta real (pots fer servir com a guia la recta de la figura, que està sense completar).

1. c) Descriu la solució com una unió d'entorns (tancats), indicant el centre i el radi de cadascun.

Per resoldre l'equació $|x - 2| = |x + 6|$, es proposen a classe tres estratègies diferents:

• Mètode A (Geomètric): Interpretar $|x - 2|$ com la distància de $x$ al punt $2$, i $|x + 6| = |x - (-6)|$ com la distància de $x$ al punt $-6$, deduint que $x$ ha de ser el punt mitjà entre tots dos.

• Mètode B (Algebraic directe): Resoldre la igualtat considerant que les expressions de dins del valor absolut han de ser iguals o bé oposades: $x - 2 = x + 6$ o bé $x - 2 = -(x + 6)$.

• Mètode C (Elevació al quadrat): Atès que tots dos membres són no negatius, elevar al quadrat els dos costats: $(x - 2)^2 = (x + 6)^2$.

1. a) Aplica de manera independent els tres mètodes per trobar la solució i comprova que s'arriba al mateix valor de $x$.
2. b) Compara els tres mètodes: quin resulta més directe i conceptualment avantatjós en aquest exercici? Justifica la teva resposta.
3. c) Si l'equació fos $|x - 2| = |2x + 6|$, continuaria sent igual de directe el Mètode A? Explica raonadament per què en aquest nou cas el Mètode B o el Mètode C resulten preferibles.

En un estudi econòmic sobre el mercat laboral, un analista preveu que la variació anual de l'índex de salaris $s$ (en percentatge) es mantindrà en un marge moderat si satisfà la condició $|s - 2,5| \le 1,2$. Al mateix temps, un informe macroeconòmic adverteix que es generaran desequilibris si aquesta variació salarial queda fora del rang d'estabilitat definit per la condició $|2s - 4| > 3$.

1. a) Resol de manera algebraica i independent totes dues inequacions i expressa la solució de cadascuna utilitzant la notació d'intervals.
2. b) Determina el conjunt de valors de l'increment salarial $s$ per als quals es compleixen simultàniament ambdues condicions (és a dir, es compleix la previsió de l'analista però, alhora, es generen desequilibris). Expressa el resultat com un únic interval.
3. c) Si la negociació col·lectiva pacta una apujada salarial de $s = 3,6\,\%$, raona a partir de la definició de valor absolut com a distància si aquesta apujada compleix la condició de l'analista sense arribar a generar desequilibris macroeconòmics, sense necessitat de refer els càlculs analítics.