Ejercicios: Valor absoluto

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones utilizando la definición de valor absoluto:

1. a) $|-12,5|$

1. b) $|7 - 15|$

1. c) $|\pi - 4|$

1. d) $|1 - \sqrt{2}|$

La temperatura en una ciudad de la meseta española a las 6:00 de la mañana era de $-3^\circ C$, mientras que a las 15:00 horas subió hasta los $14^\circ C$. Utiliza el concepto de valor absoluto para expresar y calcular la distancia térmica (la diferencia de grados) entre ambas medidas.

Halla los valores de $x$ que cumplen las siguientes igualdades:

1. a) $|x| = 8$

1. b) $|x - 3| = 5$

1. c) $|x + 2| = 0$

Expresa mediante la notación de valor absoluto los siguientes conjuntos de números reales representados en la recta:

1. a) Los números cuya distancia al origen es menor que $4$.

1. b) Los números cuya distancia al punto $2$ es exactamente igual a $3$.

Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad:

Asocia cada una de las siguientes expresiones de valor absoluto con su intervalo correspondiente:

1. $|x| < 3$

2. $|x - 1| \le 2$

3. $|x + 2| < 1$

Intervalos: $A = [-1, 3] \quad B = (-3, 3) \quad C = (-3, -1)$

Resuelve la desigualdad $|x| > 5$ y representa la solución gráficamente. Recuerda que este tipo de expresiones dan lugar a una unión de dos semirrectas infinitas.

En una fábrica de componentes electrónicos, una resistencia debe tener un valor nominal de $220 \Omega$. Por control de calidad, se acepta que el valor real $x$ de la resistencia varíe respecto al nominal en un máximo de $5 \Omega$.

Escribe esta condición utilizando una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de valores óhmicos aceptables para estas resistencias.

Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto y representa la solución en la recta real. Expresa el resultado final utilizando la notación de intervalos:

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos produce resistencias que deben tener un valor nominal de $220 \Omega$. Por razones de control de calidad, se acepta un margen de error (tolerancia) de $5 \Omega$.

1. a) Escribe una inecuación utilizando el valor absoluto que describa los valores de resistencia $x$ aceptables.
2. b) Determina el intervalo de valores permitidos para que el componente no sea rechazado.

Calcula los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

Expresa mediante una desigualdad con valor absoluto el conjunto de números reales representados en la siguiente gráfica:

Halla el intervalo resultante de la siguiente condición combinada y represéntalo gráficamente:

En un estudio estadístico sobre el gasto mensual en ocio de los jóvenes de una ciudad, se ha determinado que la media es de $45$ € con un error máximo de $12$ €.

1. a) Expresa esta situación mediante un entorno $E(a, r)$.
2. b) Escribe la desigualdad con valor absoluto correspondiente.
3. c) ¿Podría un joven que gasta $32$ € mensuales estar incluido en este grupo de estudio? Justifica tu respuesta.

Define la siguiente función de valor absoluto como una función definida a trozos:

Determina todos los números reales $x$ que se encuentran a una distancia mayor de $5$ unidades del punto $-1$. Expresa la solución de tres formas distintas:

1. Como una inecuación con valor absoluto.

2. Mediante la unión de dos intervalos.

3. Gráficamente en la recta real.

Determina el conjunto de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones de distancia en la recta real. Expresa el resultado final utilizando únicamente la notación de intervalos:

1. La distancia entre $x$ y $2$ es menor o igual que $5$.

2. La distancia entre $x$ y $-1$ es estrictamente mayor que $2$.

En un control de calidad de una empresa de componentes electrónicos, se acepta que una resistencia de $1500 \Omega$ sea válida si su valor real $R$ no difiere del nominal en más de un $2\%$.

1. a) Escribe una desigualdad utilizando el valor absoluto que represente los valores de $R$ aceptables.
2. b) Determina el intervalo de valores de $R$ que harían que el componente fuera rechazado por exceso.

Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados y representa las soluciones en la recta real:

Expresa mediante una única desigualdad con valor absoluto el conjunto de puntos representados por la unión de los siguientes dos intervalos:

Pista: Busca el punto medio del "hueco" entre los intervalos y la distancia desde ese punto a los extremos.

Un analista financiero observa que el precio de una criptomoneda ha fluctuado siguiendo la regla $|P - 450| < 75$, donde $P$ es el precio en euros. Al mismo tiempo, otra fuente indica que por razones de seguridad, la inversión solo es recomendable si $|P - 500| > 50$.

Determina el intervalo de precios en los que se cumplen ambas condiciones para realizar una inversión segura según estos datos.

Dadas las siguientes desigualdades, identifica cuál de ellas define un entorno de centro $a = -2$ y radio $r = 3$ y resuelve la inecuación resultante:

1. a) $|x - 2| < 3$
2. b) $|x + 2| < 3$
3. c) $|x - 3| < 2$

Una vez identificada, representa gráficamente el conjunto complementario en la recta real.

Resuelve la siguiente inecuación y expresa la solución en forma de unión de intervalos:

Calcula también qué números naturales menores que 10 no pertenecen a este conjunto solución.

Considera los puntos $A$ y $B$ en la recta real tales que sus coordenadas son las soluciones de la ecuación $|x + 4| = 6$.

Sea $P$ un punto cualquiera de la recta real con coordenada $x$. Escribe una expresión con valor absoluto que represente la condición: "La distancia de $P$ al punto medio del segmento $AB$ es inferior a 2 unidades". Resuelve dicha inecuación.

Determina el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la siguiente condición de valor absoluto anidado:

Representa el resultado en la recta real utilizando la notación de intervalos y describe la solución como una unión de entornos si es posible.